1、,第三章 3.1 空间向量及其运算,3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示,学习目标 1.了解空间向量基本定理. 2.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念. 3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 空间向量基本定理,答案 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2，其中，不共线的e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.,思考1 平面向量基本定理的内容是什么？,答案 不唯一.,思考2 平面向量的基底唯一确定吗？,梳理 (1)空
2、间向量基本定理,不共面,任一,pxaybzc,(2)基底 条件：三个向量a，b，c . 结论： 叫做空间的一个基底. 基向量：基底中的向量a，b，c都叫做基向量.,不共面,a，b，c,知识点二 空间向量的坐标表示,思考 平面向量的坐标是如何表示的？,答案 在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使axiyj，这样，平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序实数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标.,梳理 空间向量的正交
3、分解及其坐标表示,垂直,单位,e1，e2，e3,p(x，y，z),思考辨析 判断正误 (1)空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示.( ) (2)若a，b，c为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量.( ) (3)如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线.( ) (4)任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底.( ),题型探究,类型一 基底的判断,答案,解析,(2)设xab，ybc，zca，且a，b，c是空间的一个基底，给出下列向量：a，b，x；b，c，z；x，y，abc.其中可以作为空间的基底的有 A.1个 B.2个 C.3个 D.0个,答案,解析,解析 均
4、可以作为空间的基底，故选B.,反思与感悟 基底判断的基本思路及方法 (1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底. (2)方法：如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底. 假设abc，运用空间向量基本定理，建立，的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底.,跟踪训练1 (1)已知a，b，c是不共面的三个非零向量，则可以与向量pab，qab构成基底的向量是 A.2a B.2b C.2a3b D.2a5c,答案,(2)以下四个命题中正确的是 A.基底a，b，c中可以有零向量
5、B.空间任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一个基底,D.空间向量的基底只能有一组,答案,解析,解析 使用排除法.因为零向量与任意两个非零向量都共面，故A不正确；,空间基底可以有无数多组，故D不正确.,类型二 空间向量基本定理的应用,例2 如图所示，空间四边形OABC中，G，H分别是ABC，OBC的,解答,反思与感悟 用基底表示向量时，若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及向量数乘的运算律；若没给定基底，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求.,解答,解 如图，连接AC，,c，E，F分别是AD1
6、，BD的中点.,解答,类型三 空间向量的坐标表示,例3 (1)设e1，e2，e3是空间的一个单位正交基底，a4e18e23e3，b2e13e27e3，则a，b的坐标分别为_.,答案,解析,(4，8,3)，(2，3,7),解析 由于e1，e2，e3是空间的一个单位正交基底， 所以a(4，8,3)，b(2，3,7).,解答,(2)已知a(3,4,5)，e1(2，1,1)，e2(1,1，1)，e3(0,3,3)，求a沿e1，e2，e3的正交分解.,解 因为a(3,4,5)，e1(2，1,1)，e2(1,1，1)，e3(0,3,3)， 设ae1e2e3，即(3,4,5)(2，3，3)，,反思与感悟 用
7、坐标表示空间向量的步骤,标为_.,解析 OM2MA，点M在OA上，,答案,解析,解答,(2)已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且PAAD1.在如图所示的空间直角坐标系中，,解 因为PAADAB1，,达标检测,答案,解析,1,2,3,4,5,1.已知i，j，k分别是空间直角坐标系Oxyz中x轴，y轴，z轴的正方向上的单位向量，,A.(1,1，1) B.(i，j，k) C.(1，1，1) D.不确定,答案,2.在下列两个命题中，真命题是 若三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面； 若a，b是两个不共线向量，而cab(，R且0)，则 a，
8、b，c构成空间的一个基底. A.仅 B.仅 C. D.都不是,1,2,3,4,5,解析 为真命题； 中，由题意得a，b，c共面，故为假命题，故选A.,解析,答案,解析,3.已知点A在基底a，b，c下的坐标为(8,6,4)，其中aij，bjk，cki，则点A在基底i，j，k下的坐标是 A.(12,14,10) B.(10,12,14) C.(14,12,10) D.(4,3,2),1,2,3,4,5,解析 设点A在基底a，b，c下对应的向量为p， 则p8a6b4c8i8j6j6k4k4i12i14j10k， 故点A在基底i，j，k下的坐标为(12,14,10).,答案,解析,解析 d(e1e2e
9、3)(e1e2e3)(e1e2e3) ()e1()e2()e3 e12e23e3，,4.已知ae1e2e3，be1e2e3，ce1e2e3，de12e23e3，若dabc，则，的值分别为_.,1,2,3,4,5,5.如图，已知PA平面ABCD，四边形ABCD为正方形，G为PDC的重,1,2,3,4,5,解答,1,2,3,4,5,解 延长PG交CD于点N，则N为CD的中点，,规律与方法,1.基底中不能有零向量.因零向量与任意一个非零向量都为共线向量，与任意两个非零向量都共面，所以三个向量为基底隐含着三个向量一定为非零向量. 2.空间几何体中，要得到有关点的坐标时，先建立适当的坐标系，一般选择两两垂直的三条线段所在直线为坐标轴，然后选择基向量，根据已知条件和图形关系将所求向量用基向量表示，即得所求向量的坐标. 3.用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，及加法的平行四边形法则，加法、减法的三角形法则.逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示.,
