1、1.2.1 任意角的三角函数(二),第一章 1.2 任意角的三角函数,学习目标 1.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域. 2.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切. 3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 三角函数的定义域,梳理 正弦函数ysin x的定义域是 ；余弦函数ycos x的定义域是 ； 正切函数ytan x的定义域是_.,R,R,知识点二 三角函数线,思考1 在平面直角坐标系中，任意角的终边与单位圆交于点P，过点P作PMx轴，过点A(1,0)作单位圆的切线，交的终边或其反向延长线于点T，
2、如图所示，结合三角函数的定义，你能得到sin ，cos ，tan 与MP，OM，AT的关系吗？,答案 sin MP，cos OM，tan AT.,思考2 三角函数线的方向是如何规定的？ 答案 方向与x轴或y轴的正方向一致的为正值，反之，为负值. 思考3 三角函数线的长度和方向各表示什么？ 答案 长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负.,梳理,MP,OM,AT,思考辨析 判断正误 1.正弦线MP也可写成PM.( ) 提示 三角函数线是有向线段，端点字母不可颠倒. 2.三角函数线都只能取非负值.( ) 提示 三角函数线表示的值也可取负值. 3.当角的终边在y轴上时，余弦线变成一个点，
3、正切线不存在.( ) 4.当角的终边在x轴上时，正弦线、正切线都变成点.( ),答案,提示,题型探究,类型一 三角函数线,解答,解 如图所示，,反思与感悟 (1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线. (2)作正切线时，应从点A(1,0)引单位圆的切线交角的终边或终边的反向延长线于一点T，即可得到正切线AT.,跟踪训练1 在单位圆中画出满足sin 的角的终边，并求角的取值集合.,解答,交单位圆于P1，P2两点， 则OP1，OP2是角的终边，,类型二 利用三角函数线比较大小,解答,反思与感悟 利用三角函数线比较三角函数值的
4、大小时，一般分三步：(1)角的位置要“对号入座”；(2)比较三角函数线的长度；(3)确定有向线段的正负.,跟踪训练2 比较sin 1 155与sin(1 654)的大小.,解 sin 1 155sin(336075)sin 75， sin(1 654)sin(5360146)sin 146. 如图，在单位圆中，分别作出sin 75和sin 146 的正弦线M1P1，M2P2.,|M1P1|M2P2|，且符号皆正， sin 1 155sin(1 654).,解答,类型三 利用三角函数线解不等式(组),解答,命题角度1 利用三角函数线解不等式(组) 例3 在单位圆中画出适合下列条件的角的终边的范围
5、，并由此写出角的集合.,故满足要求的角的集合为,解答,故满足条件的角的集合为,反思与感悟 用单位圆中的三角函数线求解简单的三角不等式，应注意以下两点： (1)先找到“正值”区间，即02内满足条件的角的范围，然后再加上周期； (2)注意区间是开区间还是闭区间.,解答,解 图中阴影部分就是满足条件的角的范围，,解答,命题角度2 利用三角函数线求三角函数的定义域,则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，,反思与感悟 (1)求函数的定义域，就是求使解析式有意义的自变量的取值范围，一般通过解不等式或不等式组求得，对于三角函数的定义域问题，还要考虑三角函数自身定义域的限制. (2)要特别注意求一个固定集
6、合与一个含有无限多段的集合的交集时，可以取特殊值把不固定的集合写成若干个固定集合再求交集.,解答,解 要使函数f(x)有意义，必须使2sin x10，,交单位圆于点P1，P2，连接OP1，OP2， 分别过点P1，P2作x轴的垂线， 画出如图所示的两条正弦线，,所以函数f(x)的定义域为,所以满足条件的角x的终边在图中阴影部分内(包括边界)，,达标检测,答案,1.如图在单位圆中，角的正弦线、正切线完全正确的是 A.正弦线为PM，正切线为AT B.正弦线为MP，正切线为AT C.正弦线为MP，正切线为AT D.正弦线为PM，正切线为AT,1,2,3,4,5,A.cos sin tan B.tan
7、sin cos C.sin cos tan D.cos tan sin ,答案,解析,1,2,3,4,5,故cos sin tan . 方法二 如图所示，在单位圆中分别作出的正弦线MP，余弦线OM，正切线AT，,1,2,3,4,5,即cos sin tan .,则OMMPAT，,3.已知角的正弦线是单位长度的有向线段，那么角的终边 A.在x轴上 B.在y轴上 C.在直线yx上 D.在直线yx或yx上,答案,解析,1,2,3,4,5,解析 由题意|sin |1，sin 1，则角的终边在y轴上，故选B.,4.已知角的正弦线和余弦线是方向相反、长度相等的有向线段，则角的终边在 A.第一象限的角平分线
8、上 B.第四象限的角平分线上 C.第二、四象限的角平分线上 D.第一、三象限的角平分线上,答案,解析,1,2,3,4,5,解析 由角的正弦线和余弦线是方向相反、长度相等的有向线段，则的终边在第二、四象限的角平分线上.,1,2,3,4,5,解答,所以不等式的解集为,规律与方法,1.三角函数线的意义 三角函数线是用单位圆中某些特定的有向线段的长度和方向表示三角函数的值，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负.具体地说，正弦线、正切线的方向同y轴一致，向上为正，向下为负；余弦线的方向同x轴一致，向右为正，向左为负.三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来，使得问题更形象直观，为从几何途径解决问题提供了方便.,2.三角函数线的画法 定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线，同时也给出了角的三角函数线的画法，即先找到P，M，T点，再画出MP，OM，AT. 注意三角函数线是有向线段，要分清始点和终点，字母的书写顺序不能颠倒. 3.三角函数线是三角函数的几何表示，它直观地刻画了三角函数的概念.与三角函数的定义结合起来，可以从数与形两方面认识三角函数的定义，并使得对三角函数的定义域、函数值符号的变化规律、诱导公式一的理解更容易了.,
