1、2.5.1 平面几何中的向量方法,向量方法解决平面几何问题 问题思考 1.想一想:向量可以解决哪些常见的平面几何问题? 提示(1)解决有关夹角、长度等的计算或度量问题;(2)解决直线平行、垂直、三点共线、三线共点等位置关系的判断与证明问题. 2.填空:由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景,平面几何图形的许多性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来,因此,可用向量方法解决平面几何中的一些问题.,3.平面几何问题与平面向量之间的对应关系:,4.填空:用平面向量方法解决几何问题的三个步骤. 第一步,建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元
2、素,将平面几何问题转化为向量问题; 第二步,通过向量运算,研究几何元素之间的关系; 第三步,把运算结果“翻译”成几何关系. 5.用向量方法解决平面几何问题的两个基本方向:(1)几何法:选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角),将题中涉及的向量用基底表示,利用向量的运算法则、运算律或性质计算. (2)坐标法:建立平面直角坐标系,实现向量的坐标化,将几何问题中的长度、垂直、平行、夹角等问题转化为代数运算.,6.矩形对角线的长度与两条邻边长度之间有何关系?这一结论能否推广到一般的平行四边形呢?能否用向量证明这一结论呢? 提示若四边形ABCD是矩形,则其对角线AC,BD的长度与两条邻边长度之间的
3、关系是AC2+BD2=2(AB2+AD2),这一结论对于一般的平行四边形也是成立的,可以借助向量的方法对这一结论进行证明. 7.填空:平行四边形两条对角线长的平方和等于两条邻边长的平方和的两倍.这一结论,可以用向量表示为:|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2).,8.做一做:(1)已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),则ABC的形状是( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 (2)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1),以线段AB,AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长分别是 , .,思考辨析 判断
4、下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”.,答案(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7),探究一,探究二,探究三,探究四,平行或共线问题,探究一,探究二,探究三,探究四,探究一,探究二,探究三,探究四,证明A,B,C三点共线的步骤: (1)证明其中两点组成的向量与另外两点组成的向量共线. (2)说明两向量有公共点. (3)下结论,即A,B,C三点共线.,探究一,探究二,探究三,探究四,变式训练1如图,已知AD,BE,CF是ABC的三条高,且交于点O, DGBE于G,DHCF于H.求证:HGEF.,探究一,探究二,探究三,探究四,垂直问题 【例2】如图,在正方形A
5、BCD中,P是对角线BD上的一点,四边形PECF是矩形,用向量证明:PAEF.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究一,探究二,探究三,探究四,探究一,探究二,探究三,探究四,探究一,探究二,探究三,探究四,变式训练2如图所示,在正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点,求证:AFDE.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究一,探究二,探究三,探究四,长度问题 【例3】 如图,在平行四边形ABCD中,已知AD=1,AB=2,对角线BD=2,求对角线AC的长.,分析本题是求线段长度的问题,它可以转化为求向量的模来解决.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究一,探究二,探究三,探究四,在解决
6、求长度的问题时,可利用向量的数量积及模的知识,解题过程中用到的整体代入使问题得到简捷、明了的解决.,探究一,探究二,探究三,探究四,答案B,探究一,探究二,探究三,探究四,夹角问题 【例4】已知矩形ABCD,AB= ,AD=1,E为DC上靠近D的三等分点,求EAC的大小. 分析可建立直角坐标系,通过坐标运算运用夹角公式求解.,探究一,探究二,探究三,探究四,利用平面向量解决几何中的夹角问题时,本质是将平面图形中的角视为两个向量的夹角,借助夹角公式进行求解,这类问题也有两种方向,一是利用基底法,二是利用坐标运算.在求解过程中,务必注意向量的方向.,探究一,探究二,探究三,探究四,延伸探究本例中,条件不变,试问:在BC上是否存在点M,使得EAM=45?若存在,求出点M的位置;若不存在,说明理由.,1,2,3,4,5,答案B,1,2,3,4,5,答案B,1,2,3,4,5,答案(-3,1)或(-1,-3),1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,5.在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线及反向延长线上,取点F,E,使BE=DF(如图).用向量的方法证明四边形AECF也是平行四边形.,
