1、具有非凸条件的单个守恒律初边值问题整体弱熵解的结构第 28 卷第 1 期2007 年 2 月暨南大学(自然科学版)JournalofJinanUniversity(NaturalScience)V0I_28No.-IFeb.2O07具有非凸条件的单个守恒律初边值问题整体弱熵解的结构崔慧萍,刘红霞(1.广东药学院基础学院数学教研室,广东广州 510006;2.暨南大学数学系,广东广州 510632)摘要在流函数具有有限个拐点,初始值为两段常数和边界值为常数的条件下,研究非凸单个守恒律的初边值问题整体弱熵解的结构,初等波与边界的相互作用情况以及弱熵解在边界附近的性态.关键词 非凸单个守恒律 ;初边
2、值问题;边界熵条件; 整体弱熵解中图分类号0175.27文献标识码A 文章编号10009965(2007)01-001005Structureofglobalweakentropysolutionforinitial-boundaryvalueproblemsofscalarconservationlawswithnon-convexityconditionsCUIHui.ping,LIUHong.xia(1.GuangdongPharmaceuticalUniversity,Guangzhou510006,China;2.DepartmentofMathematics,JinanUniver
3、sity,Guangzhou510632,China)AbstractThestructureofglobalweakentropysolutions,interactionofelementarywavesandtheboundaryofsolutionsarestudied,forinitialboundaryvalueproblemsofscalarconservationlawsundertheconditionthatthefluxfunctionhasfinitelymanyinflectionpointsandtheinitialdataaretwopiecesofconstan
4、tandtheboundarydataareconstant.Furthermore,thebehaviorsoftheweakentropysolutionsnearbytheboundaryisalsodiscussed.Keywordsnonconvexscalarconservationlaws;initialboundaryvalueproblem;boundaryentropycondition;globalweakentropysolution非线性双曲守恒律方程来源于流体力学,空气动力学,沉积学和交通流等应用学科.研究非线性双曲守恒律方程的主要困难是:一般地,即使初始值充分光滑
5、,解也会在有限时刻出现激波.近年来,AlbertoBressan 及其研究组 ,T.一 P.Liu,T.Yang 等在非线性双曲守恒律方程 Cauchy 问题整体弱熵解的适定性,误差估计以及大时间渐近行为等方面取得了一系列重要成果.但对初边值问题,相应的结果还不多.大多数物理问题都具有边界,因而,有边界条件的双曲型守恒律整体弱熵解的研究具有重要意义.对于单个守恒律的初边值问题,Bardos 等利用粘性消失法和 Kruzkov 方法在有界变差函数类中分别证明了整体弱熵解的存在性和唯一性,Szepessy【2】在有界可测函数类中研究了单个守恒律初边值问题整体弱熵解的唯一性,LeFloch 等推导收
6、稿日期】20060928基金项目】国家自然科学基金项目(10571075);广东省自然科学基金项目(04010473)作者简介】崔慧萍(1980 一),女,助教,硕士,研究方向: 非线性偏微分方程第 1 期崔慧萍,等:具有非凸条件的单个守恒律初边值问题整体弱熵解的结构 l1了具有凸条件的单个守恒律初边值问题整体弱熵解的 Lax 型表达式,PanLin 利用折线逼近法研究了没有凸条件的单个守恒律一般初边值问题整体弱熵解的存在性.Bustos.Pavia.Wendland5-6对两端有界的单个守恒律初边值问题就具有三段常数的某些特殊初边值的情形构造了整体弱熵解.对初始值为具有有限个间断点的分段光滑
7、函数和边界值为常数函数的单个凸守恒律初边值问题,文7给出了弱熵解的一个构造方法,澄清了弱熵解的结构及其在边界附近的性态.对于非凸单个守恒律的初始值问题,Ballou使用特征方法在一类分片光滑函数中构造了初值问题的整体弱熵解,并证明了分片光滑的弱熵解的唯一性.当初始值为有界的局部有界变差函数时,Dafermos9 利用折线逼近法对具有一般非凸流函数的单个守恒律初始值问题构造了一类分片常数的近似解,并由此得到整体弱熵解的存在性.为了澄清具有非凸条件的单个守恒律初边值问题弱熵解的结构和波的行为,最近,文1O在流函数含有一个拐点的条件下就初始值为两段常数和边界值为常数的情形构造了初边值问题的整体弱熵解
8、,并发现了波与边界的相互作用结构中有着与相应单个凸守恒律初边值问题不同的现象.本文进一步研究,单个守恒律初边值问题在流函数含有有限个拐点,初始值为两段常数且边界值为常数的条件下,整体弱熵解的结构以及初等波与边界之间的相互作用,澄清整体弱熵解在边界附近的性态.1 弱熵解的定义及相关引理考虑下列单个守恒律的初边值问题,/,+/,)=0,0,tOu(x,0)=M.(),o(1)tu(0,t)=/,6(t),t10其中厂 EC,/,.(?)与/,(?)是0,.)上两个不恒等的函数.定义称0,.) 0,.)上一个有界的局部有界变差函数 u(x,t)为初边值问题 (1)的弱熵解,若对任意非负检验函数c(0
9、,.)0,.)和任意 kR,u(x,t)满足不等式:ff 一后 sgn(M 一后)?(M)一 k)dxdt+上 l.()一 kI,b(o,x)dt+上 sgn()一)?(u(O,t)一 k)(O,t)dt0.(2)引理一个具有分段光滑间断线的分片光滑函数 u(x,t)是初边值问题 (1)在式(2)下的弱熵解,当且仅当有(I)在其光滑区域内,u(x,t) 满足式(1).()若=(t)是 tt(x,t)的弱间断,则dx/dt=/(M(),t);若=(t)是 M(,t)的强间断,则 RankineHugoniot 间断条件dx/dt=(/,一) 一+)/( 一一/,+)和 01einik 熵条件(一
10、)一 U)/(u 一一/,) (一)一 U)/(/,一一/,)均成立,这里/,=/,(t)4-0,t),为位于一和之间的任意数()边界熵条件 u(O,t)=u(t)成立或k(:),( ),(3)其中J,(u(o,),()=minu(O,t),(t),max(O,t),M6(t.(V)u(x,0)=tt0()a.e.O.2 弱熵解的结构对问题(1)中的流函数厂及初边值数据作如下假设(A)feC 具有有限个拐点(A):M.():fMmo口LIUHong.xia,PANTao.Constractionofsolutionsand.elTOrestimatesofviscousmethodsforsc
11、alarconservationlawswithboundaryJ.AetaMathSinica,2006.InPress.12 暨南大学(自然科学版)第 28 卷(A)3(t)=一,tI0其中,为互不相等的常数.厂在 min一,+和 max一,+ 之间至少存在两个拐点,否则问题(1)退化为单拐点情形,其讨论见文11.为简明起见,我们只讨论 f“(一)0 的情形.对 f“(一)I0 的情形可类似地讨论 .首先考虑下列初始值问题v0)t+0)=O,一 ,tO.,.: 三: 口 c4【+,口 .由文9可知, 问题(4) 在 R0,)上存在唯一分片光滑整体弱熵解,设为【0(,t).显然,(,t)在初
12、始点(O,O)和(口,0)处会分别发出一个中心扩张波或中心压缩波,且这两个初始波可能会相互作用.我们将根据,的大小,把问题分成以下两种情形讨论.(I)(0(,t)在两个初始点处发出的波为同种波,即同为中心扩张波或中心压缩波.此时,一+ 或+一.由于之间至少存在两个拐点,故两个初始波中至少含有一个接触激波或非接触激波.这两个中心扩张波(或压缩波)相互作用的结果为一个一般的扩张波(或压缩波).由引理可知,初边值问题(1)在 Rt.,)(t.=O)上的整体弱熵解为u(x,t)=.(,t)lR+R+,且解 u(x,t)中初等波与边界的相互作用类型包括:中心稀疏波与边界相撞并被边界全部或部分吸收;接触或
13、非接触激波碰到边界并被边界吸收.()(0(,t) 在两个初始点处发出的波为异种波,即中心扩张波与中心压缩波.由于流函数厂只有有限个拐点且初始值仅为三段常数,故(0(,t)中只含有有限个接触或非接触激波.为方便,以下把接触或非接触激波都称为激波.考察(,t)中的所有激波.若(0(,t)中所有激波都不与 t 一轴相交,由引理易知 u(x,t)=(,t)l+是问题 (1)的整体弱熵解.u(x,t) 中初等波与边界的相互作用类型为:中心稀疏波碰到边界并被边界部分或全部吸收.否则,记(,t)的所有激波中第一次与 t 一轴相交时刻为_0(当问题(4)在初始间断点(0,0) 处有激波发出且位于 t 一轴上时
14、,_0 取为该初始激波从t=to 开始与 t 一轴相交的所有连续时刻的上确界 ).若_0= ,则问题 (1)的整体弱熵解就是u(x,t)=.(,t)lR+R+.如果【0(,t)在间断点(0,0)处有位于 t 一轴上的激波发出,则(,t)在t.,)上恒为常数,取 t】=, 由引理易证 (,t)=(,t)I+.)是问题(1)在 Rt.,t1)上的局部弱熵解.否则,_0 可能是从第一象限出发的激波也可能是从第二象限出发的激波与 t 一轴相交的时刻.下面分别对这两种情形加以讨论.(i)是从第二象限出发的激波与 t 一轴相交的时刻.此时,(,t)在初始间断点(0,0)处发出的中心波中一定存在着一个以(O
15、+,t.)为右状态的激波或左接触激波,记此初始激波为.s,其左状态为若.s 在 Rt.,_0)上出现分叉,记这些分叉激波与 t 一轴相交的所有时刻的上确界为0(:._0).当0时(见图 1),由厂的光滑性及介值定理可知,在以.(O+,t0),.(O+,)为端点的开区间内存在,=:,同时在以(0 一 ,;.)为端点的闭区间上存在,使得)=Vr1)成立.f“lL_.“,/.,.f.:一,:“.,.图 1 稀疏波与边界的相互作用第 1 期崔慧萍,等:具有非凸条件的单个守恒律初边值问题整体弱熵解的结构 13当0=或者激波 s.在 Rt.,i.)上不出现分又时,在以 tJ.(O+,t0),tJ.(O+,
16、)为端点的开区间内存在,在以(O 一,) 为端点的闭区间上存在,使厂()=r.)成立.而且在一厂平面上,点()与点(r., 厂(r.)之间的连线与位于这两点之间的图像没有交点或最多只有有限个切点.速度为厂(r.)的特征必与 t 一轴相交,记相交的时刻为 t1(t0t1).则(,t)=tJ(,t)I+.)满足引理的条件,因而是问题(1)在 Rxt.,t.)上的局部弱熵解.(ii)-0 是从第一象限出发的激波( 记为.s.)与 t一轴相交的时刻.如果 S 在从第一象限穿过 t 一轴进入第二象限之后不再与其它激波相碰,或者 S.在从第一象限穿过 t 一轴进入第二象限之后与其左侧激波相碰且tJ.(一
17、0,t)=tJ.(,t1.一 0)(其中(1.,t1.)为S 与左侧激波首次相交的点),取 t=i.,则 u(x,t)=tJ.(,t)IR+.)是问题(1) 在 Rt0,t.)上的局部弱熵解;如果 S 在从第一象限穿过 t 一轴进入第二象限之后与其左侧激波相碰且 tJ.(1.一 0,t1.)tJ(1.,f1.一 0),则点(0,0) 处发出的中心波中一定存在着以(O+,t.) 为右状态的非接触激波或左接触激波,记此初始激波左状态为.,由厂的光滑性及介值定理知,在以 tJ.(O+,t0),口.(O+,-0 0)为端点的开区间内存在 r.,同时在以(1.一0,t)为端点的闭区间上存在,使得厂()=
18、r.)成立.速度为厂 (,=:)的特征必与 t 一轴相交,记交点为 t.(t0t.).则问题(1)在 Rt0,t.)上的局部弱熵解是 u(x,t)=tJ(,t)I+.).至此,完成了初边值问题(1)在 Rxt.,t)上局部弱熵解的构造.为了将这个解延拓至 Rt.,o.),考虑下列初始值问题,(tJ)f+厂(tJ)=0,一 o.o.,ttl(x,t1):fLtJ(,t10),Q显然,问题(5)在 Rt,o.)上存在唯一分片光滑整体弱熵解,记为 tJu(,t),且 tJ(,t)中的激波个数在 Rt.,o.)上有限.像在 Rxt.,t.)上构造解那样,再来考察tJ(1(,t)中所有的激波 .若(,t
19、)中所有的激波都不再与 t 一轴相交,则(,t)=(,t)I+【l)是问题(1)在Rxt,o.)上的弱熵解,在时刻 t=t.的邻域内 u(,t)中初等波与边界的相互作用类型为:激波碰到边界并被边界吸收;中心稀疏波与边界相撞,边界反射一个含有接触或非接触激波或分又激波的中心波;激波在时刻 t=t.碰到边界 ,边界同时或稍后弹回一个包含接触或非接触激波的中心波.若 tJ(1(,t)中有激波与 t 一轴相交,记 tJ(,t)的所有激波中第一次与 t 一轴相交时刻为 i.如果 tJ(,t)在点(0,t.) 处有位于 t 一轴上的激波发出,则在t.,i.)上 tJ(,t)恒为常数,取 t:=i,则初边值问题(1)在 Rxt.,t:)上的弱熵解是(,)= (,)IR+If1f1).否则,.可能是从第一象限也可能是从第二象
