1、关于圆的问题圆的有关问题是与直线型紧密结合在一起的，因而综合性强，富于变化.圆的有关计算与证明例 1 圆内接八边形的四条边长为 1，另四条边长为 2.求此八边形的面积.例 2 在边长为 1cm 的正五边形,去掉所有与五边形各顶点距离都小于 1cm 的点,求余下部分的面积.例 3 三个全等的圆有一个公共点 O，并且都在一个已知ABC 内.每个圆与ABC 的两边相切.求证：ABC 的内心、外心和 O 点共线.例 4 如图 35-4，在ABC 中，BD、CE 为高，F、G 分别为 ED、BC 的中点，O 为外心，求证：AOFG.例 5 已知在凸五边形 ABCDE 中，BAE=3a,BC=CD=DE，
2、且BCO=CDE=180-2a，求证：BAC=CAD=DAE.例 6 如图 35-6，AB 为定圆 O 中的定弦，作O 的弦 C1D1，C 2D2，C 1988D1988，对其中每一 i（i=1，2，,1988） ，C iDi 都被弦 AB 平分于 Mi.过 Ci、D i 分别作O 的切线，两切线交于 Pi.求证：点 P1，P 2，P 1988 与某定点等距离，并指出这定点是什么点.例 7 若凸四边形两对角线的乘积等于它的两组对边乘积之和，则此四边形内接于圆. 托勒密逆定理例 8 如图 35-8，已知 AD、BC 是O 的两条相交的弦，且 B 在劣弧 AD 上，O 的半径为 5，BC=6，AD
3、 被 BC 平分；又设从 A 出发的弦只有 AD 能被 BC等分，这样可以知道 AB 劣弧对应的圆心角的正弦是一个有理数.如果把这个有理数化为最简分数 ，求 mn.nm例 9(1962 年北京中学生数学竞赛题 )任意剪六个圆形纸片放在桌面上 ,使得没有一个纸片的中心落在另一纸片上或被另一纸片盖住,然后用一枚针去世扎这一堆纸片.证明:不论针尖落在哪一点,总是不能一次把六个纸片全部扎中.例 10（第 21 届国际中学生数学竞赛题）如图 35-10，平面上两圆相交，其中一交点为 A.两动点各以匀速自A 点出发在不同的圆周上同向移动，这两点移动一周后同时返回到 A 点.求证平面上有一定点 P，它不论在
4、何时皆和两动点等距离.关于圆的问题例 1 （第 3 届全国部分省市初中数学通讯赛试题）圆内接八边形的四条边长为 1，另四条边长为 2.求此八边形的面积.解 由弓形面积公式知所求的八边形的面积与八边形各边排列的顺序无关.不妨设八边形 ABCDEFGH 如图 35-1，且有AB=CD=EF=GH=2，BC=DE=FG=HA=1.双向延长 AH、BC 、DE、FG 得正方形 KLMN.故 S 八边形 ABCDEFGH=S 正方形 KLMN-4SABK= .245)(1)(2例 2 （第 19 届全苏中学生竞赛题）在边长为 1cm 的正五边形,去掉所有与五边形各顶点距离都小于 1cm 的点,求余下部分
5、的面积.解 以 A 为圆心,1cm 长为半径的扇形 ABE 内的点到点A 的距离都小于 1cm.分别以正五边形的各顶点为圆心,1cm 长为半径作弧 ,以五段圆弧为边界的“曲边五边形”MNPQR 内的点到正五边形 ABCDE 各顶点的距离小于1cm.五边形内余下的部分是五个等积的 “曲边三角形”BMC、 CND、DPE 、EQA、ARB （如图 35-2）.考察“曲边三角形”BMC 与以BAM 为圆心角( 等于60)的扇形 BAM 的面积之和 ,恰等于等边三角形 ABM与以CBM 为圆心角（等于 108-60=48）的扇形 CBM 的面积之和 .所以，所要求的面积为：5S 曲边BMC=5(SAB
6、M +S 扇形 CBM-S 扇形 BAM)=5 =)615243(.(432cm例 3 （第 22 届国际数学竞赛题）三个全等的圆有一个公共点 O，并且都在一个已知 ABC 内.每个圆与ABC 的两边相切.求证：ABC 的内心、外心和 O 点共线.证明 如图 35-3,设三等圆为 A 、B 和C.故ABAB ，B CBC，CACA.于是ABC ABC.由于三等圆分别与ABC 的两边相切，故AA、BB、 CC相交于ABC 内心 I.显然，I 也是ABC 的内心 .因此， ABC 的外心 E，ABC 的外心 E与 I 三点共线.又 O 是三等圆的公共点，OA=OB =OC，因此 O即是ABC的外心
7、 E .故 E，O、I 三点共线.四点共圆例 4 （1980 年哈尔滨初中数学竞赛题）如图 35-4，在ABC 中，BD、CE 为高，F、G 分别为 ED、BC 的中点，O 为外心，求证：AO FG.证明 过 A 作O 的切线 AT.BD、CE 为高，B、C、D、E 四点共圆. TAC=ABC=ADEATED. 又 AOAT ，AOED.又G 为 BC 中点，DG= BC=EG.21而 EF=DF，FGED.故 AOFG.例 5（1990 年全国初中数学竞赛题）已知在凸五边形ABCDE 中， BAE=3a,BC=CD=DE，且BCO=CDE=180-2a，求证：BAC=CAD=DAE.证明 连
8、结 BD、CE.BC=CD=DE，BCD=CDE，BCDCDE.又BCD=180-2a,CBD=CDB=DCE=DEC=a,B、C、D、E 四点共圆，且 BC=CD=DE=2a.BCDE=6a.又BAE=3a，A、B、C 、D、E 共圆.BAC=CAD= DAE=a.例 6 （1988 年广州等五市数学联赛题）如图 35-6，AB 为定圆 O 中的定弦，作 O 的弦C1D1，C2D2，C1988D1988，对其中每一i（i=1，2，,1988） ，CiDi 都被弦 AB 平分于 Mi.过Ci、Di 分别作O 的切线，两切线交于 Pi.求证：点P1，P2，P1988 与某定点等距离，并指出这定点
9、是什么点.证明 连 OCi、OD i，对每个 i（i=1 ，2，1988） ，C iDi 均被 AB 平分于 Mi，C iMiDiMi=AMiBMi. 又 PiCi,PiDi 分别切 O 于 Ci、D i，故知 O、C i、P i、D i 共圆，且 OPi 通过 CiDi 的中点 Mi.C iMiDiMi=PiMiOMi. 由、得 OMiMiPi=MiAMiB.P i 和 O、A、 B 共圆.但 O、A、B 为定点，P i 和 OAB 的圆心距离相等.即点 P1，P 2，P 1988 与定点等距离，这定点为OAB 的圆心.例 7 若凸四边形两对角线的乘积等于它的两组对边乘积之和，则此四边形人接
10、于圆.证明如图 35-7，在凸四边形 ABCD 中，设ACBD=ABCD+ADBC.（）作ECD=ACB，EBC= CAD ，于是BECADC， ACBDE由得 BEAC=ADBC. 由及1=2,可得ABC DCE.3=4， .DCEB即 DEAC=ABDC +即有(BE+DE)AC=ADBC+ABDC. 比较式与()式 得 BE+DE=BD.这说明，E 在 BD 上，3 与BDC 重合.BDC=BAC.故 A、B、C、D 四点共圆.此例是托勒密逆定理.1 杂题例 8（第 1 届美国数学邀请赛题）如图 35-8，已知AD、BC 是O 的两条相交的弦，且 B 在劣弧 AD 上，O 的半径为 5，
11、BC=6，AD 被 BC 平分；又设从 A出发的弦只有 AD 能被 BC 等分，这样可以知道 AB 劣弧对应的圆心角的正弦是一个有理数.如果把这个有理数化为最简分数 ，求 mn.nm分析设 AD、BC 交于 M，M 为 AD 中点，则点 M 的轨迹是在 A 点与O 内切的半径为 的P，依题意 BC25与P 切于点 M.要求 mn，须求 sinAOB= ，亦是求 cosAOB 之nm值.作 ONBC 于 N，连 OB，则BN= =3，ON=BC21.42BO作 PQON 于 Q,连 PM,则 PQNM 为矩形,故有QN=PM=OP= AO= ,OQ=ON-QN=5,23MN=PQ= ,2OQPB
12、M=BN-MN=1BP= .92MB在POB 中,由余弦定理 ,cosAOB= = = ,OPB225)91()24sinAOB= =A2cos1.7)(2mn=725=175.例 9(1962 年北京中学生数学竞赛题 )任意剪六个圆形纸片放在桌面上,使得没有一个纸片的中心落在另一纸片上或被另一纸片盖住,然后用一枚针去世扎这一堆纸片.证明:不论针尖落在哪一点,总是不能一次把六个纸片全部扎中.分析 这命题等价于：平面上有六个圆，每个圆心都在其余各圆的外部，证明平面上任意一点都不会同时在这六个圆内部.证明 （反证法）如图 35-9，设平面上有一点 M 同时在这六个圆内部，连结六个圆心：MO1，MO
13、 2，MO 6.则O 1MO2+ O2MO3+ O6MO1=360.因此，至少有一个角不大于 60，不妨设O 1MO260，即 60.又，+=180 则 , 中必有一个不小于 60.不妨设 60，则 .O 1O2O 1Mr 1(r1 为圆O 1 的半径).故 O2 在O 1 内，这与题设矛盾，这就证明了 M 点不可能同时在六个圆的内部.例 10（第 21 届国际中学生数学竞赛题）如图 35-10，平面上两圆相交，其中一交点为 A.两动点各以匀速自A 点出发在不同的圆周上同向移动，这两点移动一周后同时返回到 A 点.求证平面上有一定点 P，它不论在何时皆和两动点等距离.解设O 1 与O 2 相交于 A 和 A并设两动点 Q1 和 Q2分别在O 1 和O 2 上，使AO 1Q1=AO 2Q2.连Q1AQ 2A.因为圆周角等于同弧所对圆心角的一半， 故AAQ 1= AO1Q1,AAQ 2=-AXQ 2=-AO 2Q2.AAQ 1+ AAQ 2=. 即有 Q1、B 、Q 2 三点共线.过 A 点作 MNAA分别交两圆于 M、N， （如图 35-11） ，设 Q1 和 Q2 表示两动点在任一时刻的位置.由圆内接四边形两对角互补可知MQ 1A=A Q 2N= .作 Q1Q 的中垂线，交 MN 于它的中点 P，点 P 就是所求的定点.它显然和 Q1，Q 2 等距离.后记;
