优化方案2017高中数学 第一章 三角函数习题（打包29套）北师大版必修4.zip

1【优化方案】2017 高中数学 第二章 平面向量 1.1.1-1.2 位移、速度和力、向量的概念应用案巩固提升 北师大版必修 4[A 基础达标] 1．下列说法正确的个数是( )①零向量没有方向；②单位向量的方向任意；③长度为 1 cm 的向量是一个单位向量；④与一个非零向量共线的单位向量有两个．A．0 B．1C．2 D．4解析：选 B.零向量的方向任意，不是没有方向，故①不正确；单位向量一旦确定，其方向也是确定的，故 ②不正确；单位向量长度为 1 个单位长度，而 1 cm 不一定等于 1 个单位长度，故③不正确；与一个非零向量共线的单位向量有两个，它们方向相反，故④正确．2．如图， D， E， F 分别是△ ABC 边 AB， BC， CA 的中点，有下列 4 个结论：① ＝ ， ＝ ；② ∥ ；AD→ FE→ AF→ DE→ DF→ CB→ ③| |＝| |；④ ＝ .CF→ DE→ FD→ BE→ 其中正确的为( )A．①②④ B．①②③C．②③④ D．①④解析：选 B.因为 D， E， F 分别为△ ABC 边 AB， BC， CA 的中点，所以 EF 綊AB＝ AD， AF 綊 DE， DF∥ CB， DE 綊 CF，故①②③正确．123．已知 A＝{与 a 共线的向量}，B＝{与 a长度相等的向量 }，C＝{与 a 长度相等，方向相反的向量}，其中 a 为非零向量，则下列命题中错误的是( )A．CA B．A∩B＝{a}2C．CB D．A∩B{a}解析：选 B.因为 A∩B 中还含有与 a 方向相反的向量，故 B 错．4．给出下列说法：①若 a 是单位向量，b 也是单位向量，则 a 与 b 的方向相同或相反 ；②若向量 是单位向量，则向量 也是单位向量；AB→ BA→ ③两个相等的向量，若起点相同，则终点必相同．其中正确说法的个数为( )A．0 B．1C．2 D．3解析：选 C.由单位向量的定义知，凡长度为 1 个单位长度的向量均称为单位向量，对方向没有任何要求，故①不正确；因为| |＝| |，所以当 是单位向量时， 也是单位AB→ BA→ AB→ BA→ 向量，故②正确；据相等向量的概念知，③是正确的．5．把平面内所有长度不小于 1 且不大于 2 的向量的起点平移到同一点 O，则这些向量的终点所构成的图形的面积为( )A．4 π B． πC．2 π D．3 π解析：选 D.图形是半径为 1 和 2 的同心圆对应的圆环，故 S 圆环 ＝ π (22－1 2)＝3 π .6．已知 A，B，C 是不共线的三点，向量 m 与向量 是平行向量，与 是共线向量，AB→ BC→ 则 m＝________．解析：因为 A，B，C 不共线，所以 与 不共线．又因为 m 与 ， 都共线，所以AB→ BC→ AB→ BC→ m＝0.答案：07．若| |＝| |且 ＝ ，则四边形 ABCD 的形状是________．AB→ AD→ BA→ CD→ 解析：在四边形 ABCD 中， ＝ ，则 ABCD 为平行四边形，又| |＝| |，所以四边BA→ CD→ AB→ AD→ 形是菱形．答案：菱形8.如图所示，在梯形 ABCD 中，若 E， F 分别为腰 AB， DC 的三等分点，且3| |＝2，| |＝5，则| |＝________．AD→ BC→ EF→ 解析：过 D 作 DH∥ AB，分别交 EF， BC 于点 G， H，因为| |＝2，所以| |＝| |＝2，AD→ EG→ BH→ 又| |＝5，所以| |＝3，BC→ HC→ 又 E， F 分别为腰 AB， DC 的三等分点，所以 G 为 DH 的三等分点，所以 ∥ ，GF→ HC→ 且| |＝ | |，GF→ 13HC→ 所以| |＝1，所以| |＝| |＋| |＝2＋1＝3.GF→ EF→ EG→ GF→ 答案：39．飞机从 A 地按北偏西 15°的方向飞行 1 400 km 到达 B 地，再从 B地按东偏南 15°的方向飞行 1 400 km 到达 C 地，那么 C 地在 A 地什么方向？ C 地距 A地多远？解：如图所示， 表示飞机从 A 地按北偏西 15°方向飞行到 B 地的位移，则| |＝1 AB→ AB→ 400(km)．表示飞机从 B 地按东偏南 15°方向飞行到 C 地的位移，则| |＝1 400(km) .BC→ BC→ 所以 为从 A 地到 C 地的位移．AC→ 在△ ABC 中， AB＝ BC＝1 400(km)，且∠ ABC＝(90°－15°)－15°＝60°，故△ ABC 为等边三角形，所以 AC＝1 400(km)．所以 C 地在 A 地北偏东 60°－15°＝45°，距离 A 地 1 400 km 处．10.4已知 ABCD 是任意四边形，边 AD， BC 的中点分别为 E， F，延长 AF 到 G，使 F 恰为 AG的中点，连接 BG， CG， DG， AC.(1)试找出与 相等的向量；AB→ (2)试找出与 相等的向量；AC→ (3)试找出与 共线的向量．EF→ 解：(1) F 是 AG 和 BC 的中点，所以四边形 ABGC 是平行四边形．故 ＝ .AB→ CG→ (2)由(1)知四边形 ABGC 是平行四边形，所以 ＝ .AC→ BG→ (3)因为 E 为 AD 的中点， F 是 AG 的中 点，所以 EF 为△ ADG 的中位线， EF∥ DG，所以与 共线的向量有 ， 和 .EF→ DG→ GD→ FE→ [B 能力提升] 1.如图，在菱形 ABCD 中，∠ DAB＝120°，则以下说法错误的是( )A．与 相等的向量只有一个(不含 )AB→ AB→ B．与 的模相等的向量有 9 个(不含 )AB→ AB→ C. 的模恰为 模的 倍BD→ DA→ 3D. 与 不共线CB→ DA→ 解析：选 D.两向量 相等要求长度(模)相等，方向相同．两向量共线只要求方向相同或相反．D 中 ， 所在直线平行，向量方向相同，故共线．CB→ DA→ 52．若 A 地位于 B 地正西方向 5 km 处， C 地位于 A 地正北方向 5 km 处，则 C 地相对于B 地的位移是________．解析：据题意画出图形如图所示，由图可知| |＝5 km，且∠ ABC＝45°，BC→ 2故 C 地相 对于 B 地的位移是西北方向 5 km.2答案：西北方向 5 km23.如图，在四边形 ABCD 中， M， N 分别是 BC， AD 的中点，且 ＝ ，求证： ＝ .AB→ DC→ CN→ MA→ 证明：因为 ＝ ，AB→ DC→ 所以| |＝| |，且 ∥ ，AB→ DC→ AB→ DC→ 所以四边形 ABCD 为平行四边形，所以 ＝ .AD→ BC→ 因为 M， N 分别是 BC， AD 的中点，所以| |＝ | |，| |＝ | |，AN→ 12AD→ MC→ 12BC→ 所以| |＝| |.AN→ MC→ 又因为 ∥ ，AN→ MC→ 所以四边形 AMCN 是平行四边形，所以 ∥ ，| |＝| |，CN→ MA→ CN→ MA→ 且 ， 方向相同，CN→ MA→ 所以 ＝ .CN→ MA→ 4．(选做题)6一辆消防车从 A 地去 B 地执行任务，先从 A 地向北偏东 30°方向行驶 2 千米到 D 地，然后从 D 地沿北偏东 60°方向行驶 6 千米到达 C 地，从 C 地又向南偏西 30°方向行驶 2 千米才到达 B 地．(1)在如图所示的坐标系中画出 ， ， ， ；AD→ DC→ CB→ AB→ (2)求 B 地相对于 A 地的位移．解：(1)向量 ， ， ， 如图所示．AD→ DC→ CB→ AB→ (2)由题意知 ＝ .AD→ BC→ 所以 AD 綊 BC，则四边形 ABCD 为平行四边形．所以 ＝ ，则 B 地相 对于 A 地的位移为“北偏东 60°，6 千米” ． AB→ DC→ 1【优化方案】2017 高中数学 第二章 平面向量 2.2.1 向量的加法应用案巩固提升 北师大版必修 4[A 基础达标] 1．在四边形 ABCD 中，若 ＝ ＋ ，则( )AC→ AB→ AD→ A．四边形 ABCD 是矩形B．四边形 ABCD 是菱形C．四边形 ABCD 是正方形D．四边形 ABCD 是平行四边形解析：选 D.由向量加法的平行四边形法则知四边形 ABCD 是平行四边形．故选 D.2．如图所示，在平行四边形 ABCD 中， ＋ ＋ ＝( )BC→ DC→ BA→ A. B.BD→ DB→ C. D.BC→ CB→ 解析：选 C. ＋ ＋ ＝ ＋( ＋ )＝ ＋0＝ .BC→ DC→ BA→ BC→ DC→ BA→ BC→ BC→ 3．已知 a， b， c 是非零向量，则( a＋ c)＋ b， b＋( a＋ c)， b＋( c＋ a)， c＋( a＋ b)，c＋( b＋ a)中，与向量 a＋ b＋ c 相等的个数为( )A．5 B．4C．3 D．2解析：选 A.依据向量加法的交换律及结合律，每个向量式均与 a＋ b＋ c 相等，故选 A.4．在矩形 ABCD 中，| |＝4，| |＝2，则向量 ＋ ＋ 的长度等于( )AB→ BC→ AB→ AD→ AC→ A．2 B．45 5C．12 D．6解析：选 B.因为 ＋ ＝ ，所以 ＋ ＋ 的长度为 的模的 2 倍，故选 B.AB→ AD→ AC→ AB→ AD→ AC→ AC→ 5．已知平行四边形 ABCD，设 ＋ ＋ ＋ ＝ a，且 b 是一非零向量，则下列结论：AB→ CD→ BC→ DA→ ① a∥b ；② a＋ b＝ a；③ a＋ b＝ b；④ |a＋ b||a|＋| b|.其中正确的是( )A．①③ B．②③2C．②④ D．①②解析：选 A.因为在平行四边形 ABCD 中， ＋ ＝0， ＋ ＝0，所以 a 为零向量，AB→ CD→ BC→ DA→ 因为零向量和任意向量都平行，零向量和任意向量的和等于这个向量本身，所以①③正确，②④错误．6．当非零向量 a， b 满足________时， a＋ b 平分以 a 与 b 为邻边的平行四边形的内角．解析：由平面几何知识知，在平行四边形中，菱形的对角线平分其内角．答案：| a|＝| b|7．已知 G 是△ ABC 的重心，则 ＋ ＋ ＝________．GA→ GB→ GC→ 解析：如图，连接 AG 并延长交 BC 于 E，点 E 为 BC 中点，延长 AE 到 D， 使 GE＝ ED，则 ＋GB→ ＝ ， ＋ ＝0，GC→ GD→ GD→ GA→ 所以 ＋ ＋ ＝0.GA→ GB→ GC→ 答案：08．在平行四边形 ABCD 中，若| ＋ |＝| ＋ |，则四边形 ABCD 是________(图 形 )BC→ BA→ BC→ AB→ ．解析：如图所示， ＋ ＝ ， ＋ ＝ ，BC→ BA→ BD→ BC→ AB→ AC→ 又| ＋ |＝| ＋ |，BC→ BA→ BC→ AB→ 所以| |＝| |，则四边形 ABCD 是矩形．BD→ AC→ 答案：矩形9．如图所示， P， Q 是三角形 ABC 的边 BC 上两点，且 BP＝ QC.求证： ＋ ＝ ＋ .AB→ AC→ AP→ AQ→ 3证明： ＝ ＋ ， ＝ ＋ ，AB→ AP→ PB→ AC→ AQ→ QC→ 所以 ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ .AB→ AC→ AP→ PB→ AQ→ QC→ 因为 与 大小相等，方向相反，PB→ QC→ 所以 ＋ ＝0，PB→ QC→ 故 ＋ ＝ ＋ ＋0＝ ＋ .AB→ AC→ AP→ AQ→ AP→ AQ→ 10．如图，在重 300 N 的物体上拴两根绳子，这两根 绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为 30°，60°，当整个系统处于平衡状态时，求两根绳子的拉力的大小．解：如图，在平行四边形 OACB 中，∠ AOC＝30°，∠ BOC＝60°，则在△ OAC 中，∠ ACO＝∠ BOC＝60°，∠ OAC＝90°，设向量 ， 分别表示两根绳子的拉力，则 表示物OA→ OB→ CO→ 体的重力，| |＝300 N，CO→ 所以| |＝| |cos 30°＝150 N，OA→ CO→ 3| |＝| |cos 60°＝150 N.OB→ CO→ 所以与铅垂线成 30°角的绳子的拉力是 150 N，3与铅垂线成 60°角的绳子的拉力是 150 N.[B 能力提升]1．已知| |＝3，| |＝3，∠ AOB＝60°，则| ＋ |＝( )OA→ OB→ OA→ OB→ A. B．33C．2 D．33 34解析：选 D.在平面内任取一点 O，作向量 ， ，以 ， 为邻边作▱ OACB，则OA→ OB→ OA→ OB→ ＝ ＋ .由题意知四边形 OACB 为菱形，又∠ AOB＝60°，所以| |＝2×3×sin 60°OC→ OA→ OB→ OC→ ＝3 .32．若| |＝10，| |＝8，则| |的取值范围是________．AB→ AC→ BC→ 解析：如图，固定 ， 以 A 为起点作 ，则 的终点 C 在以 A 为圆心，| |为半径的圆上，AB→ AC→ AC→ AC→ 由图可见，当 C 在 C1处时，| |取最小值 2，当 C 在 C2处时，| |取最大值 18.BC→ BC→ 答案：[2，18]3．一艘船在水中航行，水流速度与船在静水中航行的速度均为 5 km/h.如果此船实际向南偏西 30°方向行驶 2 km，然后又向西行驶 2 km，你知道此船在整个过程中 的位移吗？解：如图，用 表示船的第一次位移，AC→ 用 表示船的第二次位移，根据向量加法的三角形 法则知 ＝ ＋ ，CD→ AD→ AC→ CD→ 所以 可表示两次位移的和位移．AD→ 由题意知，在 Rt△ABC 中，∠BAC＝30°，所以 BC＝ AC＝1，AB＝ .12 3在等腰△ACD 中， AC＝CD＝2 ，所以∠D＝∠DAC＝ ∠ACB＝30°，12所以∠BAD＝60°，AD＝2AB＝2 ，3所以两次位移的和位移的方向是南偏西 60°，位移的大小为 2 km.34．(选做题)5在四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，且| |＝| |＝1， ＋ ＝ ＋ ＝0， cos∠DAB＝ .求| ＋ |与| ＋ |.AB→ AD→ OA→ OC→ OB→ OD→ 12 DC→ BC→ CD→ BC→ 解：因为 ＋ ＝ ＋ ＝0，OA→ OC→ OB→ OD→ 所以 ＝ ， ＝ ，OA→ CO→ OB→ DO→ 所以四边形 ABCD 为平行四边形，又| |＝| |＝1， 知四边形 ABCD 为菱形．AB→ AD→ 因为 cos∠DAB＝ ，∠DAB∈(0， π )，12所以∠DAB＝ ，π 3所以△ABD 为正三角形，所以| ＋ |＝| ＋ |DC→ BC→ AB→ AD→ ＝| |＝2| |＝ .AC→ AO→ 3| ＋ |＝| |＝| |＝1.CD→ BC→ BD→ AB→ 1【优化方案】2017 高中数学 第二章 平面向量 2.2.2 向量的减法应用案巩固提升 北师大版必修 4[A 基础达标] 1．若 O， E， F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )A. ＝ ＋ B. ＝ －EF→ OF→ OE→ EF→ OF→ OE→ C. ＝－ ＋ D. ＝－ －EF→ OF→ OE→ EF→ OF→ OE→ 解析：选 B.根据向量的减法的定义可得 ＝ － .EF→ OF→ OE→ 2．下列式子不正确的是( )A． a＋0＝ a B． a＋ b＝ b＋ aC. ＋ ≠0 D. ＝ ＋ ＋AB→ BA→ AC→ DC→ AB→ BD→ 解析：选 C.根据向量加法的三角形法则，A 正确；向量加法满足交换律，B 正确；因为 与 是一对相反向量，相反向量的和为零向量，所以 C 不正确；根据向量加法AB→ BA→ 的 多边形法则， D 正确．3．在△ ABC 中， D 是 BC 边上的一点，则 － 等于( )AD→ AC→ A. B.CB→ BC→ C. D.CD→ DC→ 解析：选 C.在△ ABC 中， D 是 BC 边上的一点，则由两个向量的减法的几何意义可得－ ＝ .AD→ AC→ CD→ 4．如图，在任意四边形 ABCD 中， E， F 分别为 AD， BC 的中点，则 ＋ ＝( )EF→ EF→ A. B. ＋AB→ AB→ DC→ C. D. ＋DC→ AD→ BC→ 解析：选 B.因为 ＝ ＋ ＋ ， ＝ ＋ ＋ ，又 与 互为相反向量， 与EF→ EA→ AB→ BF→ EF→ ED→ DC→ CF→ EA→ ED→ BF→ 2互为相反向量，所以 ＋ ＝0， ＋ ＝0.所以 ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝(CF→ EA→ ED→ BF→ CF→ EF→ EF→ ED→ DC→ CF→ EA→ AB→ BF→ ＋ )＋ ＋ ＋( ＋ )＝ ＋ .ED→ EA→ DC→ AB→ BF→ CF→ AB→ DC→ 5．若| |＝8，| |＝5，则| |的取值范围是( )AB→ AC→ BC→ A．[3，8] B．(3，8)C．[3，13] D．(3，13)解析：选 C.当 与 不共线时，有 ＝ － (如图所示)，AB→ AC→ BC→ AC→ AB→ 由三角形三边的不等关系可知8－5| |8＋5，即 3| |13，BC→ BC→ 当 与 共线反向时，| |＝13；AB→ AC→ BC→ 当 与 共线同向时，| |＝3，所以 3≤| |≤13.AB→ AC→ BC→ BC→ 6．如图，在梯形 ABCD 中， AD∥ BC， AC 与 BD 交于 O 点，则－ － ＋ ＋ ＝________．BA→ BC→ OA→ OD→ DA→ 解析： － － ＋ ＋BA→ BC→ OA→ OD→ DA→ ＝( － )－( － )＋BA→ BC→ OA→ OD→ DA→ ＝ － ＋ ＝ .CA→ DA→ DA→ CA→ 答案： CA→ 7．化简：(1)( － )＋( － )＝________．AD→ BM→ BC→ MC→ (2)( － )＋( － )＝________．PQ→ MO→ QO→ QM→ 解析：(1)( － )＋( － )＝ ＋ ＋ ＋ ＝ ＋( ＋ )＋ ＝ ＋ ＋ ＝AD→ BM→ BC→ MC→ AD→ MB→ BC→ CM→ AD→ MB→ BC→ CM→ AD→ MC→ CM→ .AD→ (2)( － )＋( － )＝ ＋ －( ＋ )＝ － ＝ ＋ ＝ .PQ→ MO→ QO→ QM→ PQ→ QO→ QM→ MO→ PO→ QO→ PO→ OQ→ PQ→ 3答案：(1) (2)AD→ PQ→ 8．若菱形 ABCD 的边长为 2，则| － ＋ |＝________AB→ CB→ CD→ 解析：因为菱形 ABCD 的边长为 2，所以| － ＋ |＝| ＋ ＋ |＝| ＋ |＝|AB→ CB→ CD→ AB→ BC→ CD→ AC→ CD→ |＝2.AD→ 答案：29.如图，已知 ＝ a， ＝ b， ＝ c， ＝ d， ＝ e， ＝ f，试用 a， b， c， d， e， f 表OA→ OB→ OC→ OD→ OE→ OF→ 示以下向量：(1) ；(2) ；(3) ＋ ＋ .AC→ AD→ DF→ FE→ ED→ 解：(1) ＝ － ＝ c－ a.AC→ OC→ OA→ (2) ＝ ＋ ＝－ ＋ ＝－ a＋ d.AD→ AO→ OD→ OA→ OD→ (3) ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝0.DF→ FE→ ED→ DO→ OF→ FO→ OE→ EO→ OD→ 10．如图所示，已知正方形 ABCD 的边长等于 1， ＝ a， ＝ b， ＝ c，试作出下列AB→ BC→ AC→ 向量，并分别求出其长度．(1)a＋ b＋ c；(2) a－ b＋ c.解：(1)由已知得 a＋ b＝ ＋ ＝ ，AB→ BC→ AC→ 又 ＝ c，所以延长 AC 到 E，使| |＝| |.AC→ CE→ AC→ 则 a＋ b＋ c＝ ，且| |＝2 .AE→ AE→ 24所以| a＋ b＋ c|＝2 .2(2)作 ＝ ，连接 CF.BF→ AC→ 则 ＋ ＝ ，DB→ BF→ DF→ 而 ＝ － ＝ a－ ＝ a－ b，DB→ AB→ AD→ BC→ 所以 a－ b＋ c＝ ＋ ＝ 且| |＝2.DB→ BF→ DF→ DF→ 所以| a－ b＋ c|＝2.[B 能力提升]1．平面内有四 边形 ABCD 和点 O，若 ＋ ＝ ＋ ，则四边形 ABCD 的形状是( )OA→ OC→ OB→ OD→ A．梯形 B．平行四边形C．矩形 D．菱形解析：选 B.因为 ＋ ＝ ＋ ，OA→ OC→ OB→ OD→ 所以 － ＝ － ，OA→ OB→ OD→ OC→ 即 ＝ ，又 A， B， C， D 四点不共线，BA→ CD→ 所以| |＝| |，且 BA∥ CD，BA→ CD→ 故四边形 ABCD 为平行四边形．2．如图，在正六边形 ABCDEF 中，与 － ＋ 相等的向量有________．OA→ OC→ CD→ ① ；② ；③ ；④ － ＋ ；⑤ ＋ ；⑥ － ；⑦ ＋ .CF→ AD→ BE→ DE→ FE→ CD→ CE→ BC→ CA→ CD→ AB→ AE→ 解析：因为四边形 ACDF 是平行四边形，所以 － ＋ ＝ ＋ ＝ ，OA→ OC→ CD→ CA→ CD→ CF→ － ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ，DE→ FE→ CD→ CD→ DE→ EF→ CF→ ＋ ＝ ＋ ＝ ，CE→ BC→ BC→ CE→ BE→ － ＝ ，CA→ CD→ DA→ 因为四边 形 ABDE 是平行四边形，所以 ＋ ＝ ，AB→ AE→ AD→ 5综上知与 － ＋ 相等的向量是①④.OA→ OC→ CD→ 答案：①④3．在五边形 ABCDE 中，设 ＝ m， ＝ n， ＝ p， ＝ q， ＝ r，求作向量AB→ BC→ CD→ DE→ EA→ m－ p＋ n－ q－ r.解：因为 m－ p＋ n－ q－ r＝( m＋ n)－( p＋ q＋ r)＝( ＋ )－( ＋ ＋ )AB→ BC→ CD→ DE→ EA→ ＝ － ＝ ＋ .AC→ CA→ AC→ AC→ 延长 AC 到 M，使| |＝| |，则 ＝ ，CM→ AC→ CM→ AC→ 所以 ＋ ＝ ＋ ＝ .AC→ AC→ AC→ CM→ AM→ 所以向量 为所求作的向量，如图所示．AM→ 4．(选做题)已知△ ABC 是等腰直角三角形，∠ ACB＝90°， M 是斜 边 AB 的中点， ＝ a， ＝ b.CM→ CA→ 求证：(1)| a－ b|＝| a|；(2)|a＋( a－ b)|＝| b|.证明：因为△ ABC 是等腰直角三角形，∠ ACB＝90°，所以 CA＝ CB.又 M 是斜边 AB 的中点，所以 CM＝ AM＝ BM.(1)因为 － ＝ ，CM→ CA→ AM→ 又| |＝| |，所以| a－ b|＝| a|.AM→ CM→ 6(2)因为 M 是斜边 AB 的中点，所以 ＝ ，AM→ MB→ 所以 a＋( a－ b)＝ ＋( － )＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ，CM→ CM→ CA→ CM→ AM→ CM→ MB→ CB→ 因为| |＝| |，所以| a＋( a－ b)|＝| b|. CA→ CB→ 1【优化方案】2017 高中数学 第一章 三角函数 1-2 周期现象与周期函数、角的概念的推广应用案巩固提升 北师大版必修 4[A 基础达标]1．下列说法正确的是( )A．终边相同的角都相等B．钝角比第三象限角小C．第一象限角都是锐角D．锐角都是第一象限角解析：选 D.终边相同的角相差 360°的整数倍，并不一定相等，故 A 错误；钝角并不一定比第三象限角小，如－135°是第三象限角，显然－135°比钝角小，故 B 错；锐角一定是第一象限角，但第一象限角 未必都是锐角，故 D 正确， C 错误．2．某市绿化委员会为了庆祝国庆节，要在道路的两 侧摆放 花卉，其中一侧需摆放红、黄、紫、白四种颜色的花，并且按红、黄、紫、白、红、黄、紫 、白……的顺序摆放，那么第 2 016 盆花的颜色为( )A．红 B．黄C．紫 D．白解析：选 D.因为按红、黄、紫、白、红、 黄、紫、白…的顺序摆放，所以以 4 为一个周期，则 2 016÷4＝504，所以第 2 016 盆花为白色．3．若角 α 满足 α ＝45°＋ k·180°， k∈Z，则角 α 的终边落在( )A．第一或第三象限 B．第一或第二象限C．第二或第四象限 D．第三或第四象限解析：选 A.当 k 为奇数时， 角 α 与 225°角终边相同，在第三象限；当 k 为偶数时，角 α 与 45°角终边相同，在第一象限．4．终边与坐标轴重合的角 α 的集合是( )A．{ α |α ＝ k·360°， k∈Z}B．{ α |α ＝ k·180°＋90°， k∈Z}C．{ α |α ＝ k·180°， k∈Z}D．{ α |α ＝ k·90°， k∈Z}解析：选 D.终边落在 x 轴上的角 α 的集合为 S1＝{ α |α ＝ k·180°， k∈Z}，终边落2在 y 轴上的角 α 的集合为 S2＝{ α |α ＝90°＋ k·180°， k∈Z}，因此，终边落在坐标轴上的角 α 的集合为 S＝ S1∪ S2＝{ α |α ＝ k·90°， k∈Z}．5．在直角坐标系中，若角的顶点与坐标原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合， α和 β 的终边关于 y 轴对称，则 α 与 β 关系为( )A． α ＋ β ＝360°B． α ＋ β ＝(2 k－1)·180°( k∈Z)C． α ＋ β ＝ k·180°(k∈Z)D． α ＋ β ＝ k·360°(k∈Z)解析：选 B.如图 所示，因为 α 与 β 的终边关于 y 轴对称，所以 α 角的终边逆时针旋转(180°－2 α )就与 β 角终边重合．所以 β ＝ k·360°＋(180°－2 α )＋ α ，所以 α ＋ β ＝ k·360°＋180°＝(2 k＋1)·180°( k∈Z)．因为当 k 为整数时，2 k－1 与 2k＋1 都表示奇数，所以 α ＋ β ＝(2 k－1)·180°( k∈Z)．6．今天是星期二，从今天算起，27 天后的那一天是星期 ，第 50 天是星期 ．解析：每周有 7 天，27＝3×7＋6，故 27 天后的那一天是星期一；50＝7×7＋1，故第50 天是星期二．答案：一 二7．若角 α 与角 β 终边相同，则 α － β ＝ ．解析：根据终边相同的角的定义，可知 α － β ＝ k·360°(k∈Z)．答案： k·360°(k∈Z)8．有一个小于 360°的正角，这个角的 6 倍的终边与 x 轴的非负半轴重合，则这个角为 ．3解析：由题意知，6 α ＝ k·360°， k∈Z，所以 α ＝ k·60°， k∈Z.又因为 α 是小于 360°的正角，所以满足条件的角 α 的值为 60°，120°，180°，240°，300°.答案：60°，120°，180°，240°，300°9．如图，写出阴影部分(包括边界)的角的集合，并指出－950°12′是否是该集合中的角．解：阴影部分(包括边界)的角的范围是 k·360°≤ α ≤ k·360°＋125°， k∈Z，所求集合为{ α |k·360°≤ α ≤ k·360°＋125°， k∈Z}，因为－950°12′＝－3×360°＋129°48′，所以－950°12′不是该集合中的角．10．已知角 β 的终边在直线 x－ y＝0 上，写出角 β 的集合 S.3解：如图，直线 x－ y＝0 过原点，倾斜角为 60°，在 0°～360°范围内，终边落在射线3OA 上的角为 60°，终边落在射线 OB 上的角是 240°，所以以射线 OA， OB 为终边的角的集合分别为： S1＝{ β |β ＝60°＋ k·360°， k∈Z}， S2＝{ β |β ＝240°＋ k·360°，k∈Z}．所以 β 角的集合 S＝ S1∪ S2＝{ β |β ＝60°＋ k·360°， k∈Z}∪{ β |β ＝60°＋180°＋ k·360°， k∈Z}＝{ β |β ＝60°＋2 k·180°， k∈Z}∪{ β |β ＝60°＋ (2k＋1)·180°， k∈ Z}＝{ β |β ＝60°＋ n·180°， n∈Z}．[B 能力提升]1．若集合 M＝{ x|x＝45°＋ k·90°， k∈Z}， N＝{ x|x＝90°＋ k·45°， k∈Z}，则( )4A． M＝ N B． N MC． M N D． M∩ N＝∅解析：选 C.M＝{ x|x＝45°＋ k·90°， k∈Z}＝{ x|x＝(2 k＋1)·45°， k∈Z}，N＝{ x|x＝90°＋ k·45°， k∈Z}＝{ x|x＝( k＋2)·45°， k∈Z}．因 为 k∈Z，所以 k＋2∈Z，且 2k＋1 为奇数，所以 M N，故选 C.2．有白、黑两种颜色的圆片按以下规律排列：则第 100 个圆片的颜色是 ．解析：由图可知，第 5 个，第 10 个，第 15 个，……第 5n 个均为黑色圆片.100＝5×20，因此第 100 个圆片为黑色．答案：黑色3．若角 θ 的终边与 168°角的终边相同，求 0°～360°内与角 的终边相同的角．θ 3解：因为 θ ＝ k·360°＋168°， k∈Z，所以 ＝ k·120°＋56°， k∈Z.令 0°θ 3≤ k·120°＋56°360°，得 k＝0，1，2，故 0°～360° 内与角 终边相同的角是 56°，θ 3176°，296°.4.(选做题)如图，点 A 在半径为 1 且以原点为圆心的圆上，∠ AOx＝45°.点 P 从点 A 出发，按逆时针方向匀速地沿单位圆周旋转．已知点 P 在 1 s 内转过的角度为 θ (0°θ 180°)，经过 2 s 到达第三象限，经过 14 s 后又回到出发点 A，求角 θ 并判定其终边所在的象限．解：由题意，得 14θ ＋45°＝45°＋ k·360°， k∈Z，则 θ ＝ ， k∈Z.k·180°7又 180°2θ ＋45°270°，即 67.5°θ 112.5°，5则 67.5° 112.5°， k∈Z，k·180°7所以 k＝3 或 k＝4.故 θ ＝ 或 θ ＝ .540°7 720°7易知 0° 90°，90° 180°，540°7 720°7故角 θ 的终边在第一或第二象限．