优化方案2017高中数学 第1-4章习题（打包30套）新人教A版必修2.zip

1【优化方案】2017 高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 平面应用案巩固提升 新人教 A 版必修 2[A 基础达标]下面给出了三个条件：1.①空间三个点；②一条直线和一个点；③和直线 a 都相交的两条直线．其中，能确定一个平面的条件有( )A．0 个 B． 1 个C．2 个 D． 3 个解析：选 A.①空间三点共线时不能确定一个平面．②点在直线上时不能确定一个平面．③两直线若不平行也不相交时不能确定一个平面．故选 A.如果直线 a⊂平面 α ，直线 b⊂平面 α ， M∈ a， N∈ b，且 M∈ l， N∈ l，那么( )2.A． l⊂α B． l⊄αC． l∩ α ＝ M D． l∩ α ＝ N解析：选 A.因为 M∈ a， N∈ b， a⊂α ， b⊂α ，所以 M∈ α ， N∈ α .而 M， N 确定直线 l，根据公理 1 可知， l⊂α .故选 A.3．已知 α ， β 为平面， A， B， M， N 为点， a 为直线，下列推理错误的是( )A． A∈ a， A∈ β ， B∈ a， B∈ β ⇒a⊂βB． M∈ α ， M∈ β ， N∈ α ， N∈ β ⇒α ∩ β ＝ MNC． A∈ α ， A∈ β ⇒α ∩ β ＝ AD． A， B， M∈ α ， A， B， M∈ β ，且 A， B， M 不共线⇒ α ， β 重合解析：选 C.选项 C 中， α 与 β 有公共点 A，则它们有过点 A 的一条交线，而不是点A，故 C 错．4．空间四点 A， B， C， D 共面但不共线，那么这四点中( )A．必有三点共线 B． 必有三点不共线C．至少有三点共线 D． 不可能有三点共线解析：选 B.若 AB∥ CD，则 AB， CD 共面，但 A， B， C， D 任何三点都不共线，故排除A，C；若直线 l 与直线外一点 A 在同一平面内，且 B， C， D 三点 在直线 l 上，所以排除 D.故选 B.5．如图，平面 α ∩平面 β ＝ l， A、 B∈ α ， C∈ β ， C∉l，直线 AB∩ l＝ D，过A、 B、 C 三点确定的平面为 γ ，则平面 γ 、 β 的交线必过( )A．点 A B． 点 BC．点 C，但不过点 D D． 点 C 和点 D解析：选 D.根据公理判定点 C 和点 D 既在平面 β 内又在平面 γ 内，故在 β 与 γ 的交线上．故选 D.6．设平面 α 与平面 β 相交于 l，直线 a⊂α ，直线 b⊂β ， a∩ b＝ M，则 M________l.解析：因为 a∩ b＝ M， a⊂α ， b⊂β ，所以 M∈ α ， M∈ β .又因为 α ∩ β ＝ l，所以M∈ l.答案：∈过同一点的 4 条直线中，任意 3 条都不在同一平面内，则这四条直线确定平面的个7.数为________．2答案：6如图所示的正方体中， P， Q， M， N 分别是所在棱的中点，则这四个点共面的图形是8.________(把正确图形的序号都填上)．解析：图形①中，连接 MN， PQ(图略)，则由正方体的性质得 MN∥ PQ，根据公理 2 的推论 3 可知两条平行直线可以确定一个平面，故图形①正确．分析可知③中四点共面，②④中四点均不共面．答案：①③9.如图，直角梯形 ABDC 中， AB∥ CD， AB＞ CD， S 是直角梯形 ABCD 所在平面外一点，画出平面 SBD 和平面 SAC 的交线．解：很明显，点 S 是平面 SBD 和平面 SAC 的一个公共点，即点 S 在交线上．由于AB＞ CD，则分别 延长 AC 和 BD 交于点 E，如图所示，因为 E∈ AC， AC⊂平面 SAC，所以 E∈平面 SAC.同理，可证 E∈平面 SBD.所以点 E 在平面 SBD 和平面 SAC 的交线上，则连接 SE，直线 SE 就是平面 SBD 和平面SAC 的交线．如图所示， G 是正方体 ABCD­A1B1C1D1的棱 DD1延长线上一点， E， F 是棱 AB， BC 的10.中点．试分别画出过下列 各点、直线的平面与正方体表面的交线．(1)过点 G 及 AC；(2)过三点 E， F， D1.解：(1)画法：连接 GA，交 A1D1于点 M；连 接 GC，交 C1D1于点 N；连接 MN， AC.则 MA， CN， MN， AC 为所求平面与正方体表面的交线．如图①所示．图①3(2)画法：连接 EF 交 DC 延长线于点 P，交 DA 延长线于点 Q；连接 D1P 交 CC1于点 M，连接 D1Q 交 AA1于点 N；连接 MF， NE，则D1M， MF， FE， EN， ND1即为所求平面与正方体表面的交线．如图②所示．图②[B 能力提升]一条直线和直线外三个点最多能确定的平面个数是( )1.A．4 B． 6C．7 D． 10解析：选 A.当直线外的三个点能确定平面，且这个平面不经过已知直线时，它们确定的平面最多，此时这条直线和每一个点分别确定一个平面，故最多可确定 4 个平面．2．下列说法中正确的是( )A．相交直线上的三个点可以确定一个平面B． 空间两两相交的三条直线确定一个平面C．空间有三个角为直角的四边形一定是平面图形D． 和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内解析：选 D.A 错误．当三点共线时，过三点的平面有无数个．B 错误．空间两两相交的三条直线交于同一点时，无法确定一个平面．C 错误．空间中四个点不一定共面，有三个角为直角的四边形可能是空间图形．如图，空间四边形 ABCD1.D 正确．如图，因为 a∥ b，所以直线 a， b 确定一个平面 α ，因为 b∥ c，所以直线 b， c 确定一个平面 β ，再说明 l⊂α ， l⊂β ，由“过两条相交直线有且只有一个平面”推出 α 与 β 重合，推出 a， b， c， l 共面．在正方体 ABCD­A1B1C1D1中， P， Q， R 分别是 AB， AD， B1C1的中点，那么正方体的过3.P， Q， R 的截面图形是________．解析：如图所示，作 RG∥ B1D1交 C1D1于点 G，连接 QP 并延长与 CB 的延长线交于点 M，连接 MR 交 BB1于点 E，连接 PE， PE 为截面与正方体的交线．同理，连接并延长 PQ 交 CD 的延长线于点 N，连接 NG 交 DD1于点 F，连接 QF，可以证得 PQ＝ QF＝ FG＝ GR＝ RE＝ EP，所以截面 PQFGRE 为正六边形．答案：正六边形(选做题)在四 边形 ABCD 中，已知 AB∥ DC， AB， BC， DC， AD(或延长线)分别与平面4.4α 相交于点 E， F， G， H.求证： E， F， G， H 必在同一直线上．证明：因为 AB∥ CD，所以四边形 ABCD 是一个平面图形，即 AB， CD 确定一个平面 β ，则 AB⊂β ， AD⊂β .因为 E∈ AB，所以 E∈ β ，因为 H∈ AD，所以 H∈ β .又因为 E∈ α ， H∈ α ，所以 α ∩ β ＝ EH.因为 DC⊂β ， G∈ DC，所以 G∈ β .又因为 G∈ α ，所以 点 G 在 α 与 β 的交线 EH 上．同理，点 F 在 α 与 β 的交线 EH 上．所以 E， F， G， H 四点共线．1第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系应用案巩固提升 新人教 A 版必修 2[A 基础达标]1．下列说法正确的个数是( )①若直线 a， b 相交， b， c 相交，则 a， c 相交；②若 a∥ b，则 a， b 与 c 所成的角相等；③若 a⊥ b， b⊥ c，则 a∥ c.A．3 B． 2C．1 D． 0答案：C2．已知 a， b 为异面直线，且 a⊂α ， b⊂β ，若 α ∩ β ＝ l，则直线 l 必定( )A．与 a， b 都相交B． 与 a， b 都不相交C．至少与 a， b 之一相交D． 至多与 a， b 之一相交答案：C3．两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形( )A．全等 B． 相似C．仅有一个角相等 D． 全等或相似解析：选 D.由等角定理知，这两个三角形的三个 角分别对应相等，所以选 D.4．空间四边形 ABCD中， AB、 BC、 CD 的中点分别是 P、 Q、 R，且PQ＝2， QR＝ ， PR＝3，那么异面直线 AC 和 BD 所成的角是 ( )5A．90° B． 60°C．45° D． 30°解析：选 A.由已知得 PQ2＋ QR2＝4＋5＝9＝ PR2，所以∠ PQR＝90°，又AC∥ PQ， BD∥ QR，所以异面直线 AC 与 BD 所成角即为∠ PQR.5．在正方体 ABCD­A1B1C1D1中， E， F 分别为棱 AA1， CC1的中点，则在空间中与三条直线 A1D1， EF， CD 都相交的直线( )A．不存在 B． 有且只有两条C．有且只有三条 D． 有无数条解析：选 D.如图，在 EF 上任意取一点 M，直线 A1D1与 M 确定一个平面，这个平面与CD 有且仅有 1 个交点 N，当 M 取不同的位置就确定不同的平面，从而与 CD 有不同的交点N，而直线 MN 与直线 A1D1， EF， CD 都有交点．6．一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是________．答案：相交或异面7．在空间四边形 ABCD 中， AC＝ BD，且 AC⊥ BD，则顺次连接各边中点，所得四边形是________．答案：正方形8．已知 a， b 是一对异面直线，而且 a 平行于△ ABC 的边 AB 所在直线， b 平行于 AC 所在的直线，若∠ BAC＝120°，则 a， b 所成的角为____ ____．解析：由 a∥ AB， b∥ AC，∠ BAC＝120°，2知 a， b 所成的角为∠ BAC 的补角，所 以 a， b 所成的角为 60°.答案：60°9．如图，在正方体 ABCD­A1B1C1D1中， M， M1分别是棱 AD 和 A1D1的中点．求证：(1)四边形 BB1M1M 为平行四边形；(2)∠ BMC＝∠ B1M1C1.证明：(1)因为在正方形 ADD1A1中， M， M1分别为 AD， A1D1的中点，所以 MM1 AA1.又因为 AA1 BB1，所以 MM1∥ BB1，且 MM1＝ BB1.所以四边形 BB1M1M 为平行四边形．(2)由(1)知四边形 BB1M1M 为平行四边形，所以 B1M1∥ BM.同理可得四边形 CC1M1M 为平行四边形，所以 C1M1∥ CM.由平面几何知识可知，∠ BMC 和∠ B1M1C1都是锐角，所以∠ BMC＝∠ B1M1C1.10．如图所示，等腰直角三角形 ABC 中，∠ BAC＝90°， BC＝ ， DA⊥ AC， DA⊥ AB，2若 DA＝1，且 E 为 DA 的中点，求异面直线 BE 与 CD 所成角的余弦值．解：取 AC 的中点 F，连接 EF， BF，在△ ACD 中， E， F 分别是 AD， AC 的中点，所以 EF∥ CD，所以∠ BEF 即为所求的异面直线 BE 与 CD 所成的角(或其补角)．在 Rt△ ABC 中， BC＝ ， AB＝ AC，2所以 AB＝ AC＝1，在 Rt△ EAB 中， AB＝1， AE＝ AD＝ ，12 12所以 BE＝ .52在 Rt△ AEF 中， AF＝ AC＝ ， AE＝ ，12 12 12所以 EF＝ .22在 Rt△ ABF 中， AB＝1， AF＝ ，所以 BF＝ .12 523在等腰三角形 EBF 中，cos∠ FEB＝ ＝ ＝ ，12EFBE2452 1010所以异面直线 BE 与 CD 所成角的余弦值为 .1010[B 能力提升]1．如图所示，正方体 ABCD­A1B1C1D1中，异面直线 A1B 与 AD1所成的角为( )A．30° B． 45°C．60° D． 90°解析：选 C.连接 BC1、 A1C1，因为 BC1∥ AD1，所以异面直线 A1B 与 AD1所成的角即为直线 A1B 与 BC1所成的角．在△ A1BC1中， A1B＝ BC1＝ A1C1，所以∠ A1BC1＝60°.故异面直线 A1B 与 AD1所成的角为 60°.2．在空间四边形 ABCD 中， AB＝ CD，且异面直线 AB 与 CD 所成的角为 30°， E、 F 分别是边 BC 和 AD 的中点，则异面直线 EF 和 AB 所成的角等于 ( )A．15° B． 30°C．75° D． 15°或 75°解析：选 D.如图，设 G 是 AC 的中点，分别连接 EG、 GF，由已知得EG AB， FG CD，所以∠ EGF 是 AB 和 CD 所成的角或是其补角．12 12因为 AB＝ CD，所以 EG＝ GF.当∠ EGF＝30°时，AB 和 EF 所成角∠ GEF＝75°，当∠ EGF＝150°时，AB 和 EF 所成角∠ GEF＝15°.3．一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论：① AB⊥ EF；② AB 与 CM 所成的角为 60°；③ EF 与 MN 是异面直线；④ MN∥ CD.以上结论中正确的是________(填序号)．解析：把正方体平面展开图还原为原来的正方体，如图所示， AB⊥ EF， EF 与 MN 是异面直线，4AB∥ CM， MN⊥ CD，只有①③正确．答案：①③4．(选做题)已知直线 a， b， c，平面 α ， β 满足 α ∩ β ＝ a， b⊂β ， a∩ b＝ A，且c⊂α ， c∥ a.求证： b， c 为异面直 线．证明：法一：(重要结论法)如图．因为 c⊂α ， a∩ b＝ A， α ∩ β ＝ a，所以 A∈ a， A∈ α ，而 a∥ c，所以 A∉c.在直线 b 上任取一点 B(不同于点 A)，因为 b⊂β ，所以 B∉α ，所以 AB 与 c 是异面直线，即 b， c 是异面直线．法二：(反证法)如图．假 设 b， c 不是异面直线，即假设 b， c 在同一平面 γ 内，则 b⊂γ ， c⊂γ .因为 a∩ b＝ A，所以 A∈ γ ，即点 A 和直线 c 均在平面 γ 内．因为 a∥ c， A∈ a，所以 A∉c.又因为 c⊂α ， A∈ a， A∈ α ，所以过直线 c 与直线 c 外一点 A 有两个平面 α 和 γ ，这与公理 2 的推论矛盾，故b， c 为异面直线．12.1.3-2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系应用案巩固提升 新人教 A 版必修 2[A 基础达标]若直线 l 不平行于平面 α ，且 l⊄α ，则( )1.A． α 内的所有直线与 l 异面B． α 内不存在与 l 平行的直线C． α 内存在唯一的直线与 l 平行D． α 内的直线与 l 都相交答案：B(2016·长沙检测)若直线 a⊥ b，且直线 a∥平面 α ，则直线 b 与 平面 α 的位置关2.系是( )A． b⊂α B． b∥ αC． b⊂α 或 b∥ α D． b 与 α 相交或 b⊂α 或 b∥ α答案：D3．在长方体 ABCD­A1B1C1D1的 6 个表面与 6 个对角面(平面 AA1C1C、平面 ABC1D1、平面ADC1B1、平面 BB1D1D、平面 A1BCD1及平面 A1B1CD)所在的平面中，与棱 AA1平行的平面共有( )A．2 个 B． 3 个C．4 个 D． 5 个答案：B4．下列命题中的真命题是( )A．若点 A∈ α ，点 B∉α ，则直线 AB 与平面 α 相交B． 若 a⊂α ， b⊄α ，则 a 与 b 必异面C．若点 A∉α ，点 B∉α ，则直线 AB∥平面 αD． 若 a∥ α ， b⊂α ，则 a∥ b答案：A5．如果点 M 是两条异面直线外的一点，则过点 M 且与 a， b 都平行的平面( )A．只有一个 B． 恰有两个C．没有或只有一个 D． 有无数个解析：选 C.当点 M 在过 a 且与 b 平行的平面或过 b 且与 a 平行的平面内时，这样满足条件的平面没有；当点 M 不在上述两个平面内时，满足条件的平面只有一 个．故选 C.6．如图，在正方体 ABCD­A1B1C1D1中，与平面 AA1D1D 平行的平面是________；与平面A1B1C1D1平行的平面是________；与平面 BDD1B1平行的棱有 ________．答案：平面 BB1C1C 平面 ABCD AA1和 CC17．与两条异面直线平 行的平面有 ________个．答案：无数8．已知 m， n 为异面直线， m∥平面 α ， n∥平面 β ， α ∩ β ＝ l，下面给出几个结论：① l 与 m， n 都相交；② l 与 m， n 中至少一条相交；③ l 与 m， n 都不相交；④ l 与m， n 中只有一条相交．其中正确结论的序号为________．答案：③29. 如图，平面 α 、 β 、 γ 满足 α ∥ β ， α ∩ γ ＝ a， β ∩ γ ＝ b，判断 a 与 b、 a 与β 的关系并证明你的结论．解： a∥ b， a∥ β .证明如下：由 α ∩ γ ＝ a 知 a⊂α 且 a⊂γ ，由 β ∩ γ ＝ b 知 b⊂β 且 b⊂γ ，因为 α ∥ β ， a⊂α ， b⊂β ，所以 a、 b 无公共点．又因为 a⊂γ 且 b⊂γ ，所以 a∥ b.因为 α ∥ β ，所以 α 与 β 无公共点．又 a⊂α ，所以 a 与 β 无公共点，所以 a∥ β .10．已知：直线 a∥直线 b， a∩平面 α ＝ P，求证：直线 b 与平面 α 相交．证明： 如图所示，因为 a∥ b，所以 a 和 b 确定平面 β .因为 a∩ α ＝ P，所以平面 α 和平面 β 相交于过点 P 的直线 l.因为在平面 β 内 l 与两条平行直线 a、 b 中的一条直线 a 相交，所以 l 必与 b 相交，设 b∩ l＝ Q.又 b 不在平面 α 内，故直线 b 与平面 α 相交．[B 能力提升 ]1．(2016·厦门质检)满足下列条件，平面 α ∩平面 β ＝ AB，直线 a⊂α ，直线b⊂β ，且 a∥ AB， b∥ AB 的图形是( )答案：D2．已知下列说法：①若两个平面 α ∥ β ， a⊂α ， b⊂β ，则 a∥ b；②若两个平面 α ∥ β ， a⊂α ， b⊂β ，则 a 与 b 是异面直线；③若两个平面 α ∥ β ， a⊂α ， b⊂β ，则 a 与 b 一定不相交；④若两个平面 α ∥ β ， a⊂ α ， b⊂β ，则 a 与 b 平行或异面．其中正确的序号是________(将你认为正确的序号都填上)．答案：③④3．下列命题正确的是________．①如果一条直线与一平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线垂直；②若直线 a 与平面 α 和平面 β 都平行，那么 α ∥ β ；③若两个平面 α ∩ β ＝ b， a⊂α ，则 a 与 β 一定相交．解析：对于①，把一直角三角板的一直角边放在桌面内，让另一直角边抬起，即另一3直角边与桌面的位置关系是相交，可以得出在桌面内与直角边所在的直线平行的直线与另一直角边垂直，所以命题①正确．对于②， α 、 β 也可能相交，②不正确；对于③，当 a 与 b 重合时， a 在 β 内，当 a∥ b 时， a∥ β ，当 a 与 b 相交时， a 与 β相交，③不正确．答案：①4．(选做题) 如图，已知平面 α ∩ β ＝ l，点 A∈ α ，点 B∈ α ，点 C∈ β ，且A∉l， B∉l，直线 AB 与 l 不平行，那么平面 ABC 与平面 β 的交线与 l 有什么 关系？证明你的结论．解：平面 ABC 与 β 的交线 与 l 相交．证明如下：因为 AB 与 l 不平行，且 AB⊂α ， l⊂α ，所以 AB 与 l 一定相交．设 AB∩ l＝ P，则 P∈ AB， P∈ l.又因为 AB⊂平面 ABC， l⊂β ，所以 P∈平面 ABC， P∈ β .所以点 P 是平面 ABC 与 β 的一个公共点，而点 C 也是平面 ABC 与 β 的一个公共点，且 P， C 是不同的两点，所以直线 PC就是平面 ABC 与 β 的交线，即平面 ABC∩ β ＝ PC，而 PC∩ l＝ P，所以平面 ABC 与平面 β 的交线与 l 相交．1第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.2.1-2.2.2 直线、平面平行的判定应用案巩固提升 新人教 A 版必修 2[A 基础达标]能保证直线与平面平行的条件是( )1.A．直线与平面内的一条直线平行B． 直线与平面内的所有直线平行C．直线与平面内的无数条直线平行D． 直线与平面内的所有直线不相交解析：选 D.A 不正确，因为直线可能在平面内；B 不正确；C 不正确，直线也可能在平面内；D 正确，因为直线与平面内所有直线不相交，依据直 线和平面平行的定义可得直线与平面平行．已知 m、 n 是两条直线， α ， β 是两个平面．有以下命题：2.① m， n 相交且都在平面 α ， β 外， m∥ α ， m∥ β ， n∥ α ， n∥ β ，则 α ∥ β ；②若m∥ α ， m∥ β ，则 α ∥ β ；③若 m∥ α ， n∥ β ， m∥ n，则 α ∥ β .其中正确命题的个数是( )A．0 B． 1C．2 D． 3解析：选 B.把符号语言转换为文字语言或图形语言．可知①是面面平行的判定定理；②③中平面 α 、 β 还有可能相交，所以选 B.平面 α 内有不共线的三点到平面 β 的距离相等且不为零，则 α 与 β 的位置关系3.为( )A．平行 B． 相交C．平行或相交 D． 可能重合解析：选 C.若三点分布于平面 β 的同侧，则 α 与 β 平行，若三点分布于平面 β 的两侧，则 α 与 β 相交．4． m， n， l 表示不同的直线， α ， β 表示不同的平面，下列命题正确的是( )A．若 m∥ n∥ l， m⊂α ， n⊂α ，则 l∥ αB． 若 α ∩ β ＝ m， n∥ m，则 n∥ αC．若 α ∥ β ， m⊂α ， n⊂β ，则 m 与 n 一定不相交D． 若 m⊂α ， n⊂α ， m∥ β ， n∥ β ，则 α ∥ β解析：选 C.A 选项中， l 可能在 α 内，故 A 错；B 选项中， n 可能在 α 内，故 B 错；C 选项中，因为 α ∥ β ，所以 α 与 β 不相交，故 m 与 n 一定不相交，故 C 对；D 选项中，α 与 β 可能相交，故 D 错．综上可知选 C.5．在正方体 EFGH­E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的一对是( )A．平面 E1FG1与平面 EGH1B． 平面 FHG1与平面 F1H1GC．平面 F1H1H 与平面 FHE1D． 平面 E1HG1与平面 EH1G解析：选 A.如图，因为 EG∥ E1G1，EG⊄平面 E1FG1，E1G1⊂平面 E1FG1，2所以 EG∥平面 E1FG1，又 G1F∥ H1E，同 理可证 H1E∥平面 E1FG1，又 H1E∩ EG＝ E，所以平面 E1FG1∥平面 EGH1.6．如图，在长方体 ABCD­A1B1C1D1中，与 AB 平行的平面有________．答案：平面 A1B1C1D1，平面 DCC1D1，平面 A1B1CD在空间四边形 ABCD 中， E、 F 分别为 AB 和 BC 上的点，且 AE∶ EB＝ CF∶ FB＝1∶3，7.则对角线 AC 和平面 DEF 的位置关系是________．答案：平行如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，8.① BM∥平面 DE；② CN∥平面 AF；③平面 BDM∥平面 AFN；④平面 BDE∥平面 NCF.以上四个结论中，正确结论的 序号是________．解析：以 ABCD 为下底面 还原正方体，如图，则易判定四个结论都是正确的．答案：①②③④如图，在三棱柱 ABC­A1B1C1中， D 为 BC 的中点，连接 AD， DC1， A1B， AC1，求证：9.A1B∥平面 ADC1.证明：连接 A1C，设 A1C∩ AC1＝ O，再连接 OD.由题意知， A1ACC1是平行四边形，所以O 是 A1C 的中点，又 D 是 CB 的中点，因此 OD 是△ A1CB 的中位线，即 OD∥ A1B.又 A1B⊄平面3ADC1， OD⊂平面 ADC1，所以 A1B∥平面 ADC1.10．如图所示，在正方体 ABCD­A1B1C1D1中， O 为底面 ABCD 的中心， P 是 DD1的中点，设 Q是 CC1上的点，问：当点 Q 在什么位置时，平面 D1BQ∥平面 PAO?解：当 Q 为 CC1的中点时，平面 D1BQ∥平面 PAO.因为 Q 为 CC1的中点， P 为 DD1的中点，所以 QB∥ PA.而 QB⊄平面 PAO， PA⊂平面 PAO，所 以 QB∥平面 PAO.连接 DB，因为 P， O 分别为 DD1， DB 的中点，所以 PO 为△ DBD1的中位线，所 以 D1B∥ PO.而 D1B⊄平面 PAO， PO⊂平面 PAO，所以 D1B∥平面 PAO.又 D1B∩ QB＝ B，所以平面 D1BQ∥平面 PAO.[B 能力提升](2016·济南质检)下列四个选项中能推出 α ∥ β 的是( )1.A．存在一条直线 a， a∥ α ， a∥ βB． 存在一条直线 a， a⊂α ， a∥ βC．存在两条平行直线 a， b， a⊂α ， b⊂β ， a∥ β ， b∥ αD． 存在两条异面直线 a， b， a⊂α ， b⊂β ， a∥ β ， b∥ α解析：选 D.若 α ∩ β ＝ l， a∥ l， a⊄α ， a⊄β ，则 a∥ α ， a∥ β ，故排除 A.若α ∩ β ＝ l， a⊂α ， a∥ l，则 a∥ β ，故排除 B.若α ∩ β ＝ l， a⊂α ， a∥ l， b⊂β ， b∥ l，则 a∥ β ， b∥ α ，故排除 C.故选 D.2. 如图所示，在空间四边形 ABCD 中， E， F 分别为边 AB， AD 上的点，且AE∶ EB＝ AF∶ FD＝1∶4，又 H， G 分别为 BC， CD 的中点，则( )A． BD∥平面 EFGH，且四边形 EFGH 是矩形B． EF∥平面 BCD，且四边形 EFGH 是梯形C． HG∥平面 ABD，且四边形 EFGH 是菱形D． EH∥平面 ADC，且四边形 EFGH 是平行四边形解析：选 B.由 AE∶ EB＝ AF∶ FD＝1∶4 知 EF BD，所以 EF∥平面 BCD.又 H， G 分别15为 BC， CD 的中点，所以 HG BD，所以 EF∥ HG 且 EF≠ HG.所以四边形 EFGH 是梯形．12如图，在正四棱柱 ABCD­A1B1C1D1中， E， F， G， H 分别是棱 C1C， C1D1， D1D， DC 的中3.4点，点 M 在四边形 EFGH 及其内部运动，则 M 只需满足条件________时，就有 MN∥平面B1BDD1，其中 N 是 BC 的中点．(填上一个正确的条件即可，不必考虑全部可能的情况)解析：连接 FH(图略)，因为 N∉FH，所以平面 FHN∥平面 B1BDD1，若 M∈ FH，则 MN⊂平面 FHN，所以 MN 与平面 B1BDD1没有交点，所以 MN∥平面 B1BDD1.答案： M∈ FH4．(选做题)如图，斜三棱柱 ABC­A1B1C1中，点 D1为 A1C1上的点．当 等于何值时，A1D1D1C1BC1∥平面 AB1D1?解：如图，取 D1为线段 A1C1的中点，此时 ＝1.A1D1D1C1连接 A1B 交 AB1于点 O，连接 OD1.由棱柱的性质，知四边形 A1ABB1为平行四边形，所以点 O 为 A1B 的中点．在△ A1BC1中，点 O， D1分别为 A1B， A1C1的中点，所以 OD1∥ BC1.又因为 OD1⊂平面 AB1D1，BC1⊄平面 AB1D1，所以 BC1∥平面 AB1D1.所以 ＝1 时， BC1∥平面 AB1D1.A1D1D1C11第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.2.3-2.2.4 直线、平面平行的性质应用案巩固提升 新人教 A 版必修 2[A 基础达标]有一正方体木块如图所 示，点 P 在平面 A′ C′内 ，棱 BC 平行于平1.面 A′ C′，要经过 P 和棱 BC 将木料锯 开，锯开的面必须平整，有 N 种锯法，则 N 为( )A．0 B． 1C．2 D． 无数答案：B2．如图， P 是△ ABC 所在平面外一点， E， F， G 分别在 AB， BC， PC 上，且PG＝2 GC， AC∥平面 EFG， PB∥平面 EFG，则 ＝( )AEEBA. B． 1 C. D． 212 32答案：A3．如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形 EFGH 为截面，长方形 ABCD 为底面，则四边形 EFGH 的形状为( )A．梯形B． 平行四边形C．可能是梯形也可能是平行四边形D． 不确定答案：B4．已知直线 a⊂α ，给出以下三个命题：①平面 α ∥平面 β ，则直线 a∥平面 β ；②直线 a∥平面 β ，则平面 α ∥平面 β ；③若直线 a 不平行于平面 β ，则平面 α 不平行于平面 β .其中正确的命题是( )A．② B ． ③ C．①② D ． ①③答案：D5．在空间四边形 ABCD 中， E、 F、 G、 H 分别为边 AB、 BC、 CD、 DA 上的点，当 BD∥平面 EFGH 时，下面选项正确的是( )A． E、 F、 G、 H 必是各边中点B． G、 H 必是 CD、 DA 的中点2C． BE∶ EA＝ BF∶ FC，且 DH∶ HA＝ DG∶ GCD． AE∶ EB＝ AH∶ HD，且 BF∶ FC＝ DG∶ GC解析：选 D.因为 BD∥平面 EFGH.所以 BD∥ EH， BD∥ FG，所以 ＝ ， ＝ .AEEB AHHD BFFC DGGC6．如果一条直线与一个平面平行，夹在直线和平面间的两线段相等，那么这两条线段所在直线的位置关系是________．解析：在正方体 ABCD­A1B1C1D1中， A1B1∥平面 ABCD， AB1与 A1B 相交， AA1∥ BB1， A1B与 B1C 异面．答案：相交、平行或异面7. 正方体 ABCD­A1B1C1D1的棱长为 3，点 E 在 A1B1上，且 B1E＝1，平面 α ∥平面BC1E，若平面 α ∩平面 AA1B1B＝ A1F，则 AF 的长为________．解析：因为平面 α ∥平面 BC1E，所以 A1F BE，所以 Rt△ A1AF≌Rt△ BB1E，所以 FA＝ B1E＝1 .答案：18. 如图所示，直线 a∥平面 α ， A∉α ，并且 a 和 A 位于平面 α 两侧，点B， C∈ a， AB、 AC 分别交平面 α 于点 E、 F，若 BC＝4， CF＝5， AF＝3，则EF＝________ ．解析： EF 可看作直线 a 与点 A 确定的平面与平面 α 的交线，因为 a∥ α ，由线面平行的性质定理知， BC∥ EF，由条件知 AC＝ AF＋ CF＝3＋5＝8.又 ＝ ，所以 EF＝ ＝ ＝ .EFBC AFAC AF×BCAC 3×48 32答 案：329．如图所示，已知三棱柱 ABC­A1B1C1中， D 是 BC 的中点， D1是 B1C1的中点，设平面A1D1B∩平面 ABC＝ l1，平面 ADC1∩平面 A1B1C1＝ l2，求证： l1∥ l2.证明：连接 D1D(图略)，因为 D 与 D1分别是 BC 与 B1C1的中点，3所以 DD1 BB1，又 BB1 AA1，所以 DD1 AA1，所以四边形 A1D1DA 为平行四边形，所以 AD∥ A1D1，又平面 A1B1C1∥平面 ABC，且 平面 A1B1C1∩平面 A1D1B＝ A1D1，平面 A1D1B∩平面ABC＝ l1，所以 A1D1∥ l1，同理可证 AD∥ l2，因为 A1D1∥ AD，所以 l1∥ l2.已知 E， F 分别是正方体 ABCD­A1B1C1D1的棱 AA1， CC1上的点，且 AE＝ C1F.求证：四10.边形 EBFD1是平行四边形．证明：如图，在棱 BB1上取一点 G，使得 B1G＝ C1F＝ AE，连接 A1G， GF，则 GF∥ B1C1∥ A1D1，且 GF＝ B1C1＝ A1D1，所以四边形 GFD1A1为平行四边形，所以 A1G∥ D1F，且 A1G＝ D1F.因为 A1E＝ AA1－ AE， BG＝ B1B－ B1G，所以 A1E∥ BG，且 A1E＝ BG，所以四边形 EBGA1为平行四 边形，所以 A1G∥ EB，且 A1G＝ EB，所以 D1F∥ EB，且 D1F＝ EB，所以四边形 EBFD1是平行四边形．[B 能力提升]1．设 α ∥ β ， A∈ α ， B∈ β ， C 是 AB 的中点，当 A、 B 分别在平面 α 、 β 内运动时，那么所有的动点 C( )A．不共面B． 当且仅当 A、 B 分别在两条直线上移动时才共面C．当且仅当 A、 B 分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D． 不论 A、 B 如何移动，都共面解析：选 D.如图， A′、 B′分别是 A、 B 两点在 α 、 β 上运动后的两点，此时 AB 的中点 C 变成A′ B′的中点 C′，连接 A′ B，取 A′ B 的中点 E，连接 CE、 C′ E、 AA′、 BB′.则 CE∥ AA′，所以 CE∥ α ，C′ E∥ BB′，所以 C′ E∥ β .又因为 α ∥ β ，所以 C′ E∥ α .因为 C′ E∩ CE＝ E，所以平面 CC′ E∥平面 α .所以 CC′∥ α .所以不论 A、 B 如何移动，所有的动点 C 都在过 C 点且与 α 、 β 平行的平面上．2. 如图，在正方体 ABCD­A1B1C1D1中， AB＝2，点 E 为 AD 的中点，点 F 在 CD 上．若EF∥平面 AB1C，则线段 EF 的长度等于( )4A．1 B．22C. D． 22解析：选 C.由 于在正方体 ABCD­A1B1C1D1中， AB＝2，所以 AC＝2 .又 E 为 AD 中点，2EF∥平面 AB1C， EF⊂平面 ADC，平面 ADC∩平面 AB1C＝ AC，所以 EF∥ AC，所以 F 为 DC 的中点，所以 EF＝ AC＝ .12 23. 用一个截面去截正三棱柱 ABC­A1B1C1，交 A1C1， B1C1， BC， AC 分别于 E， F， G， H，已知 A1AA1C1，则截面的形状可以为________(把你认为可能的结果的序号填在横线上)．①一般的平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤梯形解析：由题意知，当 截面平行于侧棱时，所得截面为矩形，当截面与侧棱不平行时，所得截面是梯形，即 EF∥ HG 且 EH 不平行于 FG.答案：②⑤4. (选做题)如图，三棱柱 ABC­A1B1C1中，底面是边长为 2 的正三角形，点 E， F 分别是棱 CC1， BB1上的点，点 M 是线段 AC 上的动点， EC＝2 FB＝2，当点 M 在何位置时， BM∥平面 AEF.解：如图，取 EC 的中点 P， AC 的中点 Q，连接 PQ， PB， BQ，则 PQ∥ AE.因为 EC＝2 FB＝2，所以 PE＝ BF.又 PE∥ BF，所以四边形 BFEP 为平行四边形，所以 PB∥ EF.又 AE， EF⊂平面 AEF， PQ， PB⊄平面 AEF，所以 PQ∥平面 AEF， PB∥平面 AEF.又 PQ∩ PB＝ P，所以平面 PBQ∥平面 AEF.又 BQ⊂平面 PBQ，所以 BQ∥平面 AEF.故点 Q 即为所求的点 M，即点 M 为 AC 的中点时， BM∥平面 AEF.5