1、整数的问题整数是最基本的数，它产生了许多有趣的数学问题.在中、小学生的数学竞赛中，有关整数的问题占有重要的地位.我们除了从课本上学习整数知识以外，还必须通过课外活动来补充一些整数的知识，以及解决问题的思路和方法。 对于两位、三位或者更多位的整数，有时要用下面的方法来表示：49=410+9，235=2100+310+5，7064=71000+610+4，就是一、整除整除是整数问题中一个重要的基本概念.如果整数 a 除以自然数 b，商是整数且余数为 0，我们就说 a 能被b 整除，或 b 能整除 a，或 b 整除 a，记作 b 丨 a.此时，b 是 a 的一个因数（约数），a 是 b 的倍数.1.
2、整除的性质性质 1 如果 a 和 b 都能被 m 整除，那么 a+b，a-b 也都能被 m 整除（这里设 ab）.例如：3 丨 18，3 丨 12，那么 3 丨（18+12），3 丨（18-12）.性质 2 如果 a 能被 b 整除，b 能被 c 整除，那么 a 能被 c 整除。例如： 3 丨 6，6 丨 24，那么 3 丨 24.性质 3 如果 a 能同时被 m、n 整除，那么 a 也一定能被 m 和 n 的最小公倍数整除.例如：6 丨 36，9 丨 26，6 和 9 的最小公倍数是 18，18 丨 36.如果两个整数的最大公约数是 1，那么它们称为互质的.例如：7 与 50 是互质的，18
3、 与 91 是互质的.性质 4 整数 a，能分别被 b 和 c 整除，如果 b 与 c 互质，那么 a 能被 bc 整除.例如：72 能分别被 3 和 4 整除，由 3 与 4 互质，72能被 3 与 4 的乘积 12 整除 .性质 4 中，“两数互质”这一条件是必不可少的.72 分别能被 6 和 8 整除，但不能被乘积 48 整除，这就是因为 6 与 8 不互质，6 与 8 的最大公约数是 2.性质 4 可以说是性质 3 的特殊情形. 因为 b 与 c 互质，它们的最小公倍数是 bc.事实上，根据性质 4，我们常常运用如下解题思路：要使 a 被 bc 整除，如果 b 与 c 互质，就可以分别
4、考虑，a 被 b 整除与 a 被 c 整除.能被 2，3，4，5 ，8，9，11 整除的数都是有特征的，我们可以通过下面讲到的一些特征来判断许多数的整除问题.2.数的整除特征（1）能被 2 整除的数的特征：如果一个整数的个位数是偶数，那么它必能被 2 整除.（2）能被 5 整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是 0 或 5，那么它必能被 5 整除.（3）能被 3（或 9）整除的数的特征：如果一个整数的各位数字之和能被 3（或 9）整除，那么它必能被 3（或 9）整除.（4）能被 4（或 25）整除的数的特征：如果一个整数的末两位数能被 4（或 25）整除，那么它必能被 4（或 25）整除.（
5、5）能被 8（或 125）整除的数的特征：如果一个整数的末三位数能被 8（或 125）整除，那么它必能被 8（或 125）整除.（6）能被 11 整除的数的特征：如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被 11 整除，那么它必能被 11 整除.是什么数字？解：18=29，并且 2 与 9 互质，根据前面的性质 4，可以分别考虑被 2 和 9 整除.要被 2 整除，b 只能是 0，2，4，6，8.再考虑被 9 整除，四个数字的和就要被 9 整除，已有 7+4=11.如果 b=0，只有 a=7，此数是 7740；如果 b=2，只有 a=5，此数是 7542；如果 b4，只有 a
6、3 ，此数是 7344；如果 b6，只有 a1，此数是 7146；如果 b8，只有 a8 ，此数是 7848.因此其中最小数是 7146.根据不同的取值，分情况进行讨论，是解决整数问题常用办法，例 1 就是一个典型.例 2 一本老账本上记着：72 只桶，共67.9元，其中 处是被虫蛀掉的数字，请把这笔账补上.解：把67.9写成整数 679，它应被 72 整除.7298，9 与 8 又互质.按照前面的性质 4，只要分别考虑 679 被 8 和被 9 整除.从被 8 整除的特征，79 要被 8 整除，因此 b2.从 6792 能被 9 整除，按照被 9 整除特征，各位数字之和+24 能被 9 整除
7、，因此 a3.这笔帐是 367.92 元.例 3 在 1，2，3 ，4， 5，6 六个数字中选出尽可能多的不同数字组成一个数（有些数字可以重复出现），使得能被组成它的每一个数字整除，并且组成的数要尽可能小.解：如果选数字 5，组成数的最后一位数字就必须是 5，这样就不能被偶数 2，4 ，6 整除，也就是不能选2，4 ，6. 为了要选的不同数字尽可能多，我们只能不选 5，而选其他五个数字1，2 ，3 ，4，6.1+2+3+4+6 16，为了能整除 3 和 6，所用的数字之和要能被 3 整除，只能再添上一个2，16+218 能被 3 整除.为了尽可能小，又要考虑到最后两位数能被 4 整除.组成的数
8、是122364.例 4 四位数 74能被 55 整除，求出所有这样的四位数.解：55 511，5 与 11 互质，可以分别考虑被 5 与 11 整除.要被 5 整除，个位数只能是 0 或 5.再考虑被 11 整除.（7+4）-（百位数字+0）要能被 11 整除，百位数字只能是 0，所得四位数是 7040.（7+4）-（百位数字+5）要能被 11 整除，百位数字只能是 6（零能被所有不等于零的整数整除），所得四位数是 7645.满足条件的四位数只有两个：7040，7645.例 5 一个七位数的各位数字互不相同，并且它能被 11 整除，这样的数中，最大的是哪一个？，要使它被 11 整除，要满足（9
9、+7+5+b）- （8+6+a）= （21+b）-（14+a）能被 11 整除，也就是 7+b-a 要能被 11 整除，但是 a 与 b 只能是 0，1，2 ，3，4 中的两个数，只有b4，a0 ，满足条件的最大七位数是 9876504.再介绍另一种解法.先用各位数字均不相同的最大的七位数除以 11（参见下页除式）.要满足题目的条件，这个数是 9876543 减 6，或者再减去 11 的倍数中的一个数，使最后两位数字是0，1 ，2 ，3，4 中的两个数字.43-637，37-1126，26-11 15，15-114，因此这个数是 9876504.思考题：如果要求满足条件的数最小，应如何去求，是
10、哪一个数呢？（答：1023495 ）例 6 某个七位数 1993能被 2，3，4 ，5，6， 7，8，9 都整除，那么它的最后三个数字组成的三位数是多少？与上例题一样，有两种解法.解一：从整除特征考虑.这个七位数的最后一位数字显然是 0.另外，只要再分别考虑它能被 9，8，7 整除.199 3 22 ，要被 9 整除，十位与百位的数字和是 5 或 14，要被 8 整除，最后三位组成的三位数要能被 8 整除，因此只可能是下面三个数：1993500，1993320，1993680，其中只有 199320 能被 7 整除，因此所求的三位数是 320.解二：直接用除式来考虑.2，3，4 ，5 ，6，7
11、，8，9 的最小公倍数是 2520，这个七位数要被 2520 整除.现在用 1993000 被 2520 来除，具体的除式如下：因为 2520-2200320，所以 1993000+320=1993320 能被 2520 整除.例 7 下面这个 41 位数能被 7 整除，中间方格代表的数字是几？解：因为 11111137111337 ，所以5555555111111 和 9999999111111都能被 7 整除.这样，18 个 5 和 18 个 9 分别组成的 18 位数，也都能被 7 整除.右边的三个加数中，前、后两个数都能被 7 整除，那么只要中间的 5599能被 7 整除，原数就能被
12、7 整除.把 5599拆成两个数的和：55A00B99 ，其中=A+B.因为 7 丨 55300，7 丨 399，所以=3+36.注意，记住 111111 能被 7 整除是很有用的.例 8 甲、乙两人进行下面的游戏.两人先约定一个整数 N.然后，由甲开始，轮流把 0，1，2 ，3，4 ，5，6，7 ，8，9 十个数字之一填入下面任一个方格中每一方格只填一个数字，六个方格都填上数字（数字可重复）后，就形成一个六位数.如果这个六位数能被N 整除，就算乙胜；如果这个六位数不能被 N 整除，就算甲胜.如果 N 小于 15，当 N 取哪几个数时，乙能取胜？解：N 取偶数，甲可以在最右边方格里填一个奇数（
13、六位数的个位），就使六位数不能被 N 整除，乙不能获胜.N5，甲可以在六位数的个位，填一个不是 0 或 5 的数，甲就获胜.上面已经列出乙不能获胜的 N 的取值.如果 N1，很明显乙必获胜 .如果 N3 或 9，那么乙在填最后一个数时，总是能把六个数字之和，凑成 3 的整数倍或 9 的整数倍.因此，乙必能获胜.考虑 N7，11，13 是本题最困难的情况. 注意到 100171113 ，乙就有一种必胜的办法.我们从左往右数这六个格子，把第一与第四，第二与第五，第三与第六配对，甲在一对格子的一格上填某一个数字后，乙就在这一对格子的另一格上填同样的数字，这就保证所填成的六位数能被 1001 整除.根
14、据前面讲到的性质2，这个六位数，能被 7，11 或 13 整除，乙就能获胜.综合起来，使乙能获胜的 N 是 1，3 ，7，9，11，13.记住，1001 71113，在数学竞赛或者做智力测验题时，常常是有用的.二、分解质因数一个整数，它的约数只有 1 和它本身，就称为质数（也叫素数）.例如，2 ，5，7，101，. 一个整数除1 和它本身外，还有其他约数，就称为合数. 例如，4，12，99，501，.1 不是质数，也不是合数.也可以换一种说法，恰好只有两个约数的整数是质数，至少有 3 个约数的整数是合数，1 只有一个约数，也就是它本身.质数中只有一个偶数，就是 2，其他质数都是奇数. 但是奇数
15、不一定是质数，例如，15，33 ，.例 9 （+）=209.在、中各填一个质数，使上面算式成立.解：209 可以写成两个质数的乘积，即2091119.不论中填 11 或 19，+ 一定是奇数，那么 与 是一个奇数一个偶数，偶质数只有 2，不妨假定 内填2.当 填 19， 要填 9，9 不是质数，因此填 11，而填 17.这个算式是 11（172 ）209，11（217 ） 209.解例 9 的首要一步是把 209 分解成两个质数的乘积.把一个整数分解成若干个整数的乘积，特别是一些质数的乘积，是解决整数问题的一种常用方法，这也是这一节所讲述的主要内容.一个整数的因数中，为质数的因数叫做这个整数的
16、质因数，例如，2，3 ，7，都是 42 的质因数，6，14也是 42 的因数，但不是质因数.任何一个合数，如果不考虑因数的顺序，都可以唯一地表示成质因数乘积的形式，例如360222335.还可以写成 3602 3325.这里 23 表示 3 个 2 相乘，3 2 表示 2 个 3 相乘.在 23 中，3 称为 2 的指数，读作 2 的 3 次方，在 32 中，2 称为 3 的指数，读作 3 的 2 次方.例 10 有四个学生，他们的年龄恰好是一个比一个大 1 岁，而他们的年龄的乘积是 5040，那么，他们的年龄各是多少？解：我们先把 5040 分解质因数50402 43257.再把这些质因数凑
17、成四个连续自然数的乘积：2 4325778910.所以，这四名学生的年龄分别是 7 岁、8 岁、9 岁和 10 岁.利用合数的质因数分解式，不难求出该数的约数个数（包括 1 和它本身）.为寻求一般方法，先看一个简单的例子.我们知道 24 的约数有 8 个：1，2，3 ，4，6，8，12，24. 对于较大的数，如果一个一个地去找它的约数，将是很麻烦的事.因为 242 33，所以 24 的约数是 23 的约数（1， 2，2 2，2 3）与 3 的约数（1 ，3）之间的两两乘积.11，13 ，21 ，23，2 21，2 23，2 31，2 33.这里有 428 个，即 （31）（1 1）个，即对于
18、242 33 中的 23，有（31 ）种选择：1，2 ，2 2，2 3，对于 3 有（11）种选择.因此共有（31 ）（11 ）种选择.这个方法，可以运用到一般情形，例如，1442 432.因此 144 的约数个数是（41） （2+1 ）15（个）.例 11 在 100 至 150 之间，找出约数个数是 8 的所有整数 .解：有 87 1； 8（31）（1 1）两种情况 .（1）2 7128 ，符合要求，3 7150，所以不再有其他 7 次方的数符合要求.（2）2 38 ，813104， 817136 ，符合要求.3 327 ；只有 275135 符合要求 .5 3135，它乘以任何质数都大于
19、 150，因此共有 4 个数合要求：128，104，135，136.利用质因数的分解可以求出若干个整数的最大公约数和最小公倍数.先把它们各自进行质因数分解，例如7202 4325，1682 337.那么每个公共质因数的最低指数次方的乘积就是最大公约数，上面两个整数都含有质因数 2，较低指数次方是 23，类似地都含有 3，因此 720 与 168 的最大公约数是2 33 24.在求最小公倍数时，很明显每个质因数的最高指数次方的乘积是最小公倍数.请注意 720 中有 5，而 168中无 5，可以认为较高指数次方是 51=5.720 与 168 的最小公倍数是2 432575040.例 12 两个数
20、的最小公倍数是 180，最大公约数是 30，已知其中一个数是 90，另一个数是多少？解：1802 2325，30 235.对同一质因数来说，最小公倍数是在两数中取次数较高的，而最大公约数是在两数中取次数较低的，从 22与 2 就知道，一数中含 22，另一数中含 2；从 32 与 3 就知道，一数中含 32，另一数中含 3，从一数是9023 25.就知道另一数是2 23560.还有一种解法：另一数一定是最大公约数 30 的整数倍，也就是在下面这些数中去找30， 60， 90， 120，.这就需要逐一检验，与 90 的最小公倍数是否是 180，最大公约数是否是 30.现在碰巧第二个数 60 就是.
21、逐一去检验，有时会较费力.例 13 有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是 420.如果把所有这样的分数从小到大排列，那么第三个分数是多少？解：把 420 分解质因数42022357.为了保证分子、分母不能约分（否则约分后，分子与分母的乘积不再是 420 了），相同质因数（上面分解中的 2），要么都在分子，要么都在分母，并且分子应小于分母.分子从小到大排列是1 ，3，4，5，7 ，12 ，15，20.分子再大就要超过分母了，它们相应的分数是两个整数，如果它们的最大公约数是 1.就称这两个数是互质的.例 13 实质上是把 420 分解成两个互质的整数.利用质因数分解，把一个整数分解成若干个
22、整数的乘积，是非常基本又是很有用的方法，再举三个例题.例 14 将 8 个数 6，24，45，65，77 ，78，105，110 分成两组，每组 4 个数，并且每组 4 个数的乘积相等，请写出一种分组.解：要想每组 4 个数的乘积相等，就要让每组的质因数一样，并且相同质因数的个数也一样才行.把 8 个数分解质因数.623， 242 33，45 3 25， 65513，77 711， 782313 ，105357， 1102511.先放指数最高的质因数，把 24 放在第一组，为了使第二组里也有三个 2 的因子，必须把 6，78，110 放在第二组中，为了平衡质因数 11 和 13，必须把 77
23、和 65 放在第一组中.看质因数 7，105 应放在第二组中，45 放在第一组中，得到第一组：24，65 ，77， 45.第二组：6，78，110，105.在讲述下一例题之前，先介绍一个数学名词-完全平方数.一个整数，可以分解成相同的两个整数的乘积，就称为完全平方数.例如：422 ， 933， 1441212， 6252525.4，9，144，625 都是完全平方数.一个完全平方数写出质因数分解后，每一个质因数的次数，一定是偶数.例如：1443 242， 1002 252，例 15 甲数有 9 个约数，乙数有 10 个约数，甲、乙两数最小公倍数是 2800，那么甲数和乙数分别是多少？解：一个整
24、数被它的约数除后，所得的商也是它的约数，这样的两个约数可以配成一对.只有配成对的两个约数相同时，也就是这个数是完全平方数时，它的约数的个数才会是奇数.因此，甲数是一个完全平方数.2800 2 4527.在它含有的约数中是完全平方数，只有1，2 2，2 4，5 2，2 252，2 452.在这 6 个数中只有 2252100，它的约数是（2 1 ）（2+1）9 （个）.2800 是甲、乙两数的最小公倍数，上面已算出甲数是 1002 252，因此乙数至少要含有 24 和 7，而247 112 恰好有（4+1）（11 ）10 （个）约数，从而乙数就是 112.综合起来，甲数是 100，乙数是 112
25、.例 16 小明买红蓝两种笔各 1 支共用了 17 元.两种笔的单价都是整元，并且红笔比蓝笔贵.小强打算用 35元来买这两种笔（也允许只买其中一种），可是他无论怎么买都不能把 35 元恰好用完，问红笔、蓝笔每支各多少元？解：35 57.红、蓝的单价不能是 5 元或 7 元（否则能把 35 元恰好用完），也不能是 17-512 （元）和 17-710 （元），否则另一种笔 1 支是 5 元或 7 元.记住：对笔价来说，已排除了 5，7，10，12 这四个数.笔价不能是 35-17=18（元）的约数.如果笔价是 18 的约数，就能把 18 元恰好都买成笔，再把 17 元买两种笔各一支，这样就把 3
26、5 元恰好用完了.因此笔价不能是 18 的约数：1，2 ，3，6，9.当然也不能是 17-116，17-2 15，17-314，17-611 ， 17-98.现在笔价又排除了：1 ，2，3，6，8，9，11，14 ，15，16.综合两次排除，只有 4 与 13 未被排除，而 41317，就知道红笔每支 13 元，蓝笔每支 4 元.三、余数在整数除法运算中，除了前面说过的“能整除”情形外，更多的是不能整除的情形，例如 953， 485.不能整除就产生了余数.通常的表示是：653 21 2， 3857 3.上面两个算式中 2 和 3 就是余数，写成文字是被除数 除数=商余数.上面两个算式可以写成653212， 38573.也就是被除数=除数商+余数.通常把这一算式称为带余除式，它使我们容易从“余数”出发去考虑问题，这正是某些整数问题所需要的.特别要提请注意：在带余除式中，余数总是比除数小，这一事实，解题时常作为依据.
