1、高考中的离心率问题的研究 在新课程中，圆锥曲线的离心率问题是高考中常考的问题，通常有两类：一是求圆锥曲线的离心率的值；二是求圆锥曲线的离心率的取值范围.由于它涉及圆锥曲线较多的基本量，方程与曲线问题，方程组与不等式的求解问题等，学生常常感到难以下手，不好把握.下面就通过近几年的一些高考题的分析、研究和求解，总结出一般的解题策略和方法. 一、 求圆锥曲线离心率的值. 1. 用定义求解离心率： 例1 （2011福建理7）设圆锥曲线r的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r上存在点P满足|PF1|F1F2|PF2|=432，则曲线r的离心率等于（ ） A 12或32 B 23或2 C 12或2 D 23
2、或32 解析：不妨设|PF1|=4，|F1F2|=3，|PF2|=2 分类讨论：若圆锥曲线r是椭圆，则|PF1|+|PF2|=2a=6，|F1F2|=2c=3， e=ca=12；若圆锥曲线r是双曲线，则|PF1|-|PF2|=2a=2，|F1F2|=2c=3， e=ca=32，故选A. 2. 用基本量计算求解离心率： 例 若双曲线x2a2-y2b2=1的两个焦点到一条准线的距离之比为32,则双曲线的离心率是（ ） A. 3 B. 5 C. 3 D. 5 解析：由题意得a2c+cc-a2c=32化简得5a2=c2， e2=5，e=5 在解析几何中对圆锥曲线的研究思想就是用代数方法研究几何问题，因
3、此很多题型的设计都在围绕这一点展开，重点体现着数形结合在解题中的应用.下面我们就来看： 3. 用数形结合思想解离心率： （1） 直角三角形的使用： 例3 （2008江苏卷12）在平面直角坐标系中，椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的焦距为2，以O为圆心，a为半径的圆，过点a2c，0作圆的两切线互相垂直，则离心率e=_ 解析：由几何性质得OP=a2c=2OK=2a， e=22 （3） 综合应用： 例4 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为椭圆E：x2a2+y2b2=1（ab0）的左顶点，B，C在椭圆E上，若四边形OABC为平行四边形，且OAB=30，则椭圆E的离心率等于_ 解析：此题应用了椭
4、圆的对称性，由四边形OABC为平行四边形知B，C点纵坐标相同，故横坐标互为相反数，又 OA=BC=a， B点的横坐标为-a2，如图，在RtABD中，AD=a2，BD=a2tan30=36a 将B-a2，36a代入椭圆方程得e=223 4. 结合向量知识解离心率： 例5 （2010辽宁文数）设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. 3 C. 3+12 D. 5+12 解析：选D. 不妨设双曲线的焦点在x轴上，设其方程为：x2a2-y2b2=1（a0，b0），则一个焦点为F(c,0)，B（0,b） 一条渐近线斜
5、率为：ba，直线FB的斜率为：-bc， ba-bc=-1， b2=ac c2-a2-ac=0，解得e=ca=5+12. 类似的有:（2010广东文数）若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（ ） A. 45 B. 35 C. 25 D. 15 解：设长轴长为2a,短轴长为2b,焦距为2c,则2a+2c=4b,即a+c=2b（a+c）2=4b2=4(a2-c2)，整理得5c2+2ac-3a2=0，即5e2+2e-3=0e=35或e=-1（舍），选B 二、 求圆锥曲线离心率的范围. 1. 利用定义及构成三角形的边长的范围要求： 例6 （2008福建卷12）双曲线x2a
6、2-y2b2=1（a0,b0）的两个焦点为F1、F2，若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为（ ） A. （1，3） B. （1，3） C. （3，+） D. 3，+ 解析： PF1-PF2=2a，PF1=2PF2， PF1=4a，PF2=2a 由三角形特征知：2a+2c4a 4a+2a2ce（1，3） 2. 利用圆锥曲线的性质： 例7 （2008湖南卷10）双曲线x2a2-y2b2=1（a0，b0）的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是( ) A. （1，2 B. 2,+) C. (1，2+1 D 2+1，+) 解析：，设P
7、(x,y),利用圆锥曲线的统一定义得 x-a2ce=x+a2c， x=a+a2cca-1 再由性质知xa，得2+1ee得范围（1，2+1 3. 利用焦半径的范围： 4. 综合应用： 例8 （2008江西卷7）已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足MF1MF2=0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 ( ) A. （0，1） B. 0，12 C 0，22 D 22，1 解析：因为MF1MF2=0，所以M点在圆x2+y2=c2上.由题知，圆总在椭圆内部，延长F2M交椭圆于点N，连接NF1，则F1MF2F1NF2， F1NF190， NF1NF20，设椭圆x2a2+y2b2=1（ab0）上任意一点N（x,y），由NF1NF20得x2-c2+y20，故x2-c2+1-x2a2b20，有c2a2x2c2-b2对椭圆上任意一点都成立，故0c2-b2即a22c2， e0,22第 5 页 共 5 页
