1、关于 Fibonacci 数列的基及其均值的计算第 25 卷第 4 期2005 年 12 月宝鸡文理学院(自然科学版)JournalofmoilUniversityofArtsandSciences(NaturalScience)Vo1.25No.4Dee.2005OntheFib0naccibaseandcomputionofcountingfunctionmeanvalueYANGQian-1i(InstituteofMathematics,WeinanTeachersCollege,Weinan714000,Shaanxi,China)AbstrachAnewcountingfuncti
2、on 口()relatedtotheFibonaccinumberwasintroduced.thenusingtheinductionmethodstogiveanexactcalculatingformulaforthemeanvalueofA,(N)一n(),(r 一】,2,3)andprovethem.n(Keywords:Fibonaccisequence;meanvalue;countingfunctionCLCnumber:0156.4Documentcode:AArtileID:10071261(2005)040247 一 O4MSC2000:11A25关于 Fibonacci
3、 数列的基及其均值的计算杨倩丽(渭南师范学院数学研究所,陕西渭南 714000)摘要:介绍了一个与 Fibonacci 数有关的计数函数,利用了猜想和归纳的方法,得出了一类精确的均值计算公式 A,(N)=()(r 一】,2,3),并利用数学归纳法给予证明 .关键词:Fibonacci 数列;均值;计数函数中图分类号:O156.4 文献标识码:A 文章编号:1007 1261(2005)040247041IntroductionandresultsTheFibonaccisequenceF)aredefinedbythesecondorderlinearrecurrencesequenceF+2
4、=+l+FforO,Fo 一 0,Fl 一1.Thissequenceplaysaveryimportantroleinthestudiesoftheoryandapplicationofmathematics.Therefore,thevariouspropertiesofFwereinvestigatedbymanyauthors.R.L.DuncanandL.Kuipersprovethat(1ogF)isuniformlydistributedmod1.H.LondonandR.Finkelstein.studiedtheFibonacciandLucasnumberswhichare
5、perfectpowers.Prof.ZhangWen-peng4obtainedsomeidentitiesinvolvingtheFibonaccinumbers.Inthispaper,wegiveanexactcalculatingformulaA,(N)一ar(),(r 一 1,2,3).DefinitionLetmbeapositiveinteger,ItiseasilytoprovethatmmaybeuniquelywrittenintheFibonaccibaseas:withalla=0or1.Wecall 口(m) 一aasacountingfunctionandA(N)
6、一口 r(扎)asmeanva1ueof 口().JJHN*Receiveddate20050429Foundationitem:TheEducationDepartmentofShaanxi(05JK189)andWeinanTeachersCollege(04YKS014)Biography:YANGQian-li(1964 一),female,nativeofWennan,Shannxi,China,associateprofessor,mainresearchfieldisnumbertheory.,Fn一m248 鸡文理学院(自然科学版)2005 年nNote:Aboutthedef
7、initionm 一口 Ffinthefollowingway:ifFmF1,thenm Vn+rl;ifi=1Fr1Fk+1,thenr1 一+r2,mn,andsoonuntiloneobtains 一 O.Theorem1ForanypositiveintegerN,letNF1+F2+Fkwithkl忌 2忌,thenwehavethecalculatingformulas_tA1(N)一 i三“,2 忌 f+5i 一 7)Fk+忌 Fi-1(1)ul=lA2(N)一去 (忌一 1)(5k 一 2)Fk 一 kl(5k-6)Fk 一 1+0i1.),一 1,号善善(2 忌+sj 一 5
8、 一 7)Fk一 kjFk一 +(一 1)Fk(2)Theorem2.Foranypositiveintegerk,N,letN=Fk1+Fk2+Fkwithkl忌 2忌,thenwehaveA.(F)一去 (3 忌一 6 忌+k+2)Fkk(4k 一 9k+4)Fk(3),一 iiA.(N)一 A3(Fk)+3 A2IN-F.i1i 蓝 1 一 J=12ProofofthetheoremsInordertoprovetheorems,weneedfollowingtwolemmas.+(f 一 1)Fk(4)i1Lemma1Foranypositiveintegerk,thenwehavet
9、hecalculadngformulaA1(F 女) 一口(,2) 一E2(k 一 1)F-kF 卜nFJProof:1)Fork 一 1,2,wehaveA1(F1)一 A1(1)一 0,A1(F2)一 A1(1)一 0,So(5)iscorrect.(5)2)Assuming(5)istrueforall 忌,一 1.ThenbyinductiveassumptionwehaveA1(F)=口(72)+口(72)一 A1(F 一 1)+a(“+F 一 1)一nfl 埘一 1Frn 一 1nfl 埘 onF,n 一 2A1(Vm 一 1)+ 口(72)+1:Al(F 一 1)+F 一 2+口
10、(72)一OnFm 一 2nFm 一 21A1(一 1)+A1(F 一 2)+F 一 2 一2(一 2)一 1 一(一 1)Fm 一 2+J112(m 一 3)F 一 2 一(m-2)F 一.+F 一 2 一2(一 1)F-mF 一 1-I.UUwherewehaveusedtheidentityl+F 一 2.Thatis(5)istrueforkm.Thisproveslemma1.Lemma2Foranypositiveintegerk,Thenwehavethecalculatingformula1A2(F)一(忌一 1)(5k-2)F-k(5k-6)Fk 一 1(6)Proof:1)
11、Fork:1,2,wehaveSo(6)iscorrect.A2(F1)一 A2(1)一 O,A2(F2)一 A2(1)一 0,2)Assuming(6)istrueforall 忌一 1.ThenbyinductiveassumptionwehaveA2(F)一口(72)+口(,z)一 A2(F 一 1)+“.(72+F 一 1)一nF 一 1F 一 1nF“t 一 2A(F 一 1)+口(72)+1 一 A2(F 一 1)+A2(F,II 一 2)+2A(F)+F 一 2nF 埘一 2Fromassumptionand(5)1A2(F 一 1)一(仇一 2)(5m 一 7)一 1 一(m-
12、1)(5m 一 11)3F一 2(7)(8)F,一N(A3+第 4 期杨倩丽关于 Fibonacci 数列的基及其均值的计算 249A2(Fm 一 2)一杰(一 3)(5m 一 12)F.一 2 一( 一 2)(5m 一 16)一 3(9)A(Fmz)一去 2(一 3)Fmz 一(一 2)Fms(1o)Combining(7),(8),(9),(1O)andnotethatF 一一 1+一 2,wegetA2(F)一去(一 1)(5m-2)Fm-m(5m 一 6)Fro 一 1,Thatis,(6)istruefork 一.Thisproveslemma2.NowweuseabovetWOle
13、mmastocompletetheproofofthetheorems.First,weprove(1)A1(N)一 a(n)+口(,1) 一 A1(F 女.)+ 口(+F 女.)一f1f1NONf1A1(F 女)+(n()+1)一 A1(F 女)+A1(NF 女,)+N,OnNFSoA1(N)一 A1(Fk)+A1(N)+N(11)A(N)一 A1(Fk.)+A1(N一.)+N-FkFk.(12).A(N-Fk 一一.)一 A1(Fk)+A1(Fk)+(13)Combining(11),(12)and(13),wegetA1(N)一 A1(F)+ ( 一 1)F.From(5)wegetA(
14、N)=(2 七+5i-7)F 一点 F 女一 1.I=lNOWweprovetheformula(2)oftheTheorem1.A2(N)=n.()一n.(72)+ 口.()一 A2(Fk)+n.(,2+F 女.)一f1f1N.“Nf1A2()+ (n()+1).一 A2(F 女,)+A2(NF 女,)+2A1(NF 女,)+N F 女,OnNFSoA2(N)一 A2(Fk,)+A2(NF 女,)+2A1(N ,)+NR,A2(N-Fk)=A2(Fk.)+A2(N-Fk 一.)+2Al(NF 女-Fk.)+N-Fk.A2(NF 女一一 F 女)=A2(Fk 一)+A2(Fk,)+2A1(Fk
15、)+Combining(14),(15)and(16),wegetj 一 1jjA2(N)一 A2(.)+2A1(N 一.)+(一 1)F 女i=1暑 1=1i=1From(12)and(13),weget$-1ij 一 1jA1(N 一F 女.)一rA1()+(一一 1)F.譬 1=1,=1,=+1,J+1.,一Combining(17)and(18),weobtainA2(N)一寺蚤( 七一 1)(5k 一 2)F 一七(5k 一 6)F 女一 1+or 一 1Di=lj=i+l(2 七,+5 一 5i 一 7)Fk一 k,Fkj 一 1+蚤(I)F?Thisprovetheformula
16、(2)ofTheore1.ProofofTheorem2.Firstweproveformula(3).Proof:1)Fork 一 1,2,wehaveA3(F1)一 A3(1)一 O,A3(F2)一 A3(1)一 O,So(3)iScorrect.(14)(15)(16)(17)(18)250 宝鸡文理学院(自然科版)2005 年2)Assuming(3)istrueforall 志m 一 1.ThenbyinductiveassumptionwehaveA3(F 埘) 一a3()+a.()一 A3(F 一 1)+a.(+F 一 1)一F 埘一 lF 埘一 l“F 埘 oF 埘一 2A.(
17、F 埘一.)+口()+1. 一 A.(F 一.)+A.(F 一 2)+3A2(F 一 2)+3A1(F 一 2)+F 埘一2O“,m 一 2.Fromassumption,lemma1andlemma2,A.(F 一-)-5(3m.一 15m.+22m 一 8)F 一-一(m 一 1)(4m.一 17m+17)F 一 2A.(一 2)=sE(3rn.一 24rn.+61m 一 48)Fm 一 2 一(m 一 2)(4rn.一 25m+38)Fm 一.A2(F 一 2)一(m 一 3)(5m 一 12)F 一 2 一(m 一 2)(Sm 一 16)F一 3A-(F 一 z)=一 3)F 一:一一
18、.512(=rn一J+一 2(m-2)F.,FFFCombining(19),(20),(21),(22),(23)and(24),wegetA3()一(3m.-6m+m+2)Fm-m(4m.-9m+4)F 一-ThatiS,(3)iStruefork=m.Thisproves(3)oftheTheorem2.Second,weproveformula(4)(19)A3(N)一 a.(,2)一a(“)+ a.(“+FI,)一 A2(Fk,)+a.(+,)=:=“N“FFHNOnN-A.(,)+ ,一 3(FI)+A.(N-F)+3A2(N-F,)+3A1(N-F)+N-F,.OnN-F( 口(
19、n)+1).SoA3(N)=A3(Fk)+A.(N)+3A2(NFI)+3Al(N)+NFIA.(N)一 A.(.)+A.(N一.)+3A2(N一 R.)+3A,(NF 一 Fk2,)+NFk 一 Fk2A.(NFI 一一 Combining(25),(26),527),.)一 A.(F 一)+A.(R,)+3A2(F)+F 一.wegetA3(N)=iA.()+3E一.A:N-,E一.Gl+3 善 1A-N 一蓦 1F+善 l(一 1)一f lJ 一-.,=,#,f 工Thisprovesformula(4)ofTheorem2.References:(20)(21)(22)(23)(24)
20、(25)(26)(27)1DUNCANRL.ApplicationofuniformdistributiontOtheFibonaccinumbersJ.TheFibonacciQuarterly,1967,5:137-140.234KUIPERSL.RemarkonapaperbyR.L.Duncanconcernihgtheuniformdistributionmod1ofthesequenceofthelogarithmsoftheFibonaccinumbersJ.TheFibonacciQuarterly,1969,7:465466.LONDONH.FINKELSTEINR.OnFibonacciandLucasnumbers,whichareperfectImwersJ.TheFibonacciQuarterly,1969,7:476.481.ZHANGWen-peng.SomeidentitiesinvolvingtheFibonaccinumbersJ.TheFibonacciQuarterly,1997.35:225229.(编校:李哲峰)
