1、第8章函数应用函数应用不仅体现在用函数解决数学问题,更重要的是用函数解决实际问题.教材将“函数应用”单独作为一章,凸显了本章内容的重要性.本章内容分两部分:一是二分法与求方程近似解(揭示了函数与方程的关系),二是函数与数学模型(函数的实际应用).第一部分首先结合具体连续函数图象引出零点存在定理,并以此为依据探索求方程近似解的基本方法(二分法),进一步研究了方程有解与函数值的关系.第二部分通过比较具体一次函数、幂函数、指数函数、对数函数等函数增长速度的差异,理解“直线上升”“指数爆炸”“对数增长”等术语的含义,并能根据实际情境选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.运用函数知识解决实际问题的关
2、键是建立数学模型,通常的程序是:实际问题建立数学模型求解数学模型解决实际问题.本章重点提升学生的数学建模、直观想象、数学运算素养.|第1课时函数的零点(1)|知识技能1. 在二次函数的零点概念基础上,进一步理解一般函数零点的概念.2. 通过对二次函数的研究,归纳出零点存在定理,并会用零点存在定理分析函数的零点.思想方法函数与方程的相互转化及数形结合思想.核心素养1. 在借助二次函数的图象理解零点存在定理过程中,发展直观想象素养.2. 在利用零点存在定理分析函数零点过程中,发展逻辑推理素养.重点:对函数零点概念及零点存在定理的理解.难点:零点存在定理的归纳过程.通过学生熟悉的二次函数的图象,引导
3、学生理解二次函数与一元二次方程之间的相互联系,使学生能够灵活运用数形结合、等价转化等数学思想.问题导引预习教材P215216,然后思考下面几个问题.1. 二次函数y=ax2+bx+c(a0)的零点定义是什么?函数的零点定义是什么?2. 零点存在定理具体怎样表述?即时体验1. (1) 函数y=x2-x-6的零点是-2, 3;(2) 函数y=2x-32的零点是5.2. 已知下列一元二次方程,请判断与它们对应的二次函数是否有零点(如果有零点,请说明有几个零点):(1) x2-x+3=0;(2) x2-4x-2=0;(3) x2-8x+16=0.解(1) 没有零点;(2) 有零点,并且有两个零点;(3
4、) 有零点,只有一个零点.提示此题有两种解决方法.第一种方法是根据一元二次方程的判别式来判断, 0对应的二次函数有两个不同的零点;=0对应的二次函数有一个零点;0对应的二次函数没有零点.第二种方法是求出一元二次方程的根,那么与之对应的二次函数的零点也就求出来了.一、 问题情境在第3章我们通过解方程的方法判断了函数f(x)=x2-2x-1在区间(2, 3)上存在零点,那么能用同样的方法判断函数f(x)=lgx+x-3在区间(2, 3)上存在零点吗?二、 数学建构(一) 生成概念问题1观察二次函数y=x2-2x-3的图象(如图1),从图象上看,二次函数y=x2-2x-3的零点是什么?(图1)从图象
5、上看,二次函数y=x2-2x-3的零点就是二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴交点的横坐标,即使二次函数y=x2-2x-3的值为0的实数-1, 3,亦即一元二次方程x2-2x-3=0的实数根.一般地,我们把使函数y=f(x)的值为0的实数x称为函数y=f(x)的零点.问题2如何判断“问题情境”中函数f(x)=lgx+x-3在区间(2, 3)上是否存在零点?先以函数f(x)=x2-2x-3为例.如图1,因为f(2)=-30,而二次函数f(x)=x2-2x-3在区间2, 4上的图象是不间断的,这表明此函数图象在区间(2, 4)上一定穿过x轴,即函数在区间(2, 4)上存在零点.由此得到零点存在定
6、理:若函数y=f(x)在区间a, b上的图象是一条不间断的曲线,且f(a)f(b)0,则函数y=f(x)在区间(a, b)上有零点.由此定理很容易判断函数f(x)=lgx+x-3在区间(2, 3)上存在零点.(二) 理解概念1. 零点: 函数的零点即相应方程的根; 函数的零点就是相应图象与x轴交点的横坐标; 函数的零点是实数,而不是点,例如,函数f(x)=x+1的零点是-1,而不是(-1, 0); 并不是所有的函数都有零点,如函数f(x)=1x, y=x2+1均没有零点; 若函数有零点,则零点一定在函数的定义域内.2. 零点存在定理:如果函数y=f(x)在区间a, b上的图象是一条连续不断的曲
7、线,且有f(a)f(b)0,那么函数y=f(x)在区间(a, b)上有零点,即存在c(a, b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的解.三、 数学运用1判断函数f(x)=x2-2x-1在区间(2, 3)上是否存在零点.1(见学生用书课堂本基础版P143、提高版P147)规范板书解方法一:根据求根公式可得方程x2-2x-1=0的两个根分别为x1=1+2, x2=1-2.因为122,所以21+23.因此,函数f(x)=x2-2x-1在区间(2, 3)上存在零点.方法二:因为f(2)=-10,而二次函数f(x)=x2-2x-1在区间2, 3上的图象是不间断的,由零点存在定理可知函数在区
8、间(2, 3)上存在零点.题后反思对于常见函数,判断它的零点是否存在,既可以求出零点,也可以应用零点存在定理.已知二次函数y=f(x)的零点分别是-2和3,且该函数的最大值为5,求y=f(x)的表达式.处理建议本题条件中提到了函数的零点,需要先弄清楚零点的定义,然后再恰当地设二次函数的解析式,最后通过待定系数法解决问题.规范板书解设该二次函数的解析式为y=a(x+2)(x-3),则该函数图象的对称轴为x=-2+32=12.由题意得f12=5,即a12+212-3=5,解得a=-45.故y=-45(x+2)(x-3)=-45x2+45x+245.题后反思合适地选择二次函数解析式的形式,会大大地减
9、少计算量.f(x)=ex-1x的零点所在的区间是()A. 0,12B. 12, 1C. 1,32D. 32, 2处理建议运用零点存在定理判断.规范板书解函数f(x)=ex-1x是(0, +)上的增函数,再根据f12=e-20,可得f12f(1)0,所以函数f(x)=ex-1x的零点所在的区间是12, 1.故选B.题后反思运用零点存在定理时,要求同时具备两个条件:函数在区间a, b上的图象是连续不断的一条曲线;f(a)f(b)0.这两个条件缺一不可.2(教材P215例1)证明函数f(x)=x3+x2+1在区间(-2, -1)上存在零点.2(见学生用书课堂本基础版P144、提高版P148)规范板书
10、证明因为f(-2)=(-2)3+(-2)2+1=-30,且函数f(x)在区间-2, -1上的图象是不间断的,由零点存在定理知函数f(x)在区间(-2, -1)上存在零点.处理建议从零点存在定理入手.题后反思(1) 函数零点存在定理必须同时满足:函数f(x)在区间a, b上的图象是一条不间断的曲线;f(a)f(b)0.这两个条件缺一不可.可从函数y=1x来理解,易知f(-1)f(1)=-110,但显然y=1x在(-1, 1)内没有零点.(2) 函数零点存在定理只能判断出零点的存在性,而不能判断出零点的个数.如图,虽然有f(a)f(b)0,但图中函数在区间(a, b)内有4个零点,图中函数在区间(
11、a, b)内仅有1个零点.图图(3) 如果单调函数y=f(x)在区间a, b上的图象是一条不间断的曲线,并且有f(a)f(b)0, f(-2)=-20,所以f(-2)f(0)0,且函数f(x)在区间-2, 0上的图象是不间断的,因此,函数f(x)=x3-2x+2至少有一个零点.3判断方程3x-x2=0有没有实数解?并说明理由.3(见学生用书课堂本基础版P144、提高版P148)处理建议将方程有解转化成函数的零点问题,考虑函数f(x)=3x-x2是否有零点,利用零点存在定理严格说理.规范板书解设函数f(x)=3x-x2,在区间-1, 0上有f(-1)=3-1-(-1)2=-230.又因为函数f(
12、x)=3x-x2的图象是一条连续的曲线,所以由零点存在定理可知方程f(x)=0在区间(-1, 0)内有解,即在区间-1, 0内有解,故方程3x-x2=0在区间-1, 0内有解.题后反思(1) 用函数的眼光看方程,抓住方程的本质是函数,本题也可以结合两个函数图象研究交点个数,再利用零点存在定理严格证明.(2) 方程、函数的图象、函数之间的内在联系如下:方程0.9x-13x=0的实数解的个数是()A. 0B. 1C. 2D. 3规范板书解方法一:设f(x)=0.9x-13x,易知f(2)=0.81-230, f(3)=0.729-10,由函数的零点存在定理可知,f(x)在区间(2, 3)上有零点.
13、容易证明,函数f(x)=0.9x-13x在R上是减函数,所以它只有一个零点,即方程0.9x-13x=0只有一个实数解.故选B.方法二:求方程0.9x-13x=0的实数解的个数即求函数y=0.9x的图象和直线y=13x的交点的个数,作出y=0.9x与y=13x的函数图象(如图),由图可知函数y=0.9x的图象和直线y=13x的交点的个数为1.题后反思判断函数y=f(x)的零点的个数的方法(1)解方程法,方程f(x)=0的实数根的个数就是函数f(x)的零点的个数;(2)借助函数的单调性及零点存在定理进行判断;(3)如果函数图象易画出,那么可依据图象与x轴的交点的个数来判断.特别地,对于形如y=h(
14、x)-g(x)的函数,可通过函数h(x)与g(x)的图象的交点的个数来判断.*4已知m, n是二次函数y=x2+(2-k)x+k2+3k+5(kR)的两个零点,求m2+n2的最大值和最小值.处理建议本题实质上是对应的一元二次方程x2+(2-k)x+k2+3k+5=0有两个实数根,要求m2+n2的最值,首先要考虑根与系数的关系,并由此得到以k为自变量的m2+n2的函数解析式.规范板书解由题意可知方程x2+(2-k)x+k2+3k+5=0(kR)有两个实根,所以=(2-k)2-4(k2+3k+5)=-3k2-16k-160,解得-4k-43.又m+n=-(2-k), mn=k2+3k+5,所以m2
15、+n2=(m+n)2-2mn=(k-2)2-2(k2+3k+5)=-k2-10k-6=-(k+5)2+19.而f(k)=-(k+5)2+19在k-4, -43上是减函数,因此,当k=-4时,m2+n2取最大值18;当k=-43时,m2+n2取最小值509.题后反思这实质上是一个与一元二次方程的根有关的问题,必须先确定k的取值范围,构造以k为变量的函数,然后通过函数的值域求最大值和最小值.四、 课堂练习1. (1) 二次函数y=x2-5x-6的零点为-1和6.(2) 函数y=log5x-1的零点为5.2. 方程2x+x=0的实数解所在的区间为(C)A. (-2, -1)B. (1, 2)C. (
16、-1, 0)D. (0, 1)3. 证明函数f(x)=x4-2x-3在区间(1, 2)上有零点.证明因为f(1)=-40,且函数f(x)在区间(1, 2)上的图象是不间断的,所以函数f(x)=x4-2x-3在区间(1, 2)上有零点.4. 判定下列方程存在几个实数解,并分别给出每个解的存在区间:(1) x2+x-1=0;(2) |lgx|-2=0.解(1) 两个解,区间是(-2, 0)和(0, 1);(区间不唯一)(2) 两个解,区间是(10, 100)和(-100, -10).(区间不唯一)五、 课堂小结函数的零点概念;零点存在定理及其应用.|第2课时函数的零点(2)|知识技能学会利用函数图
17、象处理零点个数及方程解的个数问题.思想方法体验并理解函数与方程相互转化及数形结合的数学思想.核心素养1. 含参数的函数零点问题,利用分离参数方法灵活处理,发展直观想象及数学运算等核心素养.2. 深化对零点存在定理的理解和运用,积累取特殊点、判断函数值符号的经验,提升逻辑推理,数学建模等核心素养.重点:根据零点个数求参数范围.难点:含参数的非二次函数零点问题.启发引导式,引导学生思考,将问题转化为熟悉的问题和情境,综合运用数形结合、等价转化等数学方法解决问题.问题导引函数零点是什么?如何判断零点存在?即时体验1. 函数y=3x-9零点是什么?2; y=2x-9零点是什么?log29.2. f(x
18、)=4x+x3在(-1, 0)上有零点吗?为什么?(有,因为f(-1)=14-1=-340由零点知至少有一个).一、 问题情境上节课我们学习了函数的零点的概念和判断零点存在的方法,分别是什么?在学习中我们经常会遇到一些含有参数的函数,如何研究这类函数的零点问题呢?二、 数学建构在第三章,我们研究过含有参数的二次函数,回想一下,我们前面是怎样研究的?三、 数学运用1已知二次函数f(x)=ax2+bx-2(a0)图象的对称轴为x=1314,且f(2)=0.(1) 求函数f(x)的解析式;(2) 若方程f(x)=m(x+1)的一个根在区间(0, 1)上,另一个根在区间(1, 2)上,求实数m的取值范
19、围.1(见学生用书课堂本基础版P145、提高版P149)处理意见 将方程的根的问题转化为零点问题考虑.规范板书解(1) 由题意,-b2a=1314,4a+2b-2=0,解得a=7,b=-13.故f(x)=7x2-13x-2.(2) 设g(x)=7x2-13x-2-m(x+1)=7x2-(13+m)x-(m+2),由题意知,函数g(x)在(0, 1)内有一个零点,在(1, 2)内有一个零点,故满足g(0)0,g(1)0,即-(m+2)0,7-(13+m)-(m+2)0,解得-4m-2.故实数m的取值范围是(-4, -2).题后反思构造函数是解决含参数问题的常用方法.已知函数f(x)=x+1, g
20、(x)=x2,若关于x的方程gf(x)+2(m-1)x+2m=0的一个根在区间(-1, 0)内,另一个根在区间(1, 2)内,求实数m的取值范围.规范板书因为gf(x)+2(m-1)x+2m=0,所以(x+1)2+2(m-1)x+2m=0,即x2+2mx+2m+1=0.因为方程的一个根在区间(-1, 0)内,另一个根在区间(1, 2)内,所以(1-2m+2m+1)(2m+1)0,(1+2m+2m+1)(4+4m+2m+1)0,解得-56m0).令g(x)=x-12x,该函数在(0, +)上为增函数,且g(x)的值域为(-1, +),故当a-1时,f(x)在(0, +)内有零点.设a为实数,若关
21、于x的方程x-ax+1=0在区间(-1, 1)上有两个解,求实数a的取值范围.规范板书解关于x的方程x-ax+1=0区间(-1, 1)上有两个解,即关于x的方程x2+x-a=0在区间(-1, 1)上有两个解.方法一:令f(x)=x2+x-a,则0,f(-1)0,f(1)0,解得-14a0,g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在两个零点,求a的取值范围.3(见学生用书课堂本基础版P146、提高版P150)处理建议由函数g(x)的特征用数形结合的方法解决.规范板书解因为g(x)=f(x)+x+a存在两个零点,即y=f(x)与y=-x-a有两个交点,f(x)的图象如下:(例3)要使得y=-x-a
22、与f(x)有两个交点,则有-a1,即a-1.所以a-1, +).题后反思善于用函数图象处理零点个数问题,一般是转化为一个不含参数的函数和一个含参数结构简单的函数(常数函数、一次函数).已知函数y=f(x)=|lgx|, x0,x2+4x+3, x0,若函数g(x)=f(x)-k有三个不同的零点,则实数k的范围为(D)A. 3, +)B. (3, +)C. 3, +)0D. (3, +)0规范板书解析作出y=f(x)的图象,函数g(x)=f(x)-k有三个不同的零点,即函数y=f(x)与y=k有三个不同的交点,根据图象可知k0(3, +).*4设函数f(x)=|x+2|,x0,|log2x|,x
23、0,若关于x的方程f(x)=a有四个不同的解x1, x2, x3, x4,且x1x2x30的图象如下,(例4)结合图象,A, B, C, D的横坐标分别为x1, x2, x3, x4,故x1+x2=-4, x3x4=1,故x3(x1+x2)+1x32x4=1x3-4x3.因为0-log2x32,所以14x31,易知y=1x3-4x3在14, 1上是减函数,则-31x3-4x33.故x3(x1+x2)+1x32x4的取值范围是(-3, 3.题后反思研究函数几个零点的关系是重点,往往借助于函数图象、性质寻找突破口.四、 课堂练习1. 已知函数f(x)=3ax-1-2a在区间(-1, 1)上存在零点
24、,则(C)A. 15a15C. a1D. a0,2x,x0,若关于x的方程f(x)=k有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围是(0, 1.五、 课堂小结在解决含参数的函数零点问题时,数形结合、分离参数都是常用的方法.|第3课时用二分法求方程的近似解|知识技能1. 通过具体实例,理解二分法的概念和适用条件,了解二分法是求方程近似解的常用方法,并从中体会函数与方程之间的联系.2. 借助于计算器或信息技术手段用二分法求方程近似解.思想方法1. 在用二分法求方程近似解的过程中,体会逼近思想,感受精确与近似的相对统一.2. 体验并理解函数与方程的关系,感受转化思想.核心素养在用二分法求方程近似解的过程
25、中,发展数学运算素养、逻辑推理素养,并体验数学的理性之美.重点:利用二分法求方程近似解.难点:(二分法)算法的理解与逼近思想的领悟.通过学生熟悉的二次函数的图象,引导学生理解二次函数与一元二次方程之间的相互联系,并能够运用数形结合、等价转化等数学思想解决问题.问题导引1. 什么是函数的零点?2. 什么是零点的存在性定理?3. 预习教材P216220,然后请思考:用二分法求方程的近似解的思路是什么?即时体验1. 函数f(x)=3x-16在区间2, 5上有0个零点.2. 根据下表中的数据,可以判定方程ex-x-2=0的一个根所在的区间为(1, 2).(取两个相邻整数之间)x-10123ex0.37
26、12.727.3920.0x+212345提示设f(x)=ex-x-2,因为f(1)=2.72-3=-0.280,所以f(1)f(2)0,所以原方程的一个根所在的区间为(1, 2).一、 问题情境对于方程lgx=3-x,要求出这个方程的解是较为困难的. 我们能否求出这个方程的近似解呢?让我们先从熟悉的一元二次方程开始研究.例如,求方程x2-2x-1=0的实数根就是求函数f(x)=x2-2x-1的零点. 根据图象(如图1),我们发现f(2)0.这表明此函数图象在区间(2, 3)上有零点,即方程f(x)=0在区间(2, 3)上有实数根. 又因为在区间(2, 3)上函数f(x)是单调递增的,所以方程
27、x2-2x-1=0在区间(2, 3)上有唯一实数根x1.(图1)二、 数学建构(一) 生成概念问题1如何进一步缩小方程x2-2x-1=0的实数根x1的范围呢?解计算得f2+32=140,发现x1(2, 2.5)(如图1),这样可以进一步缩小x1所在的区间.思考你能把x1限制在更小的区间内吗?解下面我们利用计算器来求方程x2-2x-1=0的一个近似解(精确到0.1). 设f(x)=x2-2x-1,先画出函数图象的简图(如图1).(图2)因为f(2)=-10,所以在区间(2, 3)内,方程x2-2x-1=0有一解,记为x1.取2与3的平均数2.5. 因为f(2.5)=0.250,所以2x12.5.
28、再取2与2.5的平均数2.25. 因为f(2.25)=-0.43750,所以2.25x12.5.如此继续下去,得f(2)0x1(2, 3),f(2)0x1(2, 2.5),f(2.25)0x1(2.25, 2.5),f(2.375)0x1(2.375, 2.5),f(2.375)0x1(2.375, 2.4375).因为2.375与2.4375精确到0.1的近似值都为2.4,所以此方程的近似解为x12.4.利用同样的方法,还可以求出方程的另一个近似解.像上面这种求方程近似解的方法称为二分法,它是求一元方程近似解的常用方法.(二) 理解概念1. 运用二分法的前提是要先判断某根所在的区间.2. 二
29、分法是一种操作,其实是在不断地做同样的一个操作,渗透了算法的循环结构思想.(三) 巩固概念问题2二分法的一般操作流程是什么?解给定精确数位m,用二分法求函数f(x)零点的近似值的步骤如下:(1) 确定区间a, b,验证f(a)f(b)0,给定精确数位m;(2) 求区间(a, b)的中点x1;(3) 计算f(x1): 若f(x1)=0,则x1就是函数的零点; 若f(a)f(x1)0,则令b=x1(此时零点x0(a, x1); 若f(x1)f(b)0,则令a=x1(此时零点x0(x1, b);(4) 判断是否达到精确数位m:即若a和b精确到m的近似值是同一个数,则得到零点值a(或b);否则重复步骤
30、(2)(4).由函数的零点与相应方程的关系,我们可以用二分法来求方程的近似解.三、 数学运用1(教材P217例3)利用计算器,求方程lgx=3-x的近似解.(精确到0.1)1(见学生用书课堂本基础版P147、提高版P151)处理建议求方程lgx=3-x的解,可以转化为求函数f(x)=lgx+x-3的零点,故可以利用二分法求出题中方程的近似解.(例1)规范板书解分别画出函数y=lgx和y=3-x的图象(如图).在两个函数图象的交点处,函数值相等.因此,这个点的横坐标就是方程lgx=3-x的解.由函数y=lgx与y=3-x的图象可以发现,方程lgx=3-x有唯一解,记为x1,并且这个解在区间(2,
31、 3)内.设f(x)=lgx+x-3,利用计算器计算得:f(2)0x1(2, 3),f(2.5)0x1(2.5, 3),f(2.5)0x1(2.5, 2.75),f(2.5)0x1(2.5, 2.625),f(2.5625)0x1(2.5625, 2.625).因为2.5625与2.625精确到0.1的近似值都为2.6,所以原方程的近似解为x12.6.题后反思发现计算的结果约稳定在2.58717.根据精度要求,可以来确定是否要继续算中点的函数值.求方程2x+x=4的近似解.(精确到0.1)2处理建议首先利用函数y=2x与y=4-x的图象,估计出方程2x=4-x的解所在的区间.然后,运用二分法求
32、出题中方程的近似解.2规范板书解方程2x+x=4可以化为2x=4-x.分别画出函数y=2x与y=4-x的图象(如图).由图象可以知道,方程2x+x=4的解在区间(1, 2)内.对于区间(1, 2),利用二分法就可以求得它的近似解.令f(x)=2x+x-4.f(1)0x1(1, 2)f(1)0x1(1, 1.5)f(1.25)0x1(1.25, 1.5)f(1.375)0x1(1.375, 1.5)f(1.375)0x1(1.375, 1.4375)因为1.375和1.4375精确到0.1的近似值都是1.4,所以2x+x=4的近似解为x1.4.(变式)题后反思二分法是一种操作性极强的操作方法,主
33、要是掌握其思想方法,为以后的算法学习打下基础.2利用二分法求33的近似值(精确到0.1).3(见学生用书课堂本基础版P148、提高版P152)处理建议构造函数f(x)=x3-3,根据用二分法求方程的近似解的方法和步骤,求得方程x3-3=0的近似解(精确到0.1),即为所求.规范板书解由题意,求f(x)=x3-3的零点即可.因为f(1)0,所以方程x3-3=0在区间1, 2上有实数解,如此下去,f(1.5)0, f(1.25)0, f(1.375)0, f(1.4375)0.因为1.375与1.4375精确到0.1的近似值都是1.4,所以方程x2-3=0的近似解为x1.4,即33的近似值为1.4
34、.题后反思本题主要考查用二分法求方程的近似解的方法和步骤,体现了转化的数学思想.求函数y=x2-3在区间(1, 2)内的零点的近似值.规范板书解令y=f(x)=x2-3.因为f(1)0, f(1.5)0,所以f(1.5)f(2)0, f(1.625)0, f(1.6875)0, f(1.71875)0,所以f(x)在(1.71875, 1.734375)上有零点,在这个区间内,精确到0.1的近似值都是1.7,故函数y=x2-3在区间(1, 2)内的零点的近似值为1.7.题后反思本题主要考查利用二分法求函数的零点问题,要求熟练掌握二分法的操作过程,运算量比较大.*3作出函数y=x3与y=3x-1
35、的图象,并写出方程x3=3x-1的近似解.(精确到0.1)4处理建议本题其实就是求函数y=x3和y=3x-1图象交点的横坐标.(例3)规范板书解作出函数y=x3与y=3x-1的图象(如图).在两个函数图象的交点处,函数值相等. 因此,这3个交点的横坐标就是方程x3=3x-1的解.由图象可以知道,方程x3=3x-1的解分别在区间(-2, -1),(0, 1)和(1, 2)上. 那么,对于区间(-2, -1), (0, 1)和(1, 2)分别利用二分法就可以求得它精确到0.1的近似解为x1-1.9, x20.3, x31.5.题后反思函数的图象必须精确地画出,这样才能从图象上观察出解所在的大致区间
36、,进而进行二分法的操作.*4已知函数f(x)=ax+x-2x+1(a1).(1) 求证:f(x)在(-1, +)上为增函数.(2) 若a=3,求方程f(x)=0的正根.(精确到0.1)规范板书证明(1) 任取x1, x2(-1, +),且x10, 因为a1,所以ax2-x11,且ax10.所以ax2-ax1=ax1(ax2-x1-1)0.又因为x1+10, x2+10,所以x2-2x2+1-x1-2x1+1=3(x2-x1)(x1+1)(x2+1)0.于是f(x2)-f(x1)=ax2-ax1+x2-2x2+1-x1-2x1+10,即f(x2)f(x1).故f(x)在(-1, +)上为增函数.
37、(2) 由(1)知,当a=3时,f(x)=3x+x-2x+1在(-1, +)上为增函数,故在(0, +)上单调递增.因此方程f(x)=0的正根仅有一个.由于f(0)=-10,所以取(0, 1)为初始区间,用二分法逐次计算,列出下表:区间中点中点函数值(0, 1)0.50.732(0, 0.5)0.25-0.084(0.25, 0.5)0.3750.322(0.25, 0.375)0.31250.124因为0.3125与0.25精确到0.1的近似值都是0.3,所以方程的近似解为x0.3.题后反思求函数零点的近似值时,由于所选的初始区间不同,最后得到的结果可能不同,只要它们符合所给定的精确度,就是
38、正确的.用二分法求方程的近似解可按下面的口诀进行记忆:“函数连续值两端,相乘为负有零点,区间之内有一数,方程成立很显然;要求方程近似解,先看零点的区间,每次区间分为二,先后两端近零点.”四、 课堂练习1. 用二分法研究函数f(x)=x5+8x3-1的零点时,第一次经过计算f(0)0,则其中一个零点所在的区间及第二次应计算的函数值分别为(D)A. (0, 0.5), f(0.125)B. (0.5, 1), f(0.25)C. (0.5, 1), f(0.75)D. (0, 0.5), f(0.25)2. (多选)在用“二分法”求函数f(x)的零点近似值时,第一次所取的区间是-2, 4,则第三次
39、所取的区间可能是(BCD)A. -2, 1B. -12, 1C. 1,52D. 52, 43. 用二分法求方程x3-2x-5=0在区间2, 3内的近似解,取区间中点x0=2.5,那么下一个有解区间是2, 2.25.4. 用二分法求函数f(x)=3x-x-4的一个零点,其参考数据如下:f(1.6000)=0.200f(1.5875)=0.133f(1.5750)=0.067f(1.5625)=0.003f(1.5562)=-0.029f(1.5500)=-0.060据此数据,可得方程3x-x-4=0的一个近似解(精确到0.01)为1.56.五、 课堂小结本课时学习了用二分法求方程的近似解,它体现
40、了函数的零点与方程的根之间的关系,让学生进一步理解了函数与方程的思想.|第4课时几个函数模型的比较|知识技能1. 通过对同底数幂的值的研究,理解“指数爆炸”的含义.2. 通过对幂函数、指数函数和对数函数图象的研究,理解当自变量足够大时,函数值的大小关系,同时理解“指数爆炸”“直线上升”“对数增长”等术语表示指数函数、一次函数、对数函数的增长方式.3. 能借助信息技术进行数值计算和作出函数图象,比较指数函数、对数函数及幂函数的增长差异.思想方法通过计算或者图象的比较,理解二次函数、幂函数、指数函数、对数函数增长方式的差异,感受数形结合思想.核心素养1. 在计算同底数幂的值的过程中,发展学生数学运算素养.
