1、7.2.2单位圆与三角函数线最新课程标准：(1)了解三角函数线的意义(重点)(2)会用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切(难点)知识点一单位圆(1)一般地把半径为1的圆叫做_(2)角的_和_分别等于角终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标知识点二三角函数线状元随笔三角函数线的方向是怎样确定的？提示三角函数线的方向，即规定的有向线段的方向：凡三角函数线与x轴或y轴同向的相应三角函数值为正值，反向的为负值基础自测1如图，在单位圆中角的正弦线、正切线完全正确的是()A正弦线PM，正切线ATB正弦线MP，正切线ATC正弦线MP，正切线ATD正弦线PM，正切线AT2角5和角65有相同的()A正弦线B余弦线
2、C正切线D不能确定3角56的终边与单位圆的交点的坐标是_题型一三角函数线的概念例1(1)设P点为角的终边与单位圆O的交点，且sinMP，cosOM，则下列命题成立的是()A总有MPOM1B总有MPOM1C存在角，使MPOM1D不存在角，使MPOM0(2)分别作出34和47的正弦线、余弦线和正切线【解析】(1)显然，当角的终边不在第一象限时，MPOM1，MPOM0都有可能成立；当角的终边落在x轴或y轴正半轴时，MPOM1，故选C.(2)解：在直角坐标系中作单位圆，如图甲，以Ox轴为始边作34角，角的终边与单位圆交于点P，作PMOx轴，垂足为M，由单位圆与Ox轴正方向的交点A作Ox轴的垂线，与OP
3、的反向延长线交于T点，则sin34MP，cos34OM，tan34AT，即34的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT.同理可作出47的正弦线、余弦线和正切线，如图乙sin (47)M1P1，cos (47)O1M1，tan (47)A1T1，即47的正弦线为M1P1，余弦线为O1M1，正切线为A1T1【答案】(1)C(2)见解析方法归纳(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线(2)作正切线时，应从A(1，0)点引单位圆的切线交角的终边于一点T，即可得到正切线AT，要特别注意，当角的终边在第二或第三象限时，应将角的终
4、边反向延长，再按上述作法来作正切线跟踪训练1下列四个命题中：一定时，单位圆中的正弦线一定；单位圆中，有相同正弦线的角相等；和有相同的正切线；具有相同正切线的两个角终边在同一条直线上不正确命题的个数是()A0B1C2D3题型二利用单位圆探讨三角函数的单调性例2在单位圆中画出适合下列条件的角终边的范围，并由此写出角的集合sin32；cos12.状元随笔作出满足sin 32，cos 12的角的终边，然后根据已知条件和三角函数的单调性确定角终边的范围方法归纳(1)通过解答本题，我们可以总结出用三角函数线来探讨三角函数不等式的步骤：作出取等号的角的终边；利用三角函数线的直观性，在单位圆中确定满足不等式的
5、角的范围；将图中的范围用不等式表示出来(2)求与三角函数有关的定义域时，先转化为三角不等式(组)，然后借助三角函数线解此不等式(组)即可得函数的定义域跟踪训练2若02，且sin12，利用三角函数线得到的取值范围是_状元随笔1.为什么在三角函数线上，点P的坐标为(cos ，sin )，点T的坐标为(1，tan ) 呢？提示由三角函数的定义可知sin yr，cos xr，而在单位圆中，r1，所以单位圆上的点都是(cos ，sin )；另外角的终边与直线x1的交点的横坐标都是1，所以根据tan yx，知纵坐标y tan ，所以点T的坐标为(1，tan )2如何利用三角函数线比较大小？提示利用三角函数
6、线比较三角函数值的大小时，一般分三步：(1)角的位置要“对号入座”；(2)比较三角函数线的长度；(3)确定有向线段的正负题型三三角函数线的综合应用例3已知0，2，试比较sin，tan的大小状元随笔本题可以利用正弦线，所对的弧长及正切线来表示sin ，tan ，并借助它们所在的扇形及三角形的面积大小来解决方法归纳(1)本题的实质是数形结合思想，即要求找到与所研究问题相应的几何解释，再由图形相关性质解决问题(2)三角函数线是单位圆中的有向线段，比较三角函数值大小时，一般把三角函数值转化为单位圆中的某些线段，进而用几何方法解决问题跟踪训练3利用三角函数线证明：|sin|cos|1.教材反思(1)应用
7、三角函数线比较大小的策略三角函数线是一个角的三角函数值的体现，从三角函数线的方向可以看出三角函数值的正负，其长度是三角函数值的绝对值比较两个三角函数值的大小，不仅要看其长度，还要看其方向(2)利用三角函数线解三角不等式的方法正弦、余弦型不等式的解法对于sinxb，cosxa(sinxb，cosxa)，求解关键是恰当地寻求点，只需作直线yb或xa与单位圆相交，连接原点与交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的范围正切型不等式的解法对于tanxc，取点(1，c)连接该点和原点并反向延长，即得角的终边所在的位置，结合图像可确定相应的范围7.2.2单位圆与三角函数线新知初探自主学习知识
8、点一(1)单位圆(2)余弦正弦知识点二MPOMAT基础自测1解析：由三角函数线的定义知C正确答案：C2解析：5与65的终边互为反向延长线，故它们有相同的正切线答案：C3解析：由于角56的终边与单位圆的交点横坐标是cos5632，纵坐标是sin5612，角56的终边与单位圆的交点的坐标是-32，12.答案：-32，12课堂探究素养提升跟踪训练1解析：由三角函数线的定义正确，不正确中有相同正弦线的角可能不等，如56与6；中当2时，与都没有正切线答案：C例2【解析】(1)作直线y32，交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(图(1)中阴影部分)即为角的终边的范围故满足条件的角的
9、集合为|2k32k23，kZ(2)作直线x12，交单位圆于C，D两点，连接OC与OD，则OC与OD围成的区域(图(2)中的阴影部分)即为角的终边的范围故满足条件的角的集合为|2k232k43，kZ跟踪训练2解析：利用单位圆作出正弦线、余弦线，所以的范围是03或532.答案：0，353，2例3【解析】如图所示，设角的终边与单位圆交于点P，单位圆交x轴正半轴于点A，作PMx轴，作ATx轴，交的终边于点T，由三角函数线定义，得sinMP，tanAT，又AP的长，SAOP12OAMP12sin，S扇形AOP12APOA12AP12，SAOT12OAAT12tan.又SAOPS扇形AOPSAOT，sintan.跟踪训练3证明：点P不在坐标轴上时，在OMP中，OP1，OM|cos|，MP|sin|，因为三角形两边之和大于第三边，所以|sin|cos|1.当点P在坐标轴上时，|sin|cos|1.综上可知，|sin|cos|1.
