1、关于基本内射模的注记第 30 卷第 4 期浙江师范大学(自然科学版)Vo1.30.No.42007 年 11 月 JournalofZhejiangNormalUniversity(Nat.Sci.)Nov.2007文章编号:1001-5051(2007)04-0406-04关于基本内射模的注记徐玲娟,张东东(浙江师范大学数理与信息工程学院,浙江金华 321004)摘要:基本内射性是 ojeetivity 的推广.首先讨论了基本内射模和基本 ojeetive 模的一致性,并证明了两者是一致的;给出了基本内射模的定义,并用类似于内射模的研究方法得到了基本内射模的 Baer 准则等性质.关键词:基
2、本内射模;ojeetive 模;基本 ojeetive 模;余补子模 ;闭子模中图分类号:0153.3 文献标识码:AAnoteonessentiallyinjectivemodulesXULingjuan,ZHANGDongdong(CollegeofMathematics,PandInformationEngineering,ZhefiangNormalUniversity,JinhuaZhejiang321004,China)Abstract:Essentiallyinjectivityisageneralizationofojectivity.Theconceptofessential
3、lyinjectivemodulewaspresented.Itwasprovedthatessentiallyinjectivemodulesandessentiallyojectivemoduleswereconsist-ent.Similarlytotheinjectivemodule,somepropertiesofessentiallyinjectivemodules,suchasBaerCriterionwereestablished.Keywords:essentiallyinjectivemodules;ojectivemodules;closed0 引言内射模为模论及同调代数
4、的三大模类之一.基本内射模,ojective 模和基本 ojective 模都是内射模的推广.Mohamed 和 Santa.Clara 等人分别利用它们的性质研究了 2 个 Cs 一模的直和问题.这个问题一直被广泛关注及研究.文献1证明了:设 M:M.M2,则满足(C.)条件且为,-ojective(i)当且仅当对于的任意闭子模 X,有 M=XM ,其中 MMi.笔者将用条件“为基本- 内射,.为 M-ojective“替代上述命题条件“为 ojective“,同时证明了该命题成立,从而推广了文献1中的相应结论.另外,根据内射模的研究方法,研究了基本内射模的Baer 准则,直积等一些性质 .
5、1 预备知识文中 R 是指有单位元的结合环,模是指右的幺尺一模.设是右尺.模,表示是的子模;M 表示是的基本子模;N 国 M 表示是的直和项;E()表示模的内射包.称为的一个闭子模,如果在中没有真的基本扩张;称为的一个余补子模,如果存在, 且是中关于nY=0 的极大子模.由 Zorn 引理知 ,VKM,其闭子模和余补子模都是存在的.设:X 一,为尺.模同态,记收文日期:2007-04-24;修订日期:2007-05.29作者简介:徐玲娟(1982 一),女,浙江 l 晦海人,硕士研究生.研究方向: 代数学第 4 期徐玲娟,等:关于基本内射模的注记=一 ():X. 显然,为l,的子模.若 M=X
6、Y,则 M=y.设 A,B 为任意的右 R 一模 ,称 B 为 Aojective模,如果对于 A 的任意子模,任意的模同态:B 有直和分解 A:A.A:,B=B B:,则存在模同态.:A 一 B 和单同态:B:一 A,使得对于=nl+n2,()=bl+b2,有bl=l(n1),n2=2(b2).称满足(C.) 条件,如果对 VAM,jNC_M,使得 A; 等价地 ,的任一闭子模为的直和项 J.此时,也称为 cS 一模(或Extending 模 ).如果满足(C)条件,那么的任一直和项也满足(C)条件 J.文献4,5已经对基本内射模做了一定的研究.设和为右 R 一模,称为基本内射,如果对于的任
7、意子模及任意的模同态.厂:满足 Ker.厂X,则存在模同态 :一 M 使得x=i.文献6给出了基本 ojective 模的定义,而基本 ojective 模是 ojective 模的推广 .设,为任意的右 R 一模,M=M. M2.称为基本 M 一 0jective,如果对于在中的任意余补子模 c,若满足 CAMM, 则 M 可分解为 M=cM,其中 MlI,M2M2.2 主要结果引理 1 设 M=AB, 则以下陈述等价:(1)B 为基本 Aojective;(2)对于 B 在中的任意余补 c,若满足CnAA,则 M=C(B.证明(2)(1)显然.(1)(2)设 B 为基本 Aojective
8、,则对于 B的任意余补 c,满足 cnAA.由(1)知,M=cAOB, 其中 AA,BB.由模律得A=An(CAB)=A(An(C B).由于 cnAA, 显然有 A(cnA)A,从而A0,因此 M=cOB.又因为 c 为 B 的余补,所以 CnB=0.于是M=CBCB ,从而 M=CB.引理 1 证毕.引理 2 设 M,为右 R 一模,M:MlM2.则以下陈述等价:(1)M2 为基本一内射;(2)对于的任意余补,若满足n1Ml, 则 M=NM2.证明(1)(2)设为:的余补且满足n1l,定义 X=Mln(M2),设7r:一为自然投射且 Ker7r=N,令=7rly:,则Ker:XnN=M1n
9、(M2)nN:MlnNM1.由(1)知,存在模同态 f:M 一:使得 l=.显然 M=M2.下面证明= .对 VnN,有nml+m2.其中,m】gl,m2M2.从而ml=nm2 Mln(M2)=X,故(m】)=(n m2)=一 m2,因而n=m】 +m2=mJ 一(m1) f,即f.由的极大性知,N=.因此 M=NM2.(2)(1)设一,V.且满足Kerf设 D 为在中的余补 ,则 XOD.定义 g:D,g(+d)=), 其中 ,X,dD.易知 gl=且 KerDKerg.显然gnM2=0.设为包含g的的余补,下面要证明nl1.由于gN,实际上只需证明,)(寸 V0n MJ,jrR 使得 0a
10、rg.因为D.,所以对 V0nM.,jrIR,使得 0nrjX D.记 0=+d,其中X.dD.如果=0, 由于 Ker 朐 DKerg,则0a/“l=d=dg(d)g.女果0,贝 00=a/“一 d由于KerfX,则存在 rR,使得0r2=a/“iF2 一 dr,Kerf如果 a/“lr2=0,则 0xr2=一 dr2XND.矛盾.于是 al“iF20,从而0al“1r2=r2+dr2Kerf D.又因为 KerDKerg,所以0a/“lr2:a/“1r2 一.g(a/“lr2)g.由以上分析知,存在 rR 使得 0a/“g,从而n11.408 浙江师范大学(自然科学版)2007 年由(2)
11、知,M=NM.设 7r:一为自然投射,其中 Ker7r=N,令=7rl.接下来证明 l=gl=对 V,有=n+,n2,其中 n N,n2M2.记 g()=,n2M2,贝 4一g()=n+,n2 一 mN,故 0=7r(g()=7r(n+m2 一 m2)m2 一 gn2=m2gn2?因此()=m2=m2=g().从而 l=gl=引理 2 证毕.由引理 1 和引理 2 可得到下面的定理.定理 1 设 M=M.M,则 M 为基本.一ojective 当且仅当为基本 .一内射 .因此,基本 M?ojective 和基本 ?内射是一致的.定理 2 设 M=MM,则 M(i=1,2)满足(C)条件 ,且为
12、基本一内射,.为 M 一 ojective 当且仅当对于的任意闭子模,有 M=,其中 M,i=1,2.证明充分性参见文献1中的定理 10.必要性设为的闭子模,.为 n.在中的闭包,则.为的闭子模且.nM=0.记 K=(M)nM.,则M=KM.设A.为 K 在.中的闭包,由.满足(C.)条件知,A11.记 Ml=AlA2,令 N=Alg2,故 l为,v 的闭子模,即1M2=KM2A.M2=N.由文献1中引理 1 知,.为在,v 中的余补.下证.nA.A1.由于 n.,则(nM.) 2.2,从而 nM.=(nM.)2)n1(1 M2)nMt=KA1.又有 n1.nAl,则 1nAlA.因为 2为基
13、本一内射,根据文献6中引理 1,M 也为基本 A 一内射.由引理 2 知 N=.M=A. M,从而 M=A A:M.= M:A.则= ,其中 X2=n(MA).因为为的闭子模(事实上为直和项), 为的闭子模,则由文献1中引理 3 知,为的闭子模.故易知为A!的闭子模.同时,由于2nA2=2nCIA2nr-lMl2n1=0以及.为 M2 一 ojective,由文献1之命题 8 知,A2为 M2 一 ojective.因为满足(C)条件,由文献1知A= M,其中1A2l,22.从而 M=lMA!: MM=M.M.其中,Ml 1,M22.定理 2 即证.定理 2 推广了文献1中的相应结论.定义 1
14、 如果对于任意的右尺一模 A,右尺一模为基本 A 一内射,那么称为基本内射.类似于内射模的等价定义,基本内射模也有相应的 Baer 准则.定理 3B 为基本内射当且仅当 B 为基本尺一内射.证明必要性显然.充分性设 A 为任意右尺模;A:满足 Kerfs;C 为在 A 中的余补.则nC=0 且 KerfC CA,从而 KerC A.令 g:XC,g(+c)=),V ,cC, 贝 4gl=f,且 Kerg=KerfC A.令 F=h:一 lcA 且 hlc=g.因为 gF,所以 F0.构造 F 中的偏序h1:l-,Bh2:212 且 h2lHi=h1.易证,(F,) 是可归纳的.由 Zorn 引
15、理知,F 存在极大元,不妨设为 h:日一.下证=A.若 A,则存在 0bA 一日.令 L=rRlbr,l,显然为尺的一个右理想.作:L,(r)=h(br), 易证定义良好 .先证明 KerL.对 V0r L,如果 br=0,贝 0(r)=h(br)=0,且 0rKer.如果 06r ,由于 Kerg A,则存在 rl尺使得 0brrl Kerg ,从而 rrl0 且0=g(brr1)=h(brr1)=(rr1).故 rrlKer, 因此 ,KerL.由假设可得,存在尺一模同态,c:尺一使得,(r)=h(br),VrL.令 c=,(1 月).定义映射 h:+一,+6rh(a)+Cr,则 h 定义
16、是良好的.事实上,设1+br1=2+br2日+6 尺,贝 0l 一2=b(r2 一 r1)日 nbR.从而一 r.且h(1)一 h(2)=h(1 一2)=h(b(r2 一 r1)=,(r2 一 r1)=,(1 月)?(r2 一 r1)=C(r2 一 r1).第 4 期徐玲娟,等:关于基本内射模的注记因而 h(nl+br1)=h(n1)+crl=h(n,)+cr,=h(n,+br,),所以定义良好.易知:日+一 B 为尺一模同态,并且是 F 中的一个元素.这与 h 的极大性矛盾.因为 b 薹 H 且日 c 日+,故 H=A 且 h()=g(x)=),VX.因此,B 为基本内射 .证毕.对于基本内
17、射模与直积的关系,有以下定理.定理 4 设=丌 M.则 M 为基本内射当了且仅当(i,)为基本内射 .证明充分性设(i,) 为基本内射 ,由定理 3 知,只需证明为基本尺一内射.对 VXR,令为模同态且满足KerfX,VX R.设 7r:为自然投射,则 7rHornR(,M).易证 KerfC_Ker7r 由 Ker 厂X,有 Ker7r;又由的基本内射性知,存在模同态 g:尺一,使得 gl=7r 于是可定义 fHom(尺,),使厂(r)=(g(r)M,VrR. 此时厂()=(g()=(7r()=),VX.故厂 l=厂,即为基本内射的.必要性假设为基本内射.若 VXR,模同态 or:满足 Ke
18、rorX,i由于=nM(兀M),Vi,则存在自然投射 7r:和嵌入映射:,易知 KerorKertior,则 KerbiorX.由的基本内射性知,必有 gHorn(尺,),使得 gl=bior.于是令 or=7rg,则 orHomR(R,M)且orl7rglx7ror=1M.oror,Vi定理 4 证毕.由此可知,基本内射模类对直积与取直和项都是封闭的.定理 5为基本一内射当且仅当 IN,对任意的Hom(E(A),E(N)满足 KerE(A).证明充分性设,:一且 Ker.令 B 为在中的余补子模,则B 且 KerB XBX.令B 一,其中+b)=(),VX,bB,贝 0Kerf=KerBA 且 fl=.由于 E()为内射模,则存在厂:E(A)一 E()为厂的扩充.由于 KerfA,易证 KerfE(A).由条件知,厂(A).因此厂 l:一为厂的扩充 ,且对