1、1、 （ 2011湖州）如图，已知 AB 是 O 的直径，弦 CDAB，垂足为 E， AOC=60，OC=2 （1 ）求 OE 和 CD 的长；（2 ）求图中阴影部队的面积考点：扇形面积的计算；垂径定理。分析：（1）在OCE 中，利用三角函数即可求得 CE，OE 的长，再根据垂径定理即可求得CD 的长；（2 ）根据半圆的面积减去ABC 的面积，即可求解解答：解：（1）在OCE 中，CEO=90， EOC=60，OC=2，OE=OC=1，CE=OC=，OACD，CE=DE，CD=；（2 ） SABC=ABEC=4=2，点评：本题主要考查了垂径定理以及三角函数，一些不规则的图形的面积可以转化为规则
2、图形的面积的和或差求解2、 （ 2011衡阳）如图， ABC 内接于 O，CA=CB ，CDAB 且与 OA 的延长线交于点 D（1 ）判断 CD 与 O 的位置关系并说明理由；（2 ）若 ACB=120，OA=2 求 CD 的长考点：切线的判定与性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理。专题：综合题。分析：（1）连接 OC，证明 OCDC，利用经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线判定切线即可；（2 ）利用等弧所对的圆心角相等和题目中的已知角得到D=30，利用解直角三角形求得CD 的长即可解答：解：（1）CD 与 O 相切；证明：连接 OC，CA=CB，=OCAB，CDAB，OCCD，OC
3、是半径，CD 与O 相切（2 ） CA=CB，ACB=120 ，DOC=60D=30，OA=2，OC=2CD=2点评：本题考查常见的几何题型，包括切线的判定，角的大小及线段长度的求法，要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题3、 （ 2011杭州）在平面上，七个边长为 1 的等边三角形，分别用 至表示（如图）从组成的图形中，取出一个三角形，使剩下的图形经过一次平移，与组成的图形拼成一个正六边形（1 ）你取出的是哪个三角形？写出平移的方向和平移的距离；（2 ）将取出的三角形任意放置在拼成的正六边形所在平面，问：正六边形没有被三角形盖住的面积能否等于？请说明理由考点：正多边形和圆
4、；等边三角形的性质；平移的性质。专题：计算题。分析：（1）取出，观察图象，根据图象进行平移即可；（2 ）可以做到先求出每个等边三角形的面积，得到正六边形的面积为，根据 覆盖住正六边形即可解答：解：（1）取出，向上平移 2 个单位；答：取出的是三角形，平移的方向向上平移，平移的距离是 2 个单位（2 ）解：可以做到理由是：每个等边三角形的面积是，正六边形的面积为，而，只需用的面积覆盖住正六边形就能做到点评：本题主要考查对正多边形与圆，等边三角形的性质，平移的性质等知识点的理解和掌握，能根据题意进行计算是解此题的关键4、 （ 2011杭州）在 ABC 中， AB=，AC=，BC=1（1 ）求证：A
5、30 ；（2 ）将ABC 绕 BC 所在直线旋转一周，求所得几何体的表面积考点：圆锥的计算；勾股定理；解直角三角形。专题：计算题；证明题。分析：（1）根据勾股定理的逆定理得到 ABC 是直角三角形，且C=Rt，利用三角函数计算出 sinA，然后与 sin30进行比较即可判断A30；（2 ）将ABC 绕 BC 所在直线旋转一周，所得的几何体为圆锥，圆锥的底面圆的半径为AC，母线长为 AB，所得几何体的表面积分为底面积和侧面积，分别根据圆的面积公式和扇形的面积公式进行计算即可解答：解：（1） BC2+AC2=1+2=3=AB2，ABC 是直角三角形，且C=Rt，A30（2 ）将ABC 绕 BC 所
6、在直线旋转一周，所得的几何体为圆锥，圆锥的底面圆的半径=，圆锥的底面圆的周长=2=2；母线长为，几何体的表面积 +（） 2=+2点评：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，它的弧长为圆锥的底面圆的周长，扇形的半径为母线长，圆锥的侧面积=扇形的面积=lR（l 为弧长，R 为扇形的半径） ；也考查了勾股定理的逆定理以及特殊角的三角函数值5、 （ 2011贵阳）在 ABCD 中， AB=10， ABC=60，以 AB 为直径作O，边 CD 切O 于点E（1 ）圆心 O 到 CD 的距离是 5 （2 ）求由弧 AE、线段 AD、 DE 所围成的阴影部分的面积 （结果保留 和根号）考点：切线的性
7、质；平行四边形的性质；扇形面积的计算。分析：（1）连接 OE，则 OE 的长就是所求的量；（2 ）阴影部分的面积等于梯形 OADE 的面积与扇形 OAE 的面积的差解答：解（1）连接 OE边 CD 切O 于点 EOECD则 OE 就是圆心 O 到 CD 的距离，则圆心 O 到 CD 的距离是AB=5故答案是：5；（2 ） 四边形 ABCD 是平行四边C=DAB=180ABC=120，BOE=3609060120=90，AOE=90，作 EFCB，OFE=ABC=60，OF=EC=BF=5则 DE=105+=5+，则直角梯形 OADE 的面积是：（ OA+DE）OE=（5+5+ ）5=25+扇形
8、 OAE 的面积是：=则阴影部分的面积是：25+点评：本题主要考查了扇形的面积的计算，正确作出辅助线，把阴影部分的面积转化为梯形 OADE 的面积与扇形 OAE 的面积的差是解题的关键6、 （ 2011抚顺）如图， AB 为 O 的直径，弦 CD 垂直平分 OB 于点 E，点 F 在 AB 延长线上，AFC=30（1 ）求证：CF 为O 的切线（2 ）若半径 ONAD 于点 M，CE=，求图中阴影部分的面积考点：切线的判定；扇形面积的计算。专题：计算题。分析：（1）由 CD 垂直平分 OB，得到 E 为 OB 的中点，且 CD 与 OB 垂直，又 OB=OC，可得 OE 等于 OC 的一半，在
9、直角三角形 OEC 中，根据锐角三角函数的定义，得到 sinECO 的值为，可得ECO 为 30，进而得到EOC 为 60，又CFO 为 30，可得 OCE 为直角，由OC 为圆 O 的半径，可得 CF 为圆的切线；（2 ）由（1 ）得出的COF=60，根据对称性可得 EOD 为 60，进而得到DOA=120，由OA=OD，且 OM 与 AD 垂直，根据“三线合一” 得到DOM 为 60，在直角三角形 OCE 中，由CE 的长及 ECO=30，可求出半径 OC 的长，又在直角三角形 OMD 中，由 MDO=30，半径OD=2，可求出 MD 及 OM 的长，然后利用扇形 ODN 的面积减去三角形
10、 ODM 的面积即可求出阴影部分的面积解答：解：（1） CD 垂直平分 OB，OE=OB， CEO=90，OB=OC，OE=OC，在 RtCOE 中，sinECO= ，ECO=30，EOC=60，CFO=30，OCE=90，又 OC 是 O 的半径，CF 是O 的切线；（2 ）由（1 ）可得COF=60，由圆的轴对称性可得EOD=60 ，DOA=120 ，OMAD，OA=OD，DOM=60 在 RtCOE 中，CE= ，ECO=30，cos ECO=，OC=2，在 RtODM 中，OD=2，ADO=30，OM=ODsin30=1，MD=ODcos30=，S 扇形 OND=，SOMD=OMDM=
11、，S 阴影 =S 扇形 ONDSOMD=点评：此题考查了切线的判定，直角三角形的性质，锐角三角形函数定义，等腰三角形的性质，以及直角三角形和扇形面积的公式，切线的判定方法为：有点连接证垂直；无点作垂线，证明垂线段长等于半径对于不规则图形的面积的求法，可利用转化的思想，把不规则图形的面积化为规则图形来求，例如本题就是用扇形的面积减去直角三角形的面积得到阴影部分面积的7、 （ 2011北京）如图，在 ABC，AB=AC ，以 AB 为直径的 O 分别交 AC、BC 于点 D、E ，点 F 在 AC 的延长线上，且CBF= CAB（1 ）求证：直线 BF 是O 的切线；（2 ）若 AB=5，sin
12、CBF=，求 BC 和 BF 的长考点：切线的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形。专题：证明题；综合题。分析：（1）连接 AE，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直角，从而证明ABE=90（2 ）利用已知条件证得 AGCBFA，利用比例式求得线段的长即可解答：（1）证明：连接 AE，AB 是O 的直径，AEB=90，1+2=90AB=AC，1=CABCBF=CAB，1=CBFCBF+2=90即ABF=90AB 是O 的直径，直线 BF 是O 的切线（2 ）解：过点 C 作 CGAB 于点 GsinCBF=，1= CB
13、F，sin1=AEB=90，AB=5，BE=ABsin1=，AB=AC，AEB=90，BC=2BE=2，在 RtABE 中，由勾股定理得 AE=2，sin2=，cos2= ，在 RtCBG 中，可求得 GC=4，GB=2，AG=3，GCBF，AGCABF，BF=点评：本题考查常见的几何题型，包括切线的判定，角的大小及线段长度的求法，要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题8、 （ 2010义乌市）如图，以线段 AB 为直径的 O 交线段 AC 于点 E，点 M 是的中点，OM交 AC 于点 D， BOE=60，cosC=，BC=2 （1 ）求 A 的度数；（2 ）求证：BC
14、是O 的切线；（3 ）求 MD 的长度考点：圆周角定理；切线的判定与性质；弧长的计算；特殊角的三角函数值。专题：计算题；证明题。分析：（1）根据三角函数的知识即可得出 A 的度数（2 ）要证 BC 是O 的切线，只要证明 ABBC 即可（3 ）根据切线的性质，运用三角函数的知识求出 MD 的长度解答：解：（1）BOE=60， A=BOE=30 （2 分）（2 ）在ABC 中，cosC=，C=60 （1 分）又A=30， ABC=90， ABBC （2 分）BC 是O 的切线 （3 分）（3 ） 点 M 是的中点，OM AE （1 分）在 RtABC 中， BC=2，AB=BCtan60=2=6
15、 （2 分）OA=3，OD=OA= ，MD= （3 分）点评：本题综合考查了三角函数的知识、切线的判定要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径） ，再证垂直即可9、 （ 2010沈阳）如图， AB 是 O 的直径，点 C 在 BA 的延长线上，直线 CD 与O 相切与点 D，弦 DFAB 于点 E，线段 CD=10，连接 BD（1 ）求证：CDE=2 B；（2 ）若 BD：AB=：2，求O 的半径及 DF 的长考点：切线的性质；垂径定理；解直角三角形。专题：计算题；证明题。分析：（1）连接 OD，根据弦切角定理得 CDE=EOD，再由同弧所对的圆心角是圆周角的2 倍，可
16、得 CDE=2B；（2 ）连接 AD，根据三角函数，求得 B=30，则 EOD=60，推得C=30，根据C 的正切值，求出圆的半径，再在 RtCDE 中，利用C 的正弦值，求得 DE，从而得出 DF 的长解答：（1）证明：连接 OD直线 CD 与O 相切与点 D，ODCD，CDO=90，CDE+ ODE=90 （2 分）又 DFAB， DEO=DEC=90EOD+ODE=90，CDE=EOD （3 分）又EOD=2B，CDE=2B （4 分）（2 ）解：连接 ADAB 是O 的直径，ADB=90 （5 分）BD：AB=，B=30 （6 分）AOD=2B=60又CDO=90，C=30 （7 分）
17、在 RtCDO 中， CD=10，OD=10tan30=，即 O 的半径为 （8 分）在 RtCDE 中，CD=10，C=30，DE=CDsin30=5 （9 分）DFAB 于点 E，DE=EF=DFDF=2DE=10 （10 分）点评：本题考查的是切割线定理，切线的性质定理，勾股定理10、 （ 2010绍兴）如图，已知ABC 内接于O，AC 是O 的直径，D 是的中点，过点 D作直线 BC 的垂线，分别交 CB、CA 的延长线 E、F （1 ）求证：EF 是O 的切线；（2 ）若 EF=8，EC=6，求 O 的半径考点：切线的判定；勾股定理；相似三角形的判定与性质。专题：综合题。分析：（1）
18、要证 EF 是O 的切线，只要连接 OD，再证 ODEF 即可（2 ）先根据勾股定理求出 CF 的长，再根据相似三角形的判定和性质求出O 的的半径解答：解：（1）连接 OD 交于 AB 于点 GD 是的中点， OD 为半径，AG=BG （2 分）AO=OC，OG 是ABC 的中位线OGBC，即 ODCE （2 分）又 CEEF，ODEF，EF 是O 的切线 （1 分）（2 ）解：在 RtCEF 中，CE=6，EF=8，CF=10 （1 分）设半径 OC=OD=r，则 OF=10r，ODCE，FODFCE， （ 2 分）=，r=，即： O 的的半径为 （2 分）点评：本题考查了切线的判定要证某线
19、是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径） ，再证垂直即可同时考查了相似三角形的判定和性质11、 （ 2010丽水）如图，直线 l 与O 相交于 A，B 两点，且与半径 OC 垂直，垂足为 H，已知 AB=16cm， （1 ）求O 的半径；（2 ）如果要将直线 l 向下平移到与O 相切的位置，平移的距离应是多少？请说明理由考点：垂径定理；切线的性质；解直角三角形。分析：（1）RtOHB 中，由垂径定理易得 BH 的长，可利用OBH 的余弦函数求出半径 OB的长；（2 ）由切线的性质知，若直线 l 与O 相切，那么直线 l 必过 C 点，故所求的平移距离应该是线段 CH 的长RtOHB 中，根据勾股定理，可求出 OH 的长CH=OC OH解答：解：（1） 直线 l 与半径 OC 垂直，HB=AB=8（cm） （2 分）cosOBH=，OB=HB=8=10（cm） ；（2 分）（2 ）在 RtOBH 中，OH=6（cm） （2 分）CH=106=4（cm） 所以将直线 l 向下平移到与 O 相切的位置时，平移的距离是 4cm （2 分）点评：此题综合考查了垂径定理、切线的性质及解直角三角形的应用
