1、 上海交通大学博士学位论文二阶奇异椭圆型方程和A-调和方程的若干问题姓名：李娟申请学位级别：博士专业：应用数学指导教师：方爱农20060301中文摘要二阶椭圆型方程是一类重要的偏微分方程，它们描述了许多重要的物理、几何现象同时，二阶椭圆型方程在微分几何、拟正则映射、弹性力学、控制论等方面有广泛应用这使得研究二阶椭圆型方程的基础理论显得日益重要本文旨在对某些二阶奇异椭圆型方程和调和方程弱解的相关性质进行研究一个具有正能量的非平凡径向解上海交通大学博士学位论文局部极小解和无穷多具有负能量的非平凡解的存在性这里洽鬽等有正能量的非平凡解的存在性中文摘要 琫 瑃 ， 琀， 狧 疭 ， ， ，一一 ，疭舞
2、，舞，舞硎竞 齯的梯度； 銎。妆硎緐的梯度模；曙硎綫上的具有紧支集的光滑函数全体；酽硎径逶趎上所有满足上海交通大学博士学位论文正数；附件四方程弱解的相关性质具有重要的理论和现实意义而关于它们弱解的存在性的研究已年，和用没有条件的山路引理讨论了有界域上带一和第二集中紧性原理】，并用此理论研究了无界域上次临界增长的半线性椭圆方理成为人们研究占界增长或无界域上的椭圆问题的有力工具近几十年来，用变分方【，含皇朴职琒位势的方程 ，特征僮，萨妣删，与等器 年，文堪盐腫】中的结果推广到方程眖的情况下而在年，文【】中研究了下列方程一个非平凡解的存在性上海交通大学博士学位论文一一瑉躿珹至少存在两个解年，陈建清【
3、】进。与此同时，非齐次问题也得到了研究例如，列非齐次问题其中荁，中有界区域，性年，康东升等人【】研究了下列方程两个非平凡解的存在性但是，对于包含皇频姆瞧氪蝡椭广是调和方程南譡的引言茏匀坏南氲侥芊癜亚懊婀赜谄嬉霯和匠谭瞧椒步獾拇嬖谛越峁乒愕狡嬉霢调和方程中调和方程是从程的基础部分做起，对调和方程弱解的几个积分不等式进行研究型方程；一，同时，调和方程理论的发展与拟正则和拟共形映射理论的发展有着密切联系在一定条件下，拟正则映射所满足的方程可以转化成调和方程例如，年，目借助于非线性偏微分方程理论和调和分析的现代理论，对任意维数的拟正则映射得到了其解所满足的微分形式的调和方程及其解的正则性，即设，广撬唬
4、骸蓿琑”械娜鮇庹蛴成洌瑂，猣 的解，其中簄日辎鑝，；，这里线性映射：一獯作用在幌蛄可系扔贕珿，“当保颐侵H跄庹蛴成鋐，琍拿恳桓龇至縰满足其中苈，是容许权且在鄙霞负醮笥小于；和弱逆不等式，即坏仁剑矗鑥 ，蔒，騯一“岣其中荌写泄饣呓绲挠薪缜颍 ，部极小解的存在性结果第一章，方程陧中存在无穷多具有负能量的非平凡解吧綹注韟海，在第五章中，我们考虑了如下微分形式的调和方程琩，躱”，軮卵，盯牧教錛，有口以及所有满足其中常数鲇雗，琻，珹，琍有关咝浮推蠹仑诙怼浚募偕杼跫拢鬾是有界区域且具有有限开覆盖笔怯薪缬颍虼嬖谟雞无关的和 ，下列不等式成立其中颍琎且中的中心立方体上海交通大学博士学位论文瓵，琩最后，我们列举
5、了调和方程弱解的具体例子并利用调和方程与拟正则映射的关系，把上面的结果应用到了拟正则映射中我们的结果如下：不等式和不等式是中的恍问剑渲衞；，是任意常数通过简单地计算，知当第一章上海交通大学博士学位论文在本文的第二章中，我们在峡悸橇似嬉焱衷卜匠具有正能量的非平凡俏藿缬蚴保琒嵌入一口籹谝籹籥籏一曲摹8鼍植考獾拇嬖谛裕庥胛腫】得到相应结果时用到的方法是不完全的存在性本章的结果是文恐胁糠纸峁耐乒悖捎赟项的存在第四章中，我们讨论了包含嬉煜畹姆瞧氪蝡方程多重解的存在性后，得到了相应泛函满足局部条件的结果在本文的情况下，难以证明满足一定条件下相应方程在瑞中至少存在一个具有正能量的非平凡解从而通解存在性结果若保侍是否也存在弱解或存在什么形式的弱解也还有在第五章中，当保颐侵髁藆噐的整体加权不等式对一步研究的积分也是值得探讨的问题满足一定条件下证明了方程至少存在一个非平凡径向解其中，躶，躳西，蚾阋灾械奶跫今后，我们称
