1、1东南大学数学实验报告学号 09007303 姓名 蒋珊珊 成绩 实验内容：计算矩阵特征值、特征向量；AHP 方法的建模与实现一 实验目的AHP 方法的建模与求解二 预备知识(1)熟悉随机一致性指标的含义及计算方法(2)熟悉 eig、rand 等 Matlab 命令(3)了解求矩阵最大特征值及对应特征向量的和法三 实验内容与要求（1） 用用 MATLAB 或或 C+编制程序，编制程序， （要求采用和法计算最大特征（要求采用和法计算最大特征值）值） ，分别计算，分别计算 n=230 时的时的 n 阶矩阵的随机一致性指标阶矩阵的随机一致性指标 RI；分析：对于一个用户输入的一个分析：对于一个用户输
2、入的一个 n，随机构造正互反矩阵，随机构造正互反矩阵 A，采用和法计算最大特征值，采用和法计算最大特征值， 将结果保存在将结果保存在 Ri中，取中，取 1000 个子样，得到个子样，得到 A 最大特征值的平均值最大特征值的平均值 k，再由公式计算，再由公式计算RI。命令 结果n=input(输入：);A=zeros(n);R=zeros(n,1);num=1 2 3 4 5 6 7 8 9 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8 1/9;for p=1:1000for i=1:nfor j=i:nif i=jA(i,j)=1;elseA(i,j)=num(ceil(17*ran
3、d(1);输入：2RI =0输入：3RI =0.5697输入：4RI =0.9193输入：5RI =1.15702A(j,i)=1/A(i,j);endendend%和法计算最大特征值和法计算最大特征值U=A./(sum(A).*ones(1,n).);V=(sum(U.).;W=V/sum(V);R(p)=1/n*sum(A*W)./W);endk=sum(R)/1000;RI=(k-n)/(n-1)输入：6RI =1.2573输入：7RI =1.3771输入：8RI =1.4300输入：9RI =1.4795输入：10RI =1.4971输入：11RI =1.5423输入：12RI =1.
4、5622输入：13RI =1.5669输入：14RI =1.5867输入：15RI =1.5981输入：16RI =1.6077输入：17RI =1.6225输入：18RI =1.6239输入：19RI =1.6302输入：20RI =31.6365输入：21RI =1.6412输入：22RI =1.6441输入：23RI =1.6542输入：24RI =1.6556输入：25RI =1.6365输入：26RI =1.6572输入：27RI =1.6745输入：28RI =1.6365输入：29RI =1.6733输入：30RI =1.6739（2） 建立一个建立一个 AHP 模型模型，并将结
5、果填入下表用层次分析法（AHP）建模来解决以下的问题：一位大四学生正从 3 家招聘单位中挑选合适的工作单位，这三家单位分别是：Y1、Y2、Y3，而他考虑的主要因素是发展前景，经济收入、单位信誉、地理位置等。用层次分析法建模给他提出决策建议。4首先，建立层次结构模型，如下图所示挑选工作单位发展前景地理位置单位信誉经济收入Y1 Y2 Y3目标 A准则层 C方案层 Y接下来写出各层的判断矩阵，如下表中所示。AHP 模型 模型解释A-C 层判断矩阵为：A=1 1/2 4 3; 2 1 7 5; 1/4 1/7 1 1;1/3 1/5 1 1C-Y 层的判断矩阵C1=1 4 2;1/4 1 1/2;1/
6、2 2 1 C2=1 1/3 1/5;3 1 1/3;5 3 1 C3=1 2 4; 1/2 1 2;1/4 1/2 1 C4=1 4 1/2;1/4 1 1/8;2 8 1(1) a12=1/2 表示发展前景 x1 与经济收入 x2 对选择工作单位这个目标的重要性之比为 1:2。即认为经济收入比发展前景略微更重要。其他的项的意义类似。(2)以 C1 为例，三个单位的发展前景不一样，从判断矩阵中可以看出，Y2 单位的发展前景是最好的，Y1 最差。C2 表示三个单位经济收入的比较，C3 表示三个单位单位信誉的比较，C4 表示三个单位地理位置的比较有了各层的判断矩阵之后，可以用下面的 MATLAB
7、 程序来计算最大特征值 r 和它对应得特征向量 W，以及 CI、RI 和 CR。Matlab 命令 结果n=input(输入判断矩阵的规模 n：);A=input(输入判断矩阵( 请按列输入以免错误 )：,s);A=Str2num(A);A=reshape(A,n,n);%和法求解最大特征值和近似特征向量U=A./(sum(A).*ones(1,n).);V=(sum(U.).;（先输入判断矩阵 A）输入判断矩阵的规模 n：4输入判断矩阵：1 1/2 4 3;2 1 7 5;1/4 1/7 1 1; 1/3 1/5 1 1W =0.28950.53486W=V/sum(V);r=1/n*sum
8、(A*W)./W)CI=(r-n)/(n-1)ri=0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51;RI=ri(n)CR=CI/RI0.08110.0946r =4.0155CI =0.0052RI =0.9000CR =0.0057（因此 CR0.1，A 的不一致性程度在容许范围内,此时可用 A 的主特征向量作为权向量，接下来再对 C1,C2,C3,C4 进行计算，结果分别如下）输入判断矩阵的规模 n：3输入判断矩阵：1 4 2;1/4 1 1/2;1/2 2 1W =0.57140.14290.2857r =3CI =0RI =0.5800
9、CR =0输入判断矩阵的规模 n：3输入判断矩阵：1 1/3 1/5;3 1 1/3;5 3 1W =0.10620.26050.6333r =3.0387CI =0.0194RI =0.5800CR =0.0334输入判断矩阵的规模 n：31由上表的结果列出层次总排序权值表如下层次 A C1 C2 C3 C4 层次 Y 的总排序权值层次 Y 0.2895 0.5348 0.0811 0.0946Y1 0.5714 0.1062 0.5714 0.3077 0.2976Y2 0.1429 0.2605 0.2857 0.0769 0.2101Y3 0.2857 0.6333 0.1429 0.
10、6154 0.4912总排序一致性检验CI=0.2895*0+0.5348*0.0194+0.0811*0+0.0946*0=0.0104RI=0.2895*0.9000+0.5348*0.5800+0.0811*0.5800+0.0946*0.5800=0.6726从而 CR=CI/RI=0.015由此可得 CR0.1优先顺序为：Y3 优于 Y1 优于 Y2，故该同学最好去 Y3 单位。输入判断矩阵：1 2 4; 1/2 1 2;1/4 1/2 1W =0.57140.28570.1429r =3CI =0RI =0.5800CR =0输入判断矩阵的规模 n：3输入判断矩阵：1 4 1/2;1/4 1 1/8;2 8 1W =0.30770.07690.6154r =3CI =RI =0.5800CR =0
