2017届高考数学大一轮总复习 第三章 三角函数、三角恒等变形、解三角形 文（课件+习题）（打包14套）北师大版.zip

第三章 三角函数、三角恒等 变 形、解三角形第一 节 任意角和弧度制及任意角的三角函数基础知识基础知识自主学习自主学习热点命题热点命题深度剖析深度剖析思想方法思想方法感悟提升感悟提升最新考纲 1.了解任意角的概念； 2.了解弧度制的概念，能 进 行弧度与角度的互化； 3.理解任意角的三角函数 (正弦、余弦、正切 )的定 义 。J 基 础 知 识 自主学 习1． 角的概念(2)终边 相同的角：所有与角 α终边 相同的角， 连 同角 α在内，可构成一个集合 S＝ {β|β＝ α＋ k·360°， k∈ Z}。2． 弧度的定义和公式(1)定 义在以 单 位 长为 半径的 圆 中， 单 位 长 度的弧所 对 的 圆 心角 为 _______的角。它的 单 位符号是 rad， 读 作 __________。 这 种以弧度作 为单 位来度量角的 单 位制，叫作弧度制。(2)公式： ① 弧度与角度的 换 算： 360°＝ ________弧度； 180°＝ ____弧度； ② 弧 长 公式： l＝ ______； ③ 扇形面 积 公式： S扇形 ＝ __________和____________。1弧度弧度2π π|α|r3． 任意角的三角函数(1)定 义 ： 设 α是一个任意角，它的 终边 与 单 位 圆 交于点 P(u， ν)， 则sin α＝ ____， cos α＝ ____， tan α＝ _______(u≠0)。(2)几何表示：三角函数 线 可以看作是三角函数的几何表示。正弦 线 的起点都在 x轴 上，余弦 线 的起点都是原点，正切 线 的起点都是 (1,0)。如 图 中有向 线 段 MP， OM， AT分 别 叫做角 α的 ___________，_________和 ______________。共有四种情况如下：ν u正弦 线余弦 线 正切 线[判一判 ](1)小于 90°的角是 锐 角。 ( )解析 错误。如－ 60°。(2)第一象限角必是 锐 角，反之亦然。 ( )解析 错误。如 370°是第一象限角，但它不是锐角。(3)不相等的角， 终边 一定不相同。 ( )解析 错误。如 45°与 405°的终边相同。事实上，只要角度相差 360°的整数倍，其终边一定相同。(4)三角形的内角 为 第一或第二象限角。 ( )解析 错误。 90°角的终边在 y轴的非负半轴上。× × × × (5)若 β＝ α＋ k·720°(k∈ Z)， 则 α和 β终边 相同。 ( )解析 正确。(6)若 P(tan α， cos α)在第三象限， 则 角 α的 终边 在第二象限。 ( )√ √ 5．若 tan α0， 则 ( )A． sin α0 B． cos α0C． sin 2α0 D． cos 2α0R 热 点命 题 深度剖析考点一 象限角及终边相同的角【 规律方法 】 象限角和 终边 相同的角的判断及表示方法(1)若要确定一个 绝对值较 大的角所在的象限，一般是先将角化 为 2kπ＋ α(0≤α2π)(k∈ Z)的形式，然后再根据 α所在的象限予以判断。(2)利用 终边 相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与 这 个角的 终边 相同的所有角的集合，然后通 过对 集合中的参数 k赋值 来求得所需角。变式训练 1 (1)已知角 α＝ 45°，在区 间 [－ 720°， 0°]内所有与角 α有相同的 终边 的角 β为 _________________。－ 675°，－ 315° 【 例 2】 已知扇形的 圆 心角是 α，半径 为 R，弧 长为 l。(1)若 α＝ 60°， R＝ 10 cm。求扇形的弧 长 l。考点二 弧度制及其应用(2)若扇形的周 长为 20 cm，当扇形的 圆 心角 α为 多少弧度 时 ， 这 个扇形的面 积 最大？变式训练 2 (1)设 扇形的周 长为 8 cm，面 积为 4 cm2， 则 扇形的 圆 心角的弧度数是 ________。2 (2)已知扇形的 圆 心角是 α＝ 120°，弦 长 AB＝ 12 cm，求弧 长 l。考点三 三角函数的定义 第三章 三角函数、三角恒等 变 形、解三角形第二 节 同角三角函数的基本关系与 诱导 公式基础知识基础知识自主学习自主学习热点命题热点命题深度剖析深度剖析思想方法思想方法感悟提升感悟提升J 基 础 知 识 自主学 习2． 六 组诱导 公式[判一判 ](1)sin2θ＋ cos2φ＝ 1。 ( )解析 错误。 sin2θ＋ cos2φ的值不确定。(2)同角三角函数的基本关系式中角 α可以是任意角。 ( )(3)六 组诱导 公式中的角 α可以是任意角。 ( )解析 错误。有关正切函数的诱导公式，必须使 tan α有意义。× × × (4)诱导 公式的口 诀 “奇 变 偶不 变 ，符号看象限 ”中的 “符号 ”与 α的大小无关。 ( )解析 正确。√ × 2 R 热 点命 题 深度剖析考点一 诱导 公式的 应 用【 规 律方法 】 (1)利用 诱导 公式 进 行化 简 求 值时 ，先利用公式化任意角的三角函数 为锐 角三角函数，其步 骤 ：去 负 — 脱周 — 化 锐 。(2)利用 诱导 公式化 简 三角函数的思路和要求① 思路方法： a.分析 结 构特点， 选择 恰当公式； b.利用公式化成 单 角三角函数； c.整理得最 简 形式。② 化 简 要求： a.化 简过 程是恒等 变 形； b.结 果要求 项 数尽可能少，次数尽可能低， 结 构尽可能 简单 ，能求 值 的要求出 值 。变 式 训练 1 (1)sin(－ 1 200°)cos 1 290°＋ cos(－ 1 020°)·sin(－ 1 050°)＝ ________。1 考点二 同角三角函数基本关系式的 应 用 (2)(2015·四川卷 )已知 sin α＋ 2cos α＝ 0， 则 2sin αcos α－ cos2α的 值 是 ________。－ 1 考点三 诱导 公式在三角形中的 应 用第三章 三角函数、三角恒等 变 形、解三角形第三 节 三角函数的 图 像与性 质 基础知识基础知识自主学习自主学习热点命题热点命题深度剖析深度剖析思想方法思想方法感悟提升感悟提升J 基 础 知 识 自主学 习1． 周期函数和最小正周期2． 正弦函数、余弦函数、正切函数的 图 像和性 质{x|x∈R且 x≠＋kπ， k∈Z} [－ 1,1] R R [－ 1,1] R 函数 y＝ sin x y＝ cos x y＝ tan x单调性x∈___________________________时 ，函数是增加的，x∈_________________________时，函数是减少的 x∈ ___________________________时 ，函数是增加的最值无最大 值 和最小值[2kπ－ π， 2kπ](k∈Z)[2kπ， 2kπ＋ π](k∈Z)函数 y＝ sin x y＝ cos x y＝ tan x奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数对称性对 称中心(kπ， 0)，k∈ Z对 称轴x＝ kπ，k∈ Z无 对 称 轴最小正周期2π 2π π解析 正确。(2)y＝ sin x在第一、四象限是增函数。 ( )解析 错误。(3)所有的周期函数都有最小正周期。 ( )解析 错误。如常数函数为周期函数，但没有最小正周期。(4)y＝ tan x在整个定 义 域上是增函数。 ( )解析 (4)错误。单调区间不能取并集。也可借助正切函数的图像判断。√ × × × (5)y＝ ksin x＋ 1(x∈ R)的最大 值为 k＋ 1。 ( )解析 错误。当 k0时，其最大值为 k＋ 1。(6)y＝ sin | x|为 偶函数。 ( )解析 正确。× √ 5 R 热 点命 题 深度剖析考点一 三角函数的定 义 域和 值 域2 【 规 律方法 】 (1)三角函数定 义 域的求法求三角函数定 义 域 实际 上是构造 简单 的三角不等式 (组 )，常借助三角函数 线 或三角函数 图 像来求解。(2)三角函数 值 域 (最 值 )的不同求法求解三角函数的 值 域 (或最 值 )常 见 到以下几种 类 型的 题 目：① 形如 y＝ asin x＋ bcos x＋ c的三角函数化 为 y＝Asin(ωx＋ φ)＋ k的形式，再求 值 域 (或最 值 )；② 形如 y＝ asin2x＋ bsin x＋ c的三角函数，可 设 sin x＝ t，化 为 关于 t的二次函数求 值 域 (或最 值 )；③ 形如 y＝ asin xcos x＋ b(sin x±cos x)＋ c的三角函数，可先 设 t＝ sin x±cos x，化 为 关于 t的二次函数求 值域 (或最 值 )。(3)函数 y＝ sin x－ cos x－ sin xcos x的 值 域 为_________________。考点二 三角函数的奇偶性、周期性和 对 称性第三章 三角函数、三角恒等 变 形、解三角形第四 节 函数 y＝ Asin(ωx＋ φ)的 图 像及三角函数模型的 简单应 用 基础知识基础知识自主学习自主学习热点命题热点命题深度剖析深度剖析思想方法思想方法感悟提升感悟提升最新考 纲 1.了解函数 y＝ Asin(ωx＋ φ)的物理意 义 ；能画出 y＝ Asin(ωx＋ φ)的 图 像，了解参数 A， ω， φ对 函数 图 像 变 化的影响； 2.了解三角函数是描述周期 变 化 现 象的重要函数模型，会用三角函数解决一些 简单实际问题 。J 基 础 知 识 自主学 习1． y＝ Asin(ωx＋ φ)的有关概念2.用五点法画 y＝ Asin(ωx＋ φ)在一个周期内的 简图用五点法画 y＝ Asin(ωx＋ φ)在一个周期内的 简图时 ，要找五个关 键 点，如下表所示：3.由函数 y＝ sin x的 图 像 变换 得到 y＝ Asin(ωx＋φ)(A0， ω0)的 图 像的两种方法[判一判 ](1)利用 图 像 变换 作 图时 “先平移，后伸 缩 ”与 “先伸 缩 ，后平移 ”中平移的 长 度一致。 ( )解析 错误。×× × √ 解析 正确。 (5)由 图 像求解析式 时 ，振幅 A的大小是由一个周期内 图 像中最高点的 值 与最低点的 值 确定的。 ( )解析 正确。√4． (2015·课标 全国卷 Ⅰ )函数 f(x)＝ cos(ωx＋ φ)的部分 图 像如 图 所示， 则 f(x)的 单调递 减区 间为 ( )R 热 点命 题 深度剖析考点一 五点法作 图 及 图 像 变换 (2)用 “五点法 ”作出它在一个周期内的 图 像；描点画出图像，如图所示：图 像如 图 所示。 考点二 求 y＝ Asin(ωx＋ φ)的解析式第三章 三角函数、三角恒等 变 形、解三角形第五节 三角恒等变形基基 础础 知知 识识自主学自主学 习习热热 点命点命 题题深度剖析深度剖析思想方法思想方法感悟提升感悟提升最新考 纲 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式； 2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式； 3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系； 4.能运用上述公式进行简单的恒等变换 (包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆 )。J 基础知识 自主学习1． 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)两角和与差的余弦公式cos(α＋ β)＝ ___________________________，cos(α－ β)＝ ___________________________。(2)两角和与差的正弦公式sin(α＋ β)＝ ____________________________，sin(α－ β)＝ ____________________________。Cos αcos β－ sin αsin βCos αcos β＋ sin αsin βSin αcos β＋ cos αsin βSin αcos β－ cos αsin β2． 二倍角的正弦、余弦和正切公式(1)二倍角的正弦公式sin 2α＝ ___________________。(2)二倍角的余弦公式cos 2α＝ ___________________＝ 1－ 2sin2α＝ 2cos2α－ 1。(3)二倍角的正切公式2sin αcos αcos2α－ sin2α[判一判 ](1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角 α， β是任意的。 ( )解析 正确。(3)在锐角三角形 ABC中， sin Asin B和 cos Acos B大小关系不确定。 ( )解析 错误 。 sin Asin B－ cos Acos B＝－ cos(A＋ B)。∵△ ABC为锐 角三角形， ∴ 90°0，即 sin Asin Bcos Acos B。√ √ × 解析 错误 。 α、 β应 使 tan α， tan β， tan(α＋ β)有意 义 。(5)存在实数 α，使 tan 2α＝ 2tan α。 ( )解析 正确。如 α＝ π。× × 3．已知 tan(α＋ β)＝ 3， tan(α－ β)＝ 5，则 tan 2α＝ ________。4． tan 20°＋ tan 40°＋ tan 20°tan 40°＝ ________。5．函数 f(x)＝ sin(x＋ 2φ)－ 2sin φcos(x＋ φ)的最大值为 ________。解析 ∵ f(x)＝ sin(x＋ 2φ)－ 2sin φcos(x＋ φ)＝ sin [(x＋ φ)＋ φ]－ 2sin φcos(x＋ φ)＝ sin(x＋ φ)cos φ＋ cos(x＋ φ)sin φ－ 2sin φcos(x＋ φ)＝ sin(x＋ φ)cos φ－ cos(x＋ φ)sin φ＝ sin [(x＋ φ)－ φ]＝ sin x，∴ f(x)的最大 值为 1。1R 热点命题 深度剖析考点一 三角函数式的化 简 【 规 律方法 】 三角函数式的化 简 要遵循 “三看 ”原 则(1)一看 “角 ”， 这 是最重要的一 环 ，通 过 看角之 间 的差 别 与 联 系，把角 进 行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看 “函数名称 ”，看函数名称之 间 的差异，从而确定使用的公式，常 见 的有 “切化弦 ”；(3)三看 “结 构特征 ”，分析 结 构特征，可以帮助我 们 找到 变 形的方向，如 “遇到分式要通分 ”等。－ cos θ 考点二 三角函数的求 值问题 第三章 三角函数、三角恒等 变 形、解三角形第六 节 正弦定理与余弦定理基础知识基础知识自主学习自主学习热点命题热点命题深度剖析深度剖析思想方法思想方法感悟提升感悟提升最新考 纲 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些 简单 的三角形度量 问题 。J 基 础 知 识 自主学 习1． 正弦定理与余弦定理定理 正弦定理 余弦定理解决的问题① 已知两角和任一 边 ，求其他 边 和角② 已知两 边 和其中一 边的 对 角，求其他 边 和角① 已知三 边 ，求各角② 已知两 边 和它 们 的 夹角，求第三 边 和其他角B [判一判 ](1) (2015·广 东 卷 )设 △ ABC的内角 A， B， C的 。 ( )解析 错误。三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比。(2)在 △ ABC中，若 sin Asin B， 则 AB。 ( )解析 正确。(3)在 △ ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素。 ()解析 错误。如已知三角形的三个内角，则无法解三角形。(4)正弦定理 对钝 角三角形不成立。 ( )解析 错误。正弦定理适用于所有三角形。 (5)在 △ ABC中，＝。 ( )解析 正确。× × × √ √ (6)在 △ ABC中，若 a2＋ b2c2， 则 △ ABC为锐 角三角形。 ()解析 错误。由 a2＋ b2c2，可知 cos C0，即 C为锐角，但不能判定该三角形的形状。× √ [练 一 练 ] 2． (2016·江西省宜春中学与新余一中高三 联 考 )在 △ ABC中，若 a＝ 18， b＝ 24， ∠ A＝ 45°， 则 符合条件的三角形的个数 为 ( )A． 0 B． 2C． 1 D．不确定答案 BR 热 点命 题 深度剖析考点一 利用正、余弦定理解三角形4 【 规 律方法 】 解三角形 时 ，如果式子中含有角的余弦或 边 的二次式，要考 虑 用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或 边 的一次式 时 ， 则 考 虑用正弦定理；以上特征都不明 显时 ， 则 要考 虑 两个定理都有可能用到。有时 需 结 合 图 形分析求解，有 时 需根据三角函数 值 的有界性、三角形中大 边对 大角等确定解的个数。【 例 2】 在 △ ABC中， a， b， c分 别为 内角 A， B， C的 对边 ，且(a2＋ b2)sin(A－ B)＝ (a2－ b2)sin(A＋ B)， 试 判断△ ABC的形状。考点二 利用正、余弦定理判断三角形的形状 【 规 律方法 】 判定三角形形状的两种常用途径(1)通 过 正弦定理和余弦定理，化 边为 角，利用三角 变换 得出三角形内角之 间 的关系 进 行判断。(2)利用正弦定理、余弦定理，化角 为边 ，通 过 代数恒等 变换 ，求出三条 边 之 间 的关系 进 行判断。变 式 训练 2 (1)设 △ ABC的内角 A， B， C所 对 的 边 分 别为 a，b， c，若 bcos C＋ ccos B＝ asin A， 则 △ ABC的形状 为 ()A． 锐 角三角形 B．直角三角形C． 钝 角三角形 D．不确定正、余弦定理与三角形面 积 的 综 合 问题 是每年高考的重点内容，既有选择 、填空 题 ，也有解答 题 ， 难 度适中，属中档 题 。角度一：求三角形的面 积考点三 与三角形面 积 有关的 问题 第三章 三角函数、三角恒等 变 形、解三角形第七 节 解三角形 应 用 举 例基础知识基础知识自主学习自主学习热点命题热点命题深度剖析深度剖析思想方法思想方法感悟提升感悟提升最新考 纲 能 够 运用正弦定理、余弦定理等知 识 和方法解决一些与 测量和几何 计 算有关的 实际问题 。J 基 础 知 识 自主学 习1． 仰角和俯角在同一 铅 垂平面内的水平 视线 和目 标视线 的 夹 角，目 标视线 在水平视线 ________时 叫仰角，目 标视线 在水平 视线_______时 叫俯角。 (如 图 (a))。上方 下方2． 方位角从某点的指北方向 线 起按 顺时针转 到目 标 方向 线 之 间 的水平 夹 角叫做方位角。如 B点的方位角 为 α(如 图 (b))。3． 方向角正北或正南方向 线 与目 标 方向 线 所成的 锐 角，通常表达 为 北 (南 )偏东 (西 )××度。4． 坡角与坡度(c)(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数 (如 图 ，角 θ为 坡角)；(2)坡度：坡面的 铅 直高度与水平 长 度之比 (如 图 (c)， i为 坡度 )。坡度又称 为 坡比。解析 错误。俯角是水平线与视线所成的角。(2)方位角与方向角其 实质 是一 样 的，均是确定 观 察点与目 标 点之 间 的位置关系。 ( )解析 正确。(3)从 A处 望 B处 的仰角 为 α，从 B处 望 A处 的俯角 为 β， 则 α， β的关系 为 α＋ β＝ 180°。 ( )解析 错误。 α＝ β。× √×(4)若点 P在 Q的北偏 东 44°， 则 Q在 P的 东 偏北 46°。 ( ) 解析 错误。若 P在 Q的北偏东 44°，则 Q在 P的南偏西 44°。×× [练 一 练 ]1．如 图 ， 设 A， B两点在河的两岸，一 测 量者在 A的同 侧 ， 选 定一点 C， 测 出 AC的距离 为 50 m， ∠ ACB＝ 45°， ∠ CAB＝ 105°， 则 A， B两点的距离 为 ( )2．如 图 所示，已知两座灯塔 A和 B与海洋 观 察站 C的距离相等，灯塔A在 观 察站 C的北偏 东 40°，灯塔 B在 观 察站 C的南偏 东 60°， 则 灯塔 A位于灯塔 B的 __________方向。北偏西 10°3．一船自西向 东 航行，上午 10时 到达灯塔 P的南偏西 75°，距塔 68海里的 M处 ，下午 2时 到达 这 座灯塔的 东 南方向的 N处 ， 则这 只船航行的速度 为 ________海里 /小 时 。30解析 如图，在 △ ABC中， ∠ ABC＝ 105°，所以 ∠ ACB＝ 30°。R 热 点命 题 深度剖析【 例 1】 如 图 ，要 测 量 对 岸 A、 B两点之 间 的距离， 选 取相距 km的 C、 D两点，并 测 得 ∠ ACB＝ 75°， ∠ BCD＝ 45°， ∠ ADC＝ 30°， ∠ ADB＝ 45°，求 A、 B之 间 的距离。考点一 测 量距离 问题 【 解 】 【 规 律方法 】 求距离 问题 的注意事 项(1)选 定或确定要求解的三角形，即所求量所在的三角形，若其他量已知 则 直接解；若有未知量， 则 把未知量放在另一确定三角形中求解。(2)确定用正弦定理 还 是余弦定理，如果都可用，就 选择 更便于 计算的定理。变 式 训练 1 如 图 所示，从气球 A上 测 得正前方的河流的两岸 B， C的俯角分 别为 75°， 30°，此 时 气球的高是 60 m， 则 河流的 宽 度 BC等于 ( )解析 如图，作 AD⊥ BC，垂足为 D。【 例 2】 (2015·湖北卷 )如 图 ，一 辆 汽 车 在一条水平的公路上向正西行 驶 ，到 A处时测 得公路北 侧 一山 顶 D在西偏北 30°的方向上，行驶 600 m后到达 B处 ， 测 得此山 顶 在西偏北 75°的方向上，仰角 为30°， 则 此山的高度 CD＝ ________m。考点二 测 量高度 问题 【 解析 】 如图所示，由已知得 ∠ BAC＝ 30°， AB＝ 600 m，∠ EBC＝ 75°， ∠ CBD＝ 30°。【 规 律方法 】 求解高度 问题应 注意(1)在 测 量高度 时 ，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一 铅 垂面内， 视线 与水平 线 的 夹 角。(2)准确理解 题 意，分清已知条件与所求，画出示意 图 ，在 实际问题 中，可能会遇到空 间 与平面 (地面 )同 时 研究的 问题 ， 这时 最好画两个 图 形，一个空 间图 形，一个平面 图 形， 这样处 理起来既清楚又不容易搞 错 。(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解 问题 的答案。变 式 训练 2 如 图 ， 为测 量山高 MN， 选择 A和另一座山的山 顶 C为测 量 观测 点。从 A点 测 得 M点的仰角 ∠ MAN＝ 60°， C点的仰角 ∠ CAB＝45°以及 ∠ MAC＝ 75°；从 C点 测 得 ∠ MCA＝ 60°。已知山高 BC＝100 m ， 则 山高 MN＝ ________ m 。150 【 例 3】 某港口 O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在 大海里 航行的 轮 船上。在小艇出 发时 ， 轮 船位于港口 O北偏西 30°且与 该 港口相距20海里的 A处 ，并正以 30海里 /小 时 的航行速度沿正 东 方向匀速行 驶。假 设该 小艇沿直 线 方向以 v海里 /小 时 的航行速度匀速行 驶 ， 经过 t小时 与 轮 船相遇。(1)若希望相遇 时 小艇的航行距离最小， 则 小艇航行速度的大小应为 多少？考点三 测 量角度 问题 解法二：若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向。设小艇与轮船在 C处相遇，如图所示。(2)假 设 小艇的最高航行速度只能达到 30海里 /小 时 ， 试设计 航行方案 (即确定航行方向和航行速度的大小 )，使得小艇能以最短 时间 与轮 船相遇，并 说 明理由。1计时双基练十七 任意角和弧度制及任意角的三角函数A 组 基础必做1．已知角 α 的终边与单位圆的交点 P ，则 tan α ＝( )(x，32)A. B．±3 3C. D．±33 33解析 因为 P 在单位圆上 ，∴ x＝± 。∴tan α ＝± 。(x，32) 12 3答案 B2．给出下列四个命题：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角。其中正确的命题有( )A．1 个 B．2 个C．3 个 D．4 个解析 由象限角易知①，②正确；因 475°＝360°＋115°，所以③正确；因－315°＝－360°＋45°，所以④正确。答案 D3．(2016·济南模拟)已知 sin θ －cos θ 1，则角 θ 的终边在( )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析 由已知得(sin θ －cos θ )21，即 1－2sin θ cos θ 1，sin θ cos θ cos θ ，所以 sin θ 0cos θ ，所以角 θ 的终边在第二象限。答案 B4．集合Error!中的角的终边所在的范围(阴影部分)是( )解析 当 k＝2 n 时，2 nπ＋ ≤ α ≤2 nπ＋ ；当 k＝2 n＋1 时，π 4 π 22nπ＋π＋ ≤ α ≤2 nπ＋π＋ (n∈Z)。π 4 π 2答案 C25．若 α 是第三象限角，则 y＝ ＋ 的值为( )|sin α 2|sin α 2|cos α 2|cos α 2A．0 B．2C．－2 D．2 或－2解析 由于 α 是第三象限角，所以 是第二或第四象限角，α 2当 是第二象限角时， y＝ ＋ ＝1－1＝0；α 2sin α 2sin α 2－ cos α 2cos α 2当 是第四象限角时， y＝ ＋ ＝－1＋1＝0。α 2－ sin α 2sin α 2cos α 2cos α 2答案 A6．(2016·宜春模拟)已知角 α 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边过点 Psin ，cos ，则 sin2α － ＝( )π 8 π 8 π12A．－ B．－32 12C. D.12 32解析 tan α ＝ ＝cot ，所以 α ＝ π，cos π 8sin π 8 π 8 38sin ＝sin π＝ 。(2α －π12) 23 32答案 D7.如图所示，已知扇形 AOB 的圆心角∠ AOB 为 120°，半径长为 6，则阴影部分的面积是________。解析 ∵120°＝ π＝ π，∴扇形的弧长 l＝6× π＝4π，∴ S 扇形120180 23 233OAB＝ ×4π×6＝12π， S△ OAB＝ ·OA·OB·sin 120°＝ ×6×6×sin 120°＝9 ，∴ S12 12 12 3阴影 ＝ S 扇形 OAB－ S△ OAB＝12π－9 。3答案 12π－9 38．已知角 α 的终边经过点(3 a－9， a＋2)，且 cos α ≤0，sin α 0，则实数 a 的取值范围是________。解析 ∵cos α ≤0，sin α 0，∴Error!即－20，tan α 0，故在[0,2π]内 α ∈ ∪(π 4， π 2)。(π ，5π4)答案 B3．一扇形的圆心角为 120°，则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为________。解析 设扇形半径为 R，内切圆半径为 r。则( R－ r)sin 60°＝ r，即 R＝ r。(1＋233)又 S 扇 ＝ |α |R2＝ × ×R212 12 2π3＝ R2＝ π r2，π 3 7＋ 4395∴ ＝ 。S扇π r2 7＋ 439答案 (7＋4 )∶934．已知 sin α 0。(1)求 α 角的集合；(2)求 终边所在的象限；α 2(3)试判断 tan sin cos 的符号。α 2 α 2 α 2解 (1)由 sin α 0，知 α 在第一、三象限，故 α 角在第三象限，其集合为Error!。(2)由(2 k＋1)π0，cos 0，α 2 α 2 α 2 α 2所以 tan sin cos 也取正号。α 2 α 2 α 2因此，tan sin cos 取正号。α 2 α 2 α 21计时双基练十八 同角三角函数的基本关系与诱导公式A组 基础必做1．(2015·成都外国语学校月考)已知 tan(α － π )＝ ，且 α ∈ ，则 sin34 (π2， 3π2)＝( )(α ＋π2)A. B．－45 45C. D．－35 35解析 由 tan(α －π)＝ 得 tan α ＝ 。又因为 α ∈ ，所以 α 为第三象限34 34 (π2， 3π2)的角，所以 sinα ＋ ＝cos α ＝－ 。π2 45答案 B2．若 α 为三角形的一个内角，且 sin α ＋cos α ＝ ，则这个三角形是( )23A．正三角形 B．直角三角形C．锐角三角形 D．钝角三角形解析 ∵(sin α ＋cos α )2＝1＋2sin α cos α ＝ ，49∴sin α cos α ＝－ 0，cos 20，cos θ 0，sin θ cos θ ＝－ 0，得，Error!或 Error!(舍)。故 tan θ ＝－ 。125答案 －12510．已知 sin(3π＋ α )＝2sin ，求下列各式的值：(3π2＋ α )(1) ；sin α － 4cos α5sin α ＋ 2cos α(2)sin2α ＋sin 2 α 。解 由已知得 sin α ＝2cos α 。(1)原式＝ ＝－ 。2cos α － 4cos α5×2cos α ＋ 2cos α 16(2)原式＝ ＝ ＝ 。sin2α ＋ 2sin α cos αsin2α ＋ cos2α sin2α ＋ sin2αsin2α ＋ 14sin2α 8511．已知 A、 B、 C是三角形的内角， sin A，－cos A是方程 x2－ x＋2 a＝0 的两根。3(1)求角 A；(2)若 ＝－3，求 tan B。1＋ 2sin Bcos Bcos2B－ sin2B解 (1)由已知可得， sin A－cos A＝1。 ①3又 sin2A＋cos 2A＝1，∴sin 2A＋( sin A－1) 2＝1，3即 4sin2A－2 sin A＝0，35得 sin A＝0(舍去)或 sin A＝ ，32∵ A∈(0，π)，∴ A＝ 或 ，π3 2π3将 A＝ 或 代入①知 A＝ π 时不成立，∴ A＝ 。π3 2π3 23 π3(2)由 ＝－3，1＋ 2sin Bcos Bcos2B－ sin2B得 sin2B－sin Bcos B－2cos 2B＝0，∵cos B≠0，∴tan 2B－tan B－2＝0，∴tan B＝2 或 tan B＝－1。∵tan B＝－1 使 cos2B－sin 2B＝0，舍去，故 tan B＝2。B组 培优演练1．(2015·湖南怀化一模)已知 tan α ＝ ，则 log5(sin α ＋2cos α )－log 5(3sin 12α －cos α )＝________。解析 由于 tan α ＝ ，则 ＝ ＝ ＝5，log 5(sin 12 sin α ＋ 2cos α3sin α － cos α tan α ＋ 23tan α － 112＋ 23×12－ 1α ＋2cos α )－log 5(3sin α －cos α )＝log 5 ＝log 55＝1。sin α ＋ 2cos α3sin α － cos α答案 12．已知 sin ＝ ，则 sin ＋sin 2 的值为________。(x＋π6) 14 (5π6－ x) (11π6－ x)解析 sin ＋sin 2(5π6－ x) (11π6－ x)＝sin ＋sin 2[π － (π6＋ x)] [2π － (x＋ π6)]＝sin ＋sin 2 ＝ 。(x＋π6) (x＋ π6) 516答案 5163．已知 sin α ＝ ＋cos α ，且 α ∈ ，则 的值为________。12 (0， π2) cos 2αsin(α － π4)解析 解法一：由题意得 sin α －cos α ＝ ，因为(sin α ＋cos α )2＋(sin 126α －cos α )2＝2，即(sin α ＋cos α )2＋ 2＝2，所以(sin α ＋cos α )2＝ 。又 α ∈(12) 74，所以 sin α ＋cos α ＝ ，所以(0，π2) 72＝ ＝－ (sin α ＋cos α )＝－ 。cos 2αsin(α － π4)cos2α － sin2α22 sin α － cos α  2 142解法二：由题意得 sin α －cos α ＝ ，所以 sin ＝ 。sin ＝ 。12 2 (α － π4) 12 (α － π4) 24又 α ∈ ，所以 α － ∈ ，所以 cos ＝ ，cos (0，π2) π4 (0， π4) (α － π4) 1442α ＝sin ＝－sin ＝－2sin α － cos ＝－2× × ＝－ ，(π2－ 2α ) (2α － π2) π4 (α － π4) 24 144 74所以 ＝ ＝－ 。cos 2αsin(α － π4)－ 7424 142答案 －1424．已知 f(x)＝ (n∈Z)。cos2 nπ ＋ x ·sin2 nπ － xcos2[ 2n＋ 1 π － x](1)化简 f(x)的表达式；(2)求 f ＋ f 的值。(π2 014) (503π1 007)解 (1)当 n为偶数，即 n＝2 k(k∈Z)时，f(x)＝cos2 2kπ ＋ x ·sin2 2kπ － xcos2[ 2×2k＋ 1 π － x]＝ ＝cos2x·sin2 － xcos2 π － x cos2x· － sin x 2 － cos x 2＝sin 2x；当 n为奇数，即 n＝2 k＋1( k∈Z)时，f(x)＝cos2[ 2k＋ 1 π ＋ x]·sin2[ 2k＋ 1 π － x]cos2{[2× 2k＋ 1 ＋ 1]π － x}＝cos2[2kπ ＋  π ＋ x ]·sin2[2kπ ＋  π － x ]cos2[2× 2k＋ 1 π ＋  π － x ]＝ ＝ ＝sin 2x，cos2 π ＋ x ·sin2 π － xcos2 π － x  － cos x 2sin2x － cos x 2综上得 f(x)＝sin 2x。7(2)由(1)得 f ＋ f(π2 014) (503π1 007)＝sin 2 ＋sin 2π 014 1 006π2 014＝sin 2 ＋sin 2π 014 (π2－ π2 014)＝sin 2 ＋cos 2 ＝1。π 014 π 0141计时双基练十九 三角函数的图像与性质A 组 基础必做1．函数 y＝ 的定义域为 ( )cos x－ 32A.[－π 6， π 6]B. (k∈Z)[kπ －π 6， kπ ＋ π 6]C. (k∈Z)[2kπ －π 6， 2kπ ＋ π 6]D．R解析 ∵cos x－ ≥0，得 cos x≥ ，∴2 kπ－ ≤ x≤2 kπ＋ ， k∈Z。32 32 π 6 π 6答案 C2．(2015·石家庄一模)函数 f(x)＝tan 的单调递增区间是( )(2x－π 3)A. (k∈Z)[kπ2－ π12， kπ2＋ 5π12]B. (k∈Z)(kπ2－ π12， kπ2＋ 5π12)C. (k∈Z)(kπ ＋π 6， kπ ＋ 2π3)D. (k∈Z)[kπ －π12， kπ ＋ 5π12]解析 由 kπ－ f(0)，则 f(x)的单调递增区间是( )(π 2)A. (k∈Z)[kπ －π 3， kπ ＋ π 6]B. (k∈Z)[kπ ， kπ ＋π 2]C. (k∈Z)[kπ ＋π 6， kπ ＋ 2π3]D. (k∈Z)[kπ －π 2， kπ ]解析 若 f(x)≤ 对 x∈R 恒成立，则 f 等于函数 f(x)的最大值或最小值，即|f(π 6)| (π 6)2× ＋ φ ＝ kπ＋ ， k∈Z，则 φ ＝ kπ＋ 。又 f f(0)，即 sinφ 0，令 k＝－1，π 6 π 2 π 6 (π 2)此时 φ ＝－ ，满足条件，由 2kπ－ ≤2 x－ ≤2 kπ＋ ， k∈Z，解得5π6 π 2 5π6 π 27kπ＋ ≤ x≤ kπ＋ ， k∈Z。π 6 2π3答案 C4．设函数 f(x)＝sin －2cos 2 。(π x3－ π 6) π x6(1)求 y＝ f(x)的最小正周期及单调递增区间；(2)若函数 y＝ g(x)与 y＝ f(x)的图像关于直线 x＝2 对称，求当 x∈[0,1]时，函数y＝ g(x)的最大值。解 (1)由题意知 f(x)＝ sin － cos －132 π x3 32 π x3＝ ·sin －1，所以 y＝ f(x)的最小正周期 T＝ ＝6。3 (π x3－ π 3) 2ππ 3由 2kπ－ ≤ x－ ≤2 kπ＋ ， k∈Z，π 2 π 3 π 3 π 2得 6k－ ≤ x≤6 k＋ ， k∈Z，12 52所以 y＝ f(x)的单调递增区间为， k∈Z。[6k－12， 6k＋ 52](2)因为函数 y＝ g(x)与 y＝ f(x)的图像关于直线 x＝2 对称，所以当 x∈[0,1]时， y＝ g(x)的最大值即为 x∈[3,4]时， y＝ f(x)的最大值，当 x∈[3,4]时， x－ ∈ ，π 3 π 3 [23π ， π ]sin ∈ ， f(x)∈ ，(π 3x－ π 3) [0， 32] [－ 1， 12]即此时 y＝ g(x)的最大值为 。12