2017届高考数学大一轮复习 第六章 不等式与推理证明 理（课件+习题）（打包15套）北师大版.zip

主干回 顾 夯基固源 考点研析 题组 冲关 课时规 范 训练素能提升 学科培 优 a－ b＞ 0 ＞ ＞ ＞ 主干回 顾 夯基固源 考点研析 题组 冲关 课时规 范 训练素能提升 学科培 优 ＞ ＜ 二次的不等式 {x|x＜ x1，或 x＞ x2} ∅ 主干回 顾 夯基固源 考点研析 题组 冲关 课时规 范 训练素能提升 学科培 优 不含 Ax＋ By ＋ C＜ 0 符号 不等式组 一次 解析式 一次 集合 最小值 最大值 (x， y) 主干回 顾 夯基固源 考点研析 题组 冲关 课时规 范 训练素能提升 学科培 优 a＝ b 2ab 2 ≥ 两个正数的算术平均数大于或等于 它的几何平均数 x＝ y 小 x＝ y 大 s2/4 主干回 顾 夯基固源 考点研析 题组 冲关 课时规 范 训练素能提升 学科培 优 部分事物 每一个 整体 一般 相同属性 一般性命题 类似 (或相同 ) 相似性或一致性 另一类事物的性质 可能为真 一般性的原理 一般 特殊 “三段论 ” 大前提 小前提 主干回 顾 夯基固源 考点研析 题组 冲关 课时规 范 训练素能提升 学科培 优 推理证明 成立 要证明的结论 充分条件 反证法定义在证明数学命题时，先假定命题结论的 成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的 不可能成立，由此断定命题的 成立．这种证明方法叫作反证法．证明步骤(1)作出否定结论的假设；(2)进行推理，导出矛盾；(3)否定假设，肯定结论 .反面反面结论 主干回 顾 夯基固源 考点研析 题组 冲关 课时规 范 训练素能提升 学科培 优 第一个自然数 n0 n＝ k＋ 1 1【高考领航】2017 届高考数学大一轮复习 第六章 不等式与推理证明 6.1 不等关系与不等式课时规范训练 理 北师大版[A级 基础演练]1．(2015·高考安徽卷)设 p： x B. 1a－ b1a 1a1bC．| a||b| D． a2b2解析：由 a 不成立，选1a－ b1aA.答案：A3．(2016·西安检测)设 α ∈ ， β ∈ ，那么 2α － 的取值范围是(0，π2) [0， π2] β3( )A. B.(0，5π6) (－ π6， 5π6)C．(0，π) D.(－π6， π )解析：由题设得 0b，则 ac2bc2；②若 ac2bc2，则 ab；2③若 ab，则 a·2cb·2c.其中正确的是__________(请把正确命题的序号都填上)解析：①若 c＝0 则命题不成立．②正确．③中由 2c0知成立．答案：②③5．已知－ ≤ α ＜ β ≤ ，则 的取值范围是________， 的取值范围是π2 π2 α ＋ β2 α － β2________．解析：∵－ ≤ α ＜ ，－ ＜ β ≤ ，π2 π2 π2 π2∴－π＜ α ＋ β ＜π.∴－ ＜ ＜ .π2 α ＋ β2 π2∵－ ≤－ β ＜ ，π2 π2∴－π≤ α － β ＜π，∵－ ≤ ＜ .π2 α － β2 π2又∵ α － β ＜0，∴－ ≤ ＜0.π2 α － β2答案： (－π2， π2) [－ π2， 0)6．(2016·河南郑州调研)若 0；③ a－ b－ ；④ln a2ln b2中，正确的不等式是1a＋ b1ab 1a 1b________．(填正确不等式的序号)解析：由 0，∴ 0，1a＋ b 1ab∴ － a0，则－ b|a|，即|a|＋ bb－ ，故③正确；1a1b 1a 1b④∵ ba2，∴ln b2ln a2成立．∴④错误，故正确的是①③.答案：①③37．已知 a＞2， b＞2，试比较 a＋ b与 ab的大小．解：法一(作差法)： ab－( a＋ b)＝( a－1)( B－*4/5)－1，∵ a＞2， b＞2，∴ a－1＞1， B－*4/5＞1.∴( a－1)( B－*4/5)－1＞0.∴ ab－( a＋ b)＞0.∴ ab＞ a＋ b.法二(作商法)：∵ ＝ ＋ ，且 a＞2， b＞2，a＋ bab 1b 1a∴ ＜ ， ＜ .1a 12 1b 12∴ ＋ ＜ ＋ ＝1.1b 1a 12 12∴ ＜1.又∵ ab＞4＞0，∴ a＋ b＜ ab.a＋ bab8．一学生计划使用不超过 20元的钱为自己购买学习用具．根据需要，单价为 4元的圆珠笔至少需要购买 2支，单价为 2元的笔记本至少需要购买 3本．写出满足上述所有不等关系的不等式．解：设购买圆珠笔和笔记本的数量分别为 x支， y本．则Error! 即Error![B级 能力突破]1．(2015·高考浙江卷)已知{ an}是等差数列，公差 d不为零，前 n项和是 Sn，若a3， a4， a8成等比数列，则( )A． a1d0， dS40 B． a1d0， dS40解析：∵ a3， a4， a8成等比数列，∴ a ＝ a3a8，∴( a1＋3 d)2＝( a1＋2 d)(a1＋7 d)，展开24整理，得－3 a1d＝5 d2，即 a1d＝－ d2.∵ d≠0，∴ a1d0， bc－ ad0，则 － 0；ca db②若 ab0， － 0，则 bc－ ad0；ca db③若 bc－ ad0， － 0，则 ab0.ca db其中正确命题的个数是( )4A．0 B．1C．2 D．3解析：∵ ab0， bc－ ad0，∴ － ＝ 0，∴①正确；ca db bc－ adab∵ ab0，又 － 0，即 0，ca db bc－ adab∴ bc－ ad0，∴②正确；∵ bc－ ad0，又 － 0，即 0，ca db bc－ adab∴ ab0，∴③正确．故选 D.答案：D3．(2016·上海杨浦模拟)已知 a、 b、 c是任意的实数，且 a＞ b，则下列不等式恒成立的为( )A．( a＋ c)4＞( b＋ c)4 B． ac2＞ bc2C．lg| b＋ c|＜lg| a＋ c| D．( a＋ c) ＞( b＋ c)13 13解析：当 a＞ b， a＋ c与 b＋ c为负数时，由 0＞ a＋ c＞ b＋ c，得 0＜－( a＋ c)＜－( b＋ c)．∴0＜[－( a＋ c)]4＜[－( b＋ c)]4，即( a＋ c)4＜( b＋ c)4.∴A 不成立；当 c＝0 时， ac2＝ bc2，∴B 不成立；当 a＞ b时， a＋ c＞ b＋ c，但若 a＋ c、 b＋ c均为负数时，|a＋ c|＜| b＋ c|，即 lg|a＋ c|＜lg| b＋ c|.故 C不恒成立．故选 D.答案：D4．已知 a＋ b0，则 ＋ 与 ＋ 的大小关系是__________．ab2 ba2 1a 1b解析： ＋ － ＝ ＋ ＝( a－ b)· ＝ .ab2 ba2 (1a＋ 1b) a－ bb2 b－ aa2 (1b2－ 1a2)  a＋ b  a－ b 2a2b2∵ a＋ b0，( a－ b)2≥0，∴ ≥0. a＋ b  a－ b 2a2b2∴ ＋ ≥ ＋ .ab2 ba2 1a 1b答案： ＋ ≥ ＋ab2 ba2 1a 1b5．若变量 x， y满足约束条件Error!，则 z＝ x＋2 y的取值范围为__________．解析：令 z＝ x＋2 y＝ λ (2x＋ y)＋ μ (x－ y)5＝(2 λ ＋ μ )x＋( λ － μ )y∴Error! ，∴Error!∴ z＝(2 x＋ y)－( x－ y)又∵3≤2 x＋ y≤9，－9≤－( x－ y)≤－6，∴－6≤(2 x＋ y)－( x－ y)≤3，即－6≤ z≤3，答案：[－6,3]6．给出下列条件：①1＜ a＜ b；②0＜ a＜ b＜1；③0＜ a＜1＜ b.其中，能推出logb ＜log a ＜log ab成立的条件的序号是________(填所有可能的条件的序号)．1 1b解析：∵log b ＝－11若 1＜ a＜ b，则 ＜ ＜1＜ b.1b 1a∴log a ＜log a ＝－1，故条件①不可以；1b 1若 0＜ a＜ b＜1，则 b＜1＜ ＜ ，1b 1a∴log ab＞log a ＞log a ＝－1＝log b ，故条件②可以；若 0＜ a＜1＜ b，则 0＜ ＜1，1b 1 1 1b∴log a ＞0，log ab＜0，条件③不可以．1b答案：②7．设函数 f(x)＝ ax－(1＋ a2)x2，其中 a＞0，区间 I＝{ x|f(x)＞0}．(1)求 I的长度(注：区间( α ， β )的长度定义为 β － α )；(2)给定常数 k∈(0,1)，当 1－ k≤ a≤1＋ k时，求 I长度的最小值．解：(1)令 f(x)＝ x[a－(1＋ a2)x]＝0，解得 x1＝0， x2＝ .a1＋ a2∴ I＝Error! ，∴ I的长度 x2－ x1＝ .a1＋ a2(2)k∈(0,1)，则 0＜1－ k≤ a≤1＋ k＜2.由(1)知 I＝ ，∴ I′＝ .a1＋ a2 1－ a2 1＋ a2 2令 I′＝0，得 a＝1.∵0＜ k＜1，∴ I关于 a在[1－ k,1)上单调递增，在(1,1＋ k )上单调递减． Imin必定在 a＝1－ k或6a＝1＋ k处取得. ＝ ＝ ＜1，∴ I1＜ I2，I1I21－ k1＋  1－ k21＋ k1＋  1＋ k 2 2－ k2－ k32－ k2＋ k3∴ Imin＝ .1－ k2－ 2k＋ k2因此当 a＝1－ k时， I在区间[1－ k,1＋ k]上取得最小值 .1－ k2－ 2k＋ k21【高考领航】2017 届高考数学大一轮复习 第六章 不等式与推理证明 6.2 一元二次不等式及其解法课时规范训练 理 北师大版[A级 基础演练]1．(2016·惠州模拟)不等式 ≥0 的解集为( )1－ x2＋ xA．[－2,1]B．(－2,1]C．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D．(－∞，－2]∪(1，＋∞)解析： ≥0⇔Error! ⇔－ 22}解析：由( x－1)(2－ x)≥0 可知( x－2)( x－1)≤0，所以不等式的解集为{ x|1≤ x≤2}．答案：A3．(2016·皖南八校一模)不等式 3x2－2 x－1＜0 成立的一个必要不充分条件是( )A. B. ∪(1，＋∞)(－13， 1) (－ ∞ ， － 13)C. D．(－1,1)(－13， 0)解析：由 3x2－2 x－1＜0 解得－ ＜ x＜1，而 ( －1,1)，所以(－1,1)是13 (－ 13， 1)3x2－2 x－1＜0 成立的一个必要不充分条件．答案：D4．已知函数 f(x)＝Error!则不等式 f(x)4的解集为__________．解析：当 x4，得 x4，得 x3.所以不等式f(x)4的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)．答案：(－∞，－2)∪(3，＋∞)5．若不等式(1－ a)x2－4 x＋60 的解集是{ x|－30 的解集是{ x|－31.于是原不等式可化为2(a－1) x2＋4 x－60，其解集为{ x|－30，则由已知可得 a≥－ x－ 在 x∈ 上恒成立，而当 x∈1x (0， 12]时， max＝－ ， ∴ a≥－ ，故 a的最小值为－ .(0，12] (－ x－ 1x) 52 52 52法二：设 f(x)＝ x2＋ ax＋1，则其对称轴为 x＝－ .a2①若－ ≥ ，即 a≤－1 时， f(x)在 上单调递减，此时应有 f ≥0，从而a2 12 (0， 12] (12)－ ≤ a≤－1.52②若－ 0时， f(x)在 上单调递增，此时应有 f(0)＝10 恒成立，故a2 (0， 12]a0.③若 0≤－ 1}解析：由 x(x＋2)0 得 x0或 x0 在区间[1,5]上有解，则 a的取值范围是( )A. B.(－235， ＋ ∞ ) (－ 235， 1]C．(1，＋∞) D.(－ ∞ ， －235]解析：由 Δ ＝ a2＋80，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负(如图)，所以方程必有一正根，一负根．于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是 f(5)＞0，解得 a＞－ ，故 a的取值范围为 .235 (－ 235， ＋ ∞ ]答案：A4．(2014·高考江苏卷)已知函数 f(x)＝ x2＋ mx－1，若对于任意 x∈[ m， m＋1]，都有f(x)0成立，则实数 m的取值范围是________．解析：作出二次函数 f(x)的图像，对于任意 x∈[ m， m＋1]，都有 f(x)0，则有Error!即Error! 解得－ m0.22答案： (－22， 0)5．已知 f(x)是定义域为 R的偶函数，当 x≥0 时， f(x)＝ x2－4 x，那么，不等式5f(x＋2)＜5 的解集是________．解析：依据已知条件求出 y＝ f(x)， x∈R 的解析式，再借助 y＝ f(x)的图像求解．设x＜0，则－ x＞0.∵当 x≥0 时， f(x)＝ x2－4 x，∴ f(－ x)＝(－ x)2－4(－ x)．∵ f(x)是定义在 R上的偶函数，∴ f(－ x)＝ f(x)，∴ f(x)＝ x2＋4 x(x＜0)，∴ f(x)＝Error!由 f(x)＝5 得Error!或Error!∴ x＝5 或 x＝－5.观察图像可知由 f(x)＜5，得－5＜ x＜5.∴由 f(x＋2)＜5，得－5＜ x＋2＜5，∴－7＜ x＜3.∴不等式 f(x＋2)＜5 的解集是{ x|－7＜ x＜3}．答案：{ x|－7＜ x＜3}6．已知 a＝(1， x)， b＝( x2＋ x，－ x)， m为实数，求使 m(a·b)2－( m＋1)a·b＋1＜0 成立的 x的范围．解：∵ a·b＝ x2＋ x－ x2＝ x，∴ m(a·b)2－( m＋1) a·b＋1＜0⇔ mx2－( m＋1) x＋1＜0.(1)当 m＝0 时，不等式等价于 x＞1；(2)当 m≠0 时，不等式等价于m (x－1)＜0(x－1m)① m＜0 时，不等式等价于 x＞1 或 x＜ ；1m②0＜ m＜1 时，不等式等价于 1＜ x＜ ；1m③ m＝1 时，不等式等价于 x∈∅；④ m＞1 时，不等式等价于 ＜ x＜1.1m综上所述，原不等式成立的 x的范围为：6当 m＜0 时是Error!；当 m＝0 时是{ x|x＞1}；当 0＜ m＜1 时是Error!；当 m＝1 时是∅；当 m＞1 时是Error!.1第六章 不等式与推理证明 6.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课时规范训练 理 北师大版[A 级 基础演练]1．(2015·高考安徽卷)已知 x， y 满足约束条件Error!则 z＝－2 x＋ y 的最大值是( )A．－1 B．－2C．－5 D．1解析：画出约束条件下的可行域如图所示，由 z＝－2 x＋ y 可知 y＝2 x＋ z，当直线y＝2 x＋ z 过点 A(1,1)时截距最大，此时 z 取得最大值． zmax＝－2×1＋1＝－1，故选 A.答案：A2．(2016·广西二市联考)已知 x， y 满足条件Error!则 z＝ 的最大值为( )y－ 1x＋ 3A．2 B．3C．－ D．－23 53解析：作出可行域如图，问题转化为区域上哪一些与点 M(－3,1)连线斜率最大，观察知点 A ，使 kMA最大， zmax＝ kMA＝ ＝3.(－52， 52)52－ 1－ 52＋ 3答案：B3．(2015·高考课标卷Ⅰ)若 x， y 满足约束条件Error!则 z＝3 x＋ y 的最大值为________．解析：画出可行域(如图所示)．2∵ z＝3 x＋ y，∴ y＝－3 x＋ z.∴直线 y＝－3 x＋ z 在 y 轴上截距最大时，即直线过点 B 时， z 取得最大值．由Error!解得 B(1,1)，∴ zmax＝3×1＋1＝4.答案：44．(2015·高考课标卷Ⅱ)若 x， y 满足约束条件Error!则 z＝2 x＋ y 的最大值为________．解析：画出可行域(如图所示)，∵ z＝2 x＋ y，∴ y＝－2 x＋ z，将直线 y＝－2 x 向上平移，经过点 B 时 z 取得最大值．由Error!解得Error! 当动直线 2x＋ y－ z＝0 过点 B(3,2)时，zmax＝2×3＋2＝8.答案：85．(2014·高考湖南卷)若变量 x， y 满足约束条件Error!且 z＝2 x＋ y 的最小值为－6，则 k＝________.解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示， z＝2 x＋ y，则y＝－2 x＋ z.易知当直线 y＝－2 x＋ z 过点 A(k， k)时， z＝2 x＋ y 取得最小值，即3k＝－6，所以 k＝－2.3答案：－26．(2016·兰州诊断)已知 x， y 满足约束条件Error!则 x2＋ y2的最小值是__________．解析：画出不等式组表示的平面区域如图所示， x2＋ y2表示平面区域内的点到坐标原点的距离的平方．由题意知，当以原点为圆心的圆与直线 3x＋4 y－4＝0 相切时， x2＋ y2取得最小值，即 ＝ ＝ ，所以( x2＋ y2)min＝ .x2＋ y2|－ 4|5 45 1625答案：16257．若变量 x， y 满足Error!，求点 P(2x－ y， x＋ y)所表示区域的面积．解：设Error! ⇒Error!，代入 x， y 的关系式得：Error!，作出可行域如图所示，易得阴影面积 S＝ ×2×1＝1.128．(1)设实数 x， y 满足Error!求 的取值范围．y－ 1x＋ 3(2)已知实数 x， y 满足Error!求目标函数 z＝ 的最大值与最小值的和．x＋ 4y＋ 5x＋ 1解：(1)作出不等式组Error!表示的可行域如图所示，从图可看出， 表示可行域内y－ 1x＋ 3的点与点 A(－3,1)连线的斜率，其最大值为 kAD＝ ＝1，最小值为 kAC＝ ＝－ ，故6－ 12＋ 3 0－ 12＋ 3 154－ ≤ ≤1.15 y－ 1x＋ 3(2)作出Error!表示的可行域，如图．把 z＝ 变形为 z＝ ＝1＋x＋ 4y＋ 5x＋ 1 x＋ 1＋ 4y＋ 4x＋ 1，解得 A ， C(3,1)，最大值为 zmax＝1＋ ＝6，最小值为4 y＋ 1x＋ 1 (53， 73)4×(73＋ 1)53＋ 1zmin＝1＋ ＝3，所以最大值与最小值的和为 9.4× 1＋ 13＋ 1[B 级 能力突破]1．(2015·高考重庆卷)若不等式组Error!，表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则 m 的值为( )43A．－3 B．1C. D．343解析：作出可行域，如图中阴影部分所示，易求 A， B， C， D 的坐标分别为 A(2,0)，B(1－ m,1＋ m)， C ， D(－2 m,0)．(2－ 4m3 ， 2＋ 2m3 )5S△ ABC＝ S△ ADB－ S△ ADC＝ |AD|·|yB－ yC|＝ (2＋2 m) ＝(1＋ m)12 12 (1＋ m－ 2＋ 2m3 )＝ ，解得 m＝1 或 m＝－3(舍去)．(1＋m－ 23 ) 43答案：B2．(2014·高考北京卷)若 x， y 满足Error!且 z＝ y－ x 的最小值为－4，则 k 的值为( )A．2 B．－2C. D．－12 12解析：作出可行域，平移直线 y＝ x，由 z 的最小值为－4 求参数 k 的值．作出可行域，如图中阴影部分所示，直线 kx－ y＋2＝0 与 x 轴的交点为 A .(－2k， 0)∵ z＝ y－ x 的最小值为－4，∴ ＝－4，解得 k＝－ ，故选 D.2k 12答案：D3．(2016·重庆万州一模) x， y 满足约束条件Error!若 z＝ y－2 ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数 a 的值为( )A．1 或－ B. 或－112 12C．2 或 1 D．2 或－1解析：作出不等式组所对应的平面区域如图，6由 z＝ y－2 ax 得 y＝2 ax＋ z，当直线 y＝2 ax＋ z 的纵截距最大时， z 最大．若 a＝0，则 y＝ z，此时目标函数只在 A 处取得最大值，不满足题意，若 a0 则 y＝2 ax＋ z 的斜率 k＝2 a0，要使 z＝ y－2 ax 取得最大值的最优解不唯一，则直线 y＝2 ax＋ z 与直线 2x－ y＋2＝0 平行，此时 2a＝2，即 a＝1，若 a0，则 y＝2 ax＋ z 的斜率 k＝2 a0，要使 z＝ y－2 ax 取得最大值的最优解不唯一，则直线 y＝2 ax＋ z 与直线 x＋ y－2＝0 平行，此时 2a＝－1，解得 a＝－ .综上， a＝112或 a＝－ ，故选 A.12答案：A4．(2016·大冶模拟)已知函数 f(x)＝ x2－4 x＋3，集合 M＝{( x， y)|f(x)＋ f(y)≤0}，集合 N＝{( x， y)|f(x)－ f(y)≥0}，则集合 M∩ N 的面积是________．解析：由题意得 f(x)＋ f(y)＝ x2－4 x＋3＋ y2－4 y＋3＝( x－2) 2＋( y－2) 2－2，故集合M＝{( x， y)|(x－2) 2＋( y－2) 2≤2}，同理可得集合 N＝{( x， y)|(x－2) 2－( y－2) 2≥0}，则集合 M∩ N 所描述的图形为如图阴影部分．可求得 S＝2× r2a＝2× ×( )2× ＝π.12 12 2 π 2答案：π5．(2016·北京石景山一模)设不等式组Error!表示的平面区域为 D，在区域 D 内随机取一点 M，则点 M 落在圆 x2＋ y2＝1 内的概率为________．解析：7画出可行域及圆 x2＋ y2＝1(如图)．可行域恰好为等腰直角三角形 ABC，由Error!解得Error!点 A(－1,1) 到直线 x－ y－2＝0 的距离为 ＝2 ，所以可行域 D 的面积|－ 1－ 1－ 2|12＋  － 1 2 2为 ×2 ×2 ＝4.而圆 x2＋ y2＝1 在可行域内恰为半圆，面积为 ，故点 M 落在圆12 2 2 π 2x2＋ y2＝1 内的概率为 ＝ .π 24 π 8答案：π 86．(2014·高考陕西卷)在直角坐标系 xOy 中，已知点 A(1,1)， B(2,3)， C(3,2)，点P(x， y)在△ ABC 三边围成的区域(含边界)上．(1)若 ＋ ＋ ＝0，求| |；PA→ PB→ PC→ OP→ (2)设 ＝ m ＋ n (m， n∈R)，用 x， y 表示 m－ n，并求 m－ n 的最大值．OP→ AB→ AC→ 解：(1)∵ ＋ ＋ ＝(1－ x,1－ y)＋(2－ x,3－ y)＋(3－ x,2－ y)＝(0,0)，PA→ PB→ PC→ ∴1－ x＋2－ x＋3－ x＝0,1－ y＋3－ y＋2－ y＝0，∴ x＝2， y＝2，∴| OP|＝2 .2∴| |＝ ＝2 .OP→ 22＋ 22 2(2)∵ ＝ m(1,2)＋ n(2,1)＝( m＋2 n,2m＋ n)，OP→ ∴Error!两式相减，得 m－ n＝ y－ x.令 y－ x＝ t，由图知，当直线 y＝ x＋ t 过点 B(2,3)时， t 取得最大值 1，故 m－ n 的最大值为 1.7．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共 100 个，生产一个卫8兵需 5 分钟，生产一个骑兵需 7 分钟，生产一个伞兵需 4 分钟，已知总生产时间不超过 10小时．若生产一个卫兵可获利润 5 元，生产一个骑兵可获利润 6 元，生产一个伞兵可获利润 3 元．(1)试用每天生产的卫兵个数 x 与骑兵个数 y 表示每天的利润 ω (元)；(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？解：(1)依题意每天生产的伞兵个数为 100－ x－ y，所以利润ω ＝5 x＋6 y＋3(100－ x－ y)＝2 x＋3 y＋300.(2)约束条件为Error!整理得Error!目标函数为 ω ＝2 x＋3 y＋300.作出可行域．如图所示：初始直线 l0：2 x＋3 y＝0，平移初始直线经过点 A 时， ω 有最大值．由Error!得Error!最优解为 A(50,50)，所以 ω max＝550 元．所以，每天生产卫兵 50 个，骑兵 50 个，伞兵 0 个时利润最大为 550 元．1【高考领航】2017 届高考数学大一轮复习 第六章 不等式与推理证明 6.4 基本不等式课时规范训练 理 北师大版[A级 基础演练]1．(2015·宁波模拟)下列函数中，最小值为 4的个数为( )① y＝ x＋ ② y＝sin x＋ (0＜ x＜π)4x 4sin x③ y＝e x＋4e － x ④ y＝log 3x＋4log x3A．4 B．3C．2 D．1解析：①中，由于 x的符号不确定，故不满足条件；②中，0＜sin x≤1，而应用不等式时等号成立的条件为 sin x＝2，故不满足条件；③正确；④中 log3x，log x3的符合不确定，故不满足条件，综上只有③满足条件．答案：D2．(2015·高考福建卷)若直线 ＋ ＝1( a0， b0)过点(1,1)，则 a＋ b的最小值等于( )xa ybA．2 B．3C．4 D．5解析：将(1,1)代入直线 ＋ ＝1 得 ＋ ＝1， a0， b0，xa yb 1a 1b故 a＋ b＝( a＋ b) ＝2＋ ＋ ≥2＋2＝4，等号当且仅当 a＝ b时取到，故选 C.(1a＋ 1b) ba ab答案：C3．已知 x＞0， y＞0， x＋2 y＋2 xy＝8，则 x＋2 y的最小值是( )A．3 B．4C. D.92 112解析：法一：因为 x＋2 y＋2 xy＝8，所以 y＝ ，8－ x2x＋ 2所以 x＋2 y＝ x＋ ＝ x＋ ＝( x＋1)＋ －2≥2 －2＝48－ xx＋ 1 －  x＋ 1 ＋ 9x＋ 1 9x＋ 1 9，(当 且 仅 当 x＋ 1＝9x＋ 1， 即 x＝ 2时 等 号 成 立 ， 此 时 y＝ 1)故选 B.法二：因为 x＋2 y≥2 ，2xy所以 2xy≤ 2，(x＋ 2y2 )2所以 x＋2 y＋2 xy≤ x＋2 y＋ ， x＋ 2y 24设 x＋2 y＝ A，则 A＋ ≥8.即 A2＋4 A－32≥0，A24解此不等式得 A≤－8(舍去)或 A≥4，即 x＋2 y≥4，故选 B.答案：B4．(2016·日照模拟)已知 a， b∈R ＋ ，函数 y＝2 aex＋ b的图像过点(0,1)，则 ＋ 的1a 1b最小值是__________．解析：因为函数过点(0,1)，所以 2a＋ b＝1，所以＋ ＝ ＋ ＝3＋ ＋ ≥3＋2 ，当且仅当 ＝ 时取等号，故填 3＋2 .1a 1b 2a＋ ba 2a＋ bb ba 2ab 2 ba 2ab 2答案：3＋2 25．(2016·杭州模拟)设 x， y∈R， a＞1， b＞1，若 ax＝ by＝4 且 a＋ b＝2 ，则 ＋21x的最大值为________．1y解析：由 ax＝ by＝4 得 x＝log a4， y＝log b4，故＋ ＝ ＋ ＝log 4a＋log 4b＝log 4ab.1x 1y 1loga4 1logb4又∵ a＞1， b＞1， a＋ b＝2 ，2故 log4ab≤log 4 2＝log 42＝ ，(a＋ b2 ) 12∴ ＋ ≤ ，等号当且仅当 a＝ b＝ ，1x 1y 12 2即 x＝ y＝4 时等号成立．∴ ＋ 的最大值为 .1x 1y 12答案：126．已知函数 f(x)＝log 2[k(x＋4)＋2]＋1 恒过定点 P，且点 P在直线 － ＝2( a， b属yb xa于正实数)上，则 3a＋2 b的最小值为________．解析：由函数 f(x)＝log 2[k(x＋4)＋2]＋1 可知，当 x＝－4 时， f(x)＝2，即 P点坐标为(－4,2)，又 P在直线 － ＝2( a， b∈R ＋ )上，yb xa故 ＋ ＝2，即 ＋ ＝1，2b 4a 2a 1b3∴3 a＋2 b＝(3 a＋2 b) ＝8＋ ＋ ≥8＋2 ＝8＋4 ，(2a＋ 1b) 3ab 4ba 12 3当且仅当 3a2＝4 b2，即 a＝2＋ ， b＝ ＋1 时等号成立．233 3∴3 a＋2 b的最小值为 8＋4 .3答案：8＋4 37．(1)当点( x， y)在直线 x＋3 y－4＝0 上移动时，求表达式 3x＋27 y＋2 的最小值；(2)已知 x， y都是正实数，且 x＋ y－3 xy＋5＝0，求 xy的最小值．解：(1)由 x＋3 y－4＝0 得 x＋3 y＝4，∴3 x＋27 y＋2＝3 x＋3 3y＋2≥2· ＋2＝2· ＋23x·33y 3x＋ 3y＝2· ＋2＝20，34当且仅当 3x＝3 3y且 x＋3 y－4＝0，即 x＝2， y＝ 时取“＝” ．23(2)由 x＋ y－3 xy＋5＝0 得 x＋ y＋5＝3 xy.∴2 ＋5≤ x＋ y＋5＝3 xy.xy∴3 xy－2 －5≥0，∴( ＋1)(3 －5)≥0，xy xy xy∴ ≥ ，即 xy≥ ，等号成立的条件是 x＝ y.xy53 259此时 x＝ y＝ ，故 xy的最小值是 .53 2598．若 x， y∈R，且满足( x2＋ y2＋2)( x2＋ y2－1)－18≤0.(1)求 x2＋ y2的取值范围；(2)求证： xy≤2.解：(1)由( x2＋ y2)2＋( x2＋ y2)－20≤0，得( x2＋ y2＋5)( x2＋ y2－4)≤0，因为 x2＋ y2＋5＞0，所以有 0≤ x2＋ y2≤4，即 x2＋ y2的取值范围为[0,4]．(2)证明：由(1)知 x2＋ y2≤4，由基本不等式得 xy≤ ≤ ＝2，所以 xy≤2.x2＋ y22 42[B级 能力突破]1．(2016·福建漳州联考)若正实数 x， y满足 x＋ y＋ ＋ ＝5，则 x＋ y的最大值是( )1x 1yA．3 B．4C．5 D．6解析：∵ x， y为正实数，∴ x＋ y＋ ＋ ＝ x＋ y＋ ≥ x＋ y＋ ＝ x＋ y＋ ，1x 1y x＋ yxy x＋ y(x＋ y2 )2 4x＋ y4又 x＋ y＋ ＋ ＝5，1x 1y∴ x＋ y＋ ≤5，解得 1≤ x＋ y≤4.4x＋ y∴ x＋ y的最大值是 4.答案：B2．(2015·陕西西安二模)已知 x＞0， y＞0，lg 2x＋lg 8y＝lg 2，则 ＋ 的最小值1x 13y是( )A．2 B．2 2C．4 D．2 3解析：由 lg 2x＋lg 8 y＝lg 2 得 lg 2x＋3 y＝lg 2，∴ x＋3 y＝1， ＋ ＝ (x＋3 y)＝2＋ ＋ ≥4 .1x 13y (1x＋ 13y) x3y 3yx (当 且 仅 当 x3y＝ 3yx时 ， 等 号 成 立 )故选 C.答案：C3．设 m， n∈R，若直线( m＋1) x＋( n＋1) y－2＝0 与圆( x－1) 2＋( y－1) 2＝1 相切，则m＋ n的取值范围是( )A．[1－ ，1＋ ]3 3B．(－∞，1－ ]∪[1＋ ，＋∞)3 3C．[2－2 ，2＋2 ]2 2D．(－∞，2－2 ]∪[2＋2 ，＋∞)2 2解析：因为直线与圆相切，所以 d＝ r，即 ＝1⇒ mn＝ m＋ n＋1，|m＋ 1＋ n＋ 1－ 2| m＋ 1 2＋  n＋ 1 2∵ mn≤ 2，∴ m＋ n＋1≤ ，(m＋ n2 )  m＋ n 24令 m＋ n＝ t，则 t2－4 t－4≥0⇒ t∈(－∞，2－2 ]∪[2＋2 ，＋∞)，故选 D.2 2答案：D4．(2016·洛阳高三统考)设正实数 a， b满足 a＋ b＝2，则 ＋ 的最小值为1a a8b__________．解析：依题意得 ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＋ ≥ ＋2 ＝1，当且仅当Error!1a a8b a＋ b2a a8b 12 b2a a8b 12 b2a×a8b即 a＝2 b＝ 时取等号，因此 ＋ 的最小值是 1.43 1a a8b答案：155．(2015·高考重庆卷)设 a， b0， a＋ b＝5，则 ＋ 的最大值为a＋ 1 b＋ 3__________．解析：令 t＝ ＋ ，则 t2＝ a＋1＋ b＋3＋2 ＝9＋2a＋ 1 b＋ 3  a＋ 1  b＋ 3≤9＋ a＋ 1＋ b＋3＝13＋ a＋ b＝13＋5＝18， a＋ 1  b＋ 3当且仅当 a＋1＝ b＋3 时取等号，此时 a＝ ， b＝ .72 32∴ tmax＝ ＝3 .18 2答案：3 26．在平面直角坐标系 xOy中，过坐标原点的一条直线与函数 f(x)＝ 的图像交于2xP、 Q两点，则线段 PQ长的最小值是________．解析：由题意可知 f(x)＝ 的图像关于原点对称，而与过原点的直线相交，则两交点2x必关于原点对称，故可设两交点分别为 P 与 Q ，(x，2x) (－ x， － 2x)由两点间距离公式可得|PQ|＝ ＝ ≥4 等号当且仅当 x2＝2，即 x＝± 时 x＋ x 2＋ (2x＋ 2x)2  2x 2＋ (4x)2 2取得．答案：47．某工厂去年某产品的年产量为 100万只，每只产品的销售价为 10元，固定成本为8元，今年工厂第一次投入 100万元(科技成本)，并计划以后每年比上一年多投入 100万元(科技成本)，预计产量年递增 10万只．第 n次投入后，每只产品的固定成本为 g(n)＝(k＞0， k为常数， n∈ Z且 n≥0)，若产品销售价保持不变，第 n次投入后的年利润kn＋ 1为 f(n)万元．(1)求 k的值，并求出 f(n)的表达式；(2)问从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？(利润＝销售额－固定成本－科技成本)解：(1) g(n)＝ ，kn＋ 1当 n＝0 时， g(0)＝ ＝8，解得 k＝8.k0＋ 1∴ f(n)＝(100＋10 n) －100 n.(10－ 8n＋ 1)(2)f(n)＝(100＋10 n) －100 n(10－ 8n＋ 1)6＝1 000－80 n＋ 10n＋ 1＝1 000－80 (n＋ 1＋ 9n＋ 1)≤1 000－80×2 ＝520.9当且仅当 ＝ ，n＋ 19n＋ 1即 n＝8 时取等号．∴从今年算起第 8年工厂的利润最高，最高利润为 520万元．1【高考领航】2017 届高考数学大一轮复习 第六章 不等式与推理证明 6.5 合情推理与演绎推理课时规范训练 理 北师大版[A级 基础演练]1．(2016·合肥模拟)正弦函数是奇函数， f(x)＝sin( x2＋1)是正弦函数，因此 f(x)＝sin( x2＋1)是奇函数，以上推理( )A．结论正确 B．大前提不正确C．小前提不正确 D．全不正确解析：因为 f(x)＝sin( x2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确．答案：C2．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( )A．设数列 的前 n项和为 Sn，由 an＝2 n－1，求出 S1＝1 2， S2＝2 2， S3＝3 2，…，推{an}断： Sn＝ n2B．由 f(x)＝ xcos x满足 f(－ x)＝－ f(x)对∀ x∈R 都成立，推断： f(x)＝ xcos x为奇函数C．由圆 x2＋ y2＝ r2的面积 S＝π r2，推断：椭圆 ＋ ＝1( ab0)的面积 S＝π abx2a2 y2b2D．由(1＋1) 221，(2＋1) 222，(3＋1) 223，…，推断：对一切 n∈N ＋ ，( n＋1) 22n解析：选项 A由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列 是等差数列，其前{an}n项和等于 Sn＝ ＝ n2，选项 D中的推理属于归纳推理，但结论不正确．n 1＋ 2n－ 12答案：A3．三角形的面积为 S＝ (a＋ b＋ c)r， a、 b、 c为三角形的边长， r为三角形内切圆的12半径，利用类比推理可以得出四面体的体积为( )A． V＝ abc13B． V＝ Sh13C． V＝ (S1＋ S2＋ S3＋ S4)r(S1、 S2、 S3、 S4为四个面的面积， r为内切球的半径)13D． V＝ (ab＋ bc＋ ac)h(h为四面体的高)13解析：设△ ABC的内心为 O，连接 OA、 OB、 OC，将△ ABC分割为三个小三角形，这三个小三角形的高都是 r，底边长分别为 a、 b、 c；类比：设四面体 A－ BCD的内切球的球心为O，连接 OA、 OB、 OC、 OD，将四面体分割为四个以 O为顶点，以原来面为底面的四面体，2高都为 r，所以有V＝ (S1＋ S2＋ S3＋ S4)r.13答案：C4．观察下列等式(1＋1)＝2×1(2＋1)(2＋2)＝2 2×1×3(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝2 3×1×3×5…照此规律，第 n个等式可为______________．解析：由前三个式子观察归纳可得结论．答案：( n＋1)( n＋2)…( n＋ n)＝2 n×1×3×…×(2n－1)5．(2016·深圳模拟)现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是 a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为 .类比到空间，有两个棱长均为 a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这a24两个正方体重叠部分的体积恒为________．解析：本题考查类比推理知识．可取特殊情况研究，当将一个正方体的一个顶点垂直放在另一个正方体的中心时，易知两正方体的重叠部分占整个正方体的 ，故其体积为 .18 a38答案：a386．(2016·陕西质量检测)观察下列等式：1＝1,1＋2＋1＝4,1＋2＋3＋2＋1＝9,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16，…，由以上可推测出一个一般性结论：对于 n∈N ＋ ，1＋2＋…＋ n＋…＋2＋1＝________.解析：∵1＝1 2,1＋2＋1＝2 2,1＋2＋3＋2＋1＝3 2,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝4 2，…，∴归纳可得 1＋2＋…＋ n＋…＋2＋1＝ n2.答案： n27．如图，一个树形图依据下列规律不断生长：1 个空心圆点到下一行仅生长出 1个实心圆点，1 个实心圆点到下一行生长出 1个实心圆点和 1个空心圆点．3(1)求第 n行实心圆点个数与第 n－1， n－2 行实心圆点个数的关系；(2)求第 11行的实心圆点的个数．解：(1)设第 n行实心圆点有 an个，空心圆点有 bn个，由树形图的生长规律可得Error!∴ an＝ an－1 ＋ bn－1 ＝ an－1 ＋ an－2 ，即第 n行实心圆点个数等于第 n－1 行与第 n－2 行实心圆点个数之和．(2)由(1)可得数列{ an}为 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89，…，∴第 11行实心圆点的个数是该数列的第 11项 55.8．已知等差数列{ an}的公差为 d＝2，首项 a1＝5.(1)求数列{ an}的前 n项和 Sn；(2)设 Tn＝ n(2an－5)，求 S1， S2， S3， S4， S5， T1， T2， T3， T4， T5，并归纳 Sn， Tn的大小规律．解：(1) Sn＝5 n＋ ×2＝ n(n＋4)．n n－ 12(2)Tn＝ n(2an－5)＝ n[2(2n＋3)－5]＝4 n2＋ n.∴ S1＝5， S2＝12， S3＝21， S4＝32， S5＝45，T1＝5， T2＝18， T3＝39， T4＝68， T5＝105.由此可知 S1＝ T1，当 5≥ n≥2( n∈N ＋ )时， Sn＜ Tn，猜想，当 n≥2， n∈N ＋ 时， Sn＜ Tn.[B级 能力突破]1．(2016·枣庄九中模拟)已知 f1(x)＝sin x＋cos x， fn＋1 (x)是 fn(x)的导函数，即f2(x)＝ f′ 1(x)， f3(x)＝ f′ 2(x)，…， fn＋1 (x)＝ f′ n(x)， n∈N ＋ ，则 f2 017(x)＝( )A．sin x＋cos x B．－sin x－cos xC．sin x－cos x D．－sin x＋cos x解析： f2(x)＝ f′ 1(x)＝cos x－sin x， f3(x)＝ f′ 2(x)＝－sin x－cos x， f4(x)＝ f′ 3(x)＝－cos x＋sin x， f5(x)＝ f′ 4(x)＝sin x＋cos x， f6(x)＝ f′ 5(x)＝cos x－sin x，…，可知 fn(x)是以 4为周期的函数，∵2 017＝504×4＋1，∴ f2 017(x)＝ f1(x)＝sin x＋cos x．故选 A.答案：A42．(2016·昆明调研)设 Sn是公差不为 0的等差数列 的前 n项和，若{an}a1＝2 a8－3 a4，则 ＝( )S8S16A. B.310 13C. D.19 18解析：由已知得 a1＝2 a1＋14 d－3 a1－9 d，得 a1＝ d，又 ＝ ，将 a1＝ d52 S8S16 8a1＋ 28d16a1＋ 120d 52代入化简得 ＝ .S8S16 310答案：A3．(2014·高考北京卷)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格” “不合格” ．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好” ．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有( )A．2 人 B．3 人C．4 人 D．5 人解析：利用反证法解决实际问题．假设满足条件的学生有 4位及 4位以上，设其中 4位同学分别为甲、乙、丙、丁，则4位同学中必有两个人语文成绩一样，且这两个数学成绩不一样，那么这两个人中一个人的成绩比另一个人好，故满足条件的学生不能超过 3人．当有 3位学生时，用 A， B， C表示“优秀” “合格” “不合格” ，则满足题意的有 AC， CA， BB，所以最多有 3人．答案：B4．如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形” ，它们是由整数的倒数组成的，第 n行有 n个数且两端的数均为 (n≥2)，其余每个数是它下一行左右相邻两数的和，如1n＝ ＋ ， ＝ ＋ ， ＝ ＋ ，…，则第 7行第 4个数(从左往右数)为( )11 12 12 12 13 16 13 14 112A. B.1140 11055C. D.160 142解析：由“第 n行有 n个数且两端的数均为 ”可知，第 7行第 1个数为 ，由“其余1n 17每个数是它下一行左右相邻两数的和”可知，第 7行第 2个数为 － ＝ ，同理易知，第16 17 1427行第 3个数为 － ＝ ，第 7行第 4个数为 － ＝ .130 142 1105 160 1105 1140答案：A5．(2015·高考山东卷)观察下列各式：C ＝4 0；01C ＋C ＝4 1；03 13C ＋C ＋C ＝4 2；05 15 25C ＋C ＋C ＋C ＝4 3；07 17 27 37…；照此规律，当 n∈N ＋ 时，C ＋C ＋C ＋…＋C ＝________.02n－ 1 12n－ 1 22n－ 1 n－ 12－解析：用归纳法求解．观察每行等式的特点，每行等式的右端都是幂的形式，底数均为 4，指数与等式左端最后一个组合数的上标相等，故有 C ＋C ＋C ＋…＋C ＝4 n－1 .02n－ 1 12n－ 1 22n－ 1 n－ 12－答案：4 n－16．已知 M是△ ABC内的一点(不含边界)，且 · ＝2 ，∠ BAC＝30°，若△AB→ AC→ 3MBC，△ BMA和△ MAC的面积分别为 x， y， z，记 f(x， y， z)＝ ＋ ＋ ，则 f(x， y， z)的1x 4y 9z最小值是________．解析：由题意得 · ＝| |·| |cos ∠ BAC＝2 ，则| |·| |＝4，∴ S△AB→ AC→ AB→ AC→ 3 AB→ AC→ ABC＝ | |·| |·sin ∠ BAC＝1， x＋ y＋ z＝1，∴ f(x， y， z)＝ ＋ ＋ ＝ ＋12AB→ AC→ 1x 4y 9z x＋ y＋ zx＋ ＝14＋ ＋ ＋ ≥14＋4＋6＋12＝364 x＋ y＋ zy 9 x＋ y＋ zz (yx＋ 4xy) (9xz＋ zx) (4zy＋ 9yz).(当 且 仅 当 x＝16， y＝ 13， z＝ 12时 等 号 成 立 )答案：367．(2014·高考北京卷)对于数对序列 P：( a1， b1)，( a2， b2)，…，( an， bn)，记 T1(P)＝ a1＋ b1， Tk(P)＝ bk＋max{ Tk－1 (P)， a1＋ a2＋…＋ ak}(2≤ k≤ n)，其中 max{Tk－1 (P)，6a1＋ a2＋…＋ ak}表示 Tk－1 (P)和 a1＋ a2＋…＋ ak两个数中最大的数．(1)对于数对序列 P：(2,5)，(4,1)，求 T1(P)， T2(P)的值；(2)记 m为 a， b， c， d四个数中最小的数，对于由两个数对( a， b)，( c， d)组成的数对序列 P：( a， b)，( c， d)和 P′：( c， d)，( a， b)，试分别对 m＝ a和 m＝ d两种情况比较T2(P)和 T2(P′)的大小；(3)在由五个数对(11,8)，(5,2)，(16,11)，(11,11)，(4,6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列 P使 T5(P)最小，并写出 T5(P)的值．(只需写出结论)解：(1) T1(P)＝2＋5＝7，T2(P)＝1＋max{ T1(P)，2＋4}＝1＋max{7,6}＝8.(2)T2(P)＝max{ a＋ b＋ d， a＋ c＋ d}，T2(P′)＝max{ c＋ d＋ b， c＋ a＋ b}．当 m＝ a时， T2(P′)＝max{ c＋ d＋ b， c＋ a＋ b}＝ c＋ d＋ b.因为 a＋ b＋ d≤ c＋ b＋ d，且 a＋ c＋ d≤ c＋ b＋ d，所以 T2(P)≤ T2(P′)．当 m＝ d时， T2(P′)＝max{ c＋ d＋ b， c＋ a＋ b}＝ c＋ a＋ b.因为 a＋ b＋ d≤ c＋ a＋ b，且 a＋ c＋ d≤ c＋ a＋ b，所以 T2(P)≤ T2(P′)．所以无论 m＝ a还是 m＝ d， T2(P)≤ T2(P′)都成立．(3)数对序列 P：(4,6)，(11,11)，(16,11)，(11,8)，(5,2)的 T5(P)值最小．T1(P)＝10， T2(P)＝26， T3(P)＝42， T4(P)＝50， T5(P)＝52.