2017届高考数学大一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 文（课件+习题）（打包17套）北师大版.zip

主干回 顾 夯基固源 考点研析 题组 冲关 课时规 范 训练素能提升 学科培 优 负角 零角 象限角 {β|β＝ α＋ k·360° α＋ 2kπ， k∈ Z}) rad |α|r 主干回 顾 夯基固源 考点研析 题组 冲关 课时规 范 训练素能提升 学科培 优 sin2θ＋ cos2θ＝ 1 主干回 顾 夯基固源 考点研析 题组 冲关 课时规 范 训练素能提升 学科培 优 cos αcosβ－ sin αsin β cos αcos β＋ sinαsinβ sinαcosβ＋ cosαsinβ tan(α＋ β)(1－ tan αtan β) tan(α－ β)(1＋ tan αtan β) 主干回 顾 夯基固源 考点研析 题组 冲关 课时规 范 训练素能提升 学科培 优 2sinαcosα cos2α－ sin2α 2cos2α 2sin2α (sinα±cosα)2 主干回 顾 夯基固源 考点研析 题组 冲关 课时规 范 训练素能提升 学科培 优 非零 f(x＋ T)＝ f(x) 最小正 最小正周期 主干回 顾 夯基固源 考点研析 题组 冲关 课时规 范 训练素能提升 学科培 优 振幅 频率 初相 0 2π π 方法二：图像变换法 主干回 顾 夯基固源 考点研析 题组 冲关 课时规 范 训练素能提升 学科培 优 主干回 顾 夯基固源 考点研析 题组 冲关 课时规 范 训练素能提升 学科培 优 已知条件 应用定理 一般解法一边和两角 (如 a，B， C) 正弦定理由 A＋ B＋ C＝ 180°，求角 A；由正弦定理求出 b与 c. 在有解时只有一解两边和夹角 (如 a，b， C)余弦定理正弦定理由余弦定理求第三边 c；由正弦定理求出小边所对的角；再由 A＋ B＋ C＝ 180°求出另一角．在有解时只有一解三边 (a， b，c) 余弦定理由余弦定理求出角 A、 B；再利用 A＋ B＋ C＝ 180°，求出角 C. 在有解时只有一解两边和其中一边的对角 (如 a， b， A)正弦定理余弦定理由正弦定理求出角 B；由 A＋ B＋ C＝ 180°，求出角 C；再利用正弦定理或余弦定理求 c. 可有两解，一解或无解1第三章 三角函数、解三角形 3.1 任意角与弧度制、任意角的三角函数课时规范训练 文 北师大版[A 级 基础演练]1．若 α 是第三象限的角，则 π－ α 是( )12A．第一或第二象限的角 B．第一或第三象限的角C．第二或第三象限的角 D．第二或第四象限的角解析：设 2kπ＋π0，则实数 a 的取值范围是( )A．(－2,3] B．(－2,3)C．[－2,3) D．[－2,3]解析：由 cos α ≤0，sin α 0 可知，角 α 的终边落在第二象限内或 y 轴的非负半轴上，所以有Error!即－20.(1)求 α 角的集合；(2)求 终边所在的象限；α 2(3)试判断 tan sin cos 的符号．α 2 α 2 α 2解：(1)由 sin α 0，知α 在第一、三象限，故 α 角在第三象限，其集合为.{α | 2k＋ 1 π 0，cos 0，α 2 α 2 α 2 α 2所以 tan sin cos 也取正号．α 2 α 2 α 2因此，tan sin cos 取正号．α 2 α 2 α 2[B 级 能力突破]1．(2016·江西南昌质检)如图所示，质点 P 在半径为 2 的圆周上逆时针运动，其初始位置为 P0( ，－ )，角速度为 1，那么点 P 到 x 轴的距离 d 关于时间 t 的函数图像大致2 2为( )4解析：∵ P0( ，－ )，∴∠ P0Ox＝－ .2 2π 4∵角速度为 1，∴按逆时针旋转时间 t 后，得∠ POP0＝ t，∴∠ POx＝ t－ .π 4由三角函数定义，知点 P 的纵坐标为 2sin ，(t－π 4)因此 d＝2 .|sin(t－π 4)|令 t＝0，则 d＝2 ＝ ，|sin(－π 4)| 2当 t＝ 时， d＝0，故选 C.π 4答案：C2．(2016·江淮十校联考)已知锐角 α ，且 5α 的终边上有一点 P(sin(－50°)，cos 130°)，则 α 的值为( )A．8° B．44°C．26° D．40°解析：∵sin(－50°)＝－cos 40°＝cos (180°＋40°)＝cos 220°0，cos 130°＝－cos 50°＝－sin 40°＝sin (180°＋40°)＝sin 220°0，∴点 P(sin(－50°)，cos 130°)在第三象限．又∵0° α 90°，∴0°5 α 450°.又∵点 P 的坐标可化为(cos 220°，sin 220°)，∴5 α ＝220°，∴ α ＝44°，故选 B.答案：B53．如图，设点 A 是单位圆上的一定点，动点 P 从 A 出发在圆上按逆时针方向转一周，点 P 所旋转过的弧 的长为 l，弦 AP 的长为 d，则函数 d＝ f(l)的图像大致为( )AP解析：如图，取 AP 的中点为 D，设∠ DOA＝ θ ，则 d＝2 Rsin θ ＝2sin θ ， l＝2 θR ＝2 θ ，∴ d＝2sin ，故选 C.l2答案：C4．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点 P 的位置在(0,0)，圆在 x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时， 的坐标OP→ 为________．解析：如图，连 AP，分别过 P， A 作 PC， AB 垂直 x 轴于 C， B 点，过 A 作 AD⊥ PC 于 D点．由题意知 的长为 2.BP∵圆半径为 1，∴∠ BAP＝2，故∠ DAP＝2－ .π 2∴ DP＝ AP·sin ＝－cos 2，(2－π 2)∴ PC＝1－cos 2， DA＝ APcos ＝sin 2，(2－π 2)6∴ OC＝2－sin 2.故 ＝(2－sin 2,1－cos 2)．OP→ 答案：(2－sin 2,1－cos 2)5．已知扇形的圆心角是 α ＝120°，弦长 AB＝12 cm，则弧长 l 为________．解析：设扇形的半径为 r cm，如图．∠ AOB＝120°， ∠ AOB＝60°， AB＝6，由 sin 60°＝ ，得 r＝4 cm，12 12 6r 3∴ l＝| α |·r＝ ×4 ＝ π(cm)．2π3 3 833答案： π cm8336．(2015·北京东城区一模)已知点 P 落在角 θ 的终边上，则 tan (sin34π ， cos34π )θ 的值为________．解析：∵sin π＝ ，cos ＝－ ，34 22 3π4 22∴ P 点坐标为 ，∴tan θ ＝ ＝－1.(22， － 22) yx答案：－17. 如图， A， B 是单位圆 O 上的点，且 B 在第二象限， C 是圆与 x 轴的正半轴的交点，A 点的坐标为 ，∠ AOB＝90°.(513， 1213)(1)求 cos∠ COA；(2)求 tan∠ COB.7解：(1)因为 A 点的坐标为 ，根据三角函数的定义可得 cos∠ COA＝ .(513， 1213) 513(2)因为∠ AOB＝90°，sin∠ COA＝ ，所以 cos∠ COB＝cos(∠ COA＋90°)1213＝－sin∠ COA＝－ .1213又点 B 在第二象限，所以 sin∠ COB＝ ＝ ，故1－ cos2∠ COB513tan∠ COB＝ ＝－ .sin∠ COBcos∠ COB 5121第三章 三角函数、解三角形 3.2 同角三角函数的基本关系及诱导公式课时规范训练 文 北师大版[A 级 基础演练]1．(2016·中山模拟)已知 tan α ＝－ a，则 tan(π－ α )的值等于( )A． a B．－ aC. D．－1a 1a解析：tan(π－ α )＝－tan α ＝ a.答案：A2．(2016·石家庄一模)已知 cos α ＝ k， k∈R， α ∈ ，则 sin (π＋ α )＝( )(π 2， π )A．－ B.1－ k2 1－ k2C．± D．－ k1－ k2解析：由 cos α ＝ k， α ∈ 得 sin α ＝ ，(π 2， π ) 1－ k2∴sin (π＋ α )＝－sin α ＝－ ，故选 A.1－ k2答案：A3．已知 ＝1，则 sin2θ ＋3sin θ cos sin 2π ＋ θ  tan π ＋ θ  tan 3π － θ cos(π 2－ θ )tan － π － θ θ ＋2cos 2θ 的值是( )A．1 B．2C．3 D．6解析：由已知得 ＝1，sin θ ·tan θ · － tan θ sin θ · － tan θ 即 tan θ ＝1，于是 sin2θ ＋3sin θ cos θ ＋2cos 2θ＝sin2θ ＋ 3sin θ cos θ ＋ 2cos2θsin2θ ＋ cos2θ＝ ＝3.故选 C.tan2θ ＋ 3tan θ ＋ 2tan2θ ＋ 1答案：C4．(2016·成都外国语学校月考)已知 tan(α －π)＝ ，且 α ∈ ，则 sin 34 (π 2， 3π2)＝( )(α ＋π 2)2A. B．－45 45C. D．－35 35解析：tan( α －π)＝ ⇒tan α ＝ .34 34又因为 α ∈ ，(π 2， 3π2)所以 α 为第三象限的角，所以 sin ＝cos α ＝－ .(α ＋π 2) 45答案：B5．(2016·苏州模拟)cos ＋tan ＋sin 21π 的值为________．9π4 (－ 7π6)解析：原式＝cos －tan ＋0(2π ＋π 4) (π ＋ π 6)＝cos －tan ＝ － ＝ .π 4 π 6 22 33 32－ 236答案：32－ 2366．(2015·高考四川卷)已知 sin α ＋2cos α ＝0，则 2sin α cos α －cos 2α 的值是________．解析：由 sin α ＋2cos α ＝0，得 tan α ＝－2.所以 2sin α cos α －cos 2α ＝ ＝2sin α cos α － cos2αsin2α ＋ cos2α＝ ＝－1.2tan α － 1tan2α ＋ 1 － 4－ 14＋ 1答案：－17．(2016·黄冈模拟)已知 sin ＝－ ， α ∈(0，π)，(α ＋π 2) 55(1)求 的值；cos2(π 4＋ α 2)－ cos2(π 4－ α 2)sin π － α  ＋ cos 3π ＋ α (2)求 cos 的值．(2α －3π4)解：(1)∵sin ＝－ ，(α ＋π 2) 553∴cos α ＝－ ，又 α ∈(0，π)，∴sin α ＝ .55 255cos2(π 4＋ α 2)－ cos2(π 4－ α 2)sin π － α  ＋ cos 3π ＋ α ＝cos2(π 4＋ α 2)－ sin2(π 4＋ α 2)sin α － cos α＝ ＝ ＝－ .cos(π 2＋ α )sin α － cos α － sin αsin α － cos α 23(2)∵cos α ＝－ ，sin α ＝ ， α ∈(0，π)⇒sin 2α ＝－ ，55 255 45cos 2α ＝－ ，35cos ＝－ cos 2α ＋ sin 2α ＝－ .(2α －3π4) 22 22 2108．(2016·济宁模拟)已知在△ ABC 中，sin A＋cos A＝ ，15(1)求 sin Acos A；(2)判断△ ABC 是锐角三角形还是钝角三角形；(3)求 tan A 的值．解：(1)∵sin A＋cos A＝ ①15∴两边平方得 1＋2sin Acos A＝ ，125∴sin Acos A＝－ .1225(2)由(1)sin Acos A＝－ 0，cos A0，∴sin A－cos A＝ ②75∴由①、②可得 sin A＝ ，cos A＝－ ，∴tan A＝ ＝ ＝－ .45 35 sin Acos A45－ 35 434[B 级 能力突破]1．(2014·高考新课标全国卷Ⅰ)设 α ∈ ， β ∈ ，且 tan α ＝(0，π 2) (0， π 2)，则( )1＋ sin βcos βA．3 α － β ＝ B．2 α － β ＝π 2 π 2C．3 α ＋ β ＝ D．2 α ＋ β ＝π 2 π 2解析：利用诱导公式及倍角公式进行转化或利用“切化弦” ．由 tan α ＝ ，得 ＝ ，1＋ sin βcos β sin αcos α 1＋ sin βcos β即 sin α cos β ＝cos α ＋cos α sin β ，∴sin( α － β )＝cos α ＝sin .(π 2－ α )∵ α ∈ ， β ∈ ，(0，π 2) (0， π 2)∴ α － β ∈ ， － α ∈ ，(－π 2， π 2) π 2 (0， π 2)∴由 sin(α － β )＝sin ，得(π 2－ α )α － β ＝ － α ，∴2 α － β ＝ .π 2 π 2答案：B2．(2016·湖北黄州联考)若 A， B 是锐角△ ABC 的两个内角，则点 P(cos B－sin A，sin B－cos A)在( )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：∵△ ABC 是锐角三角形，则 A＋ B ，π 2∴ A － B0， B － A0，π 2 π 2∴sin Asin ＝cos B，(π 2－ B)sin Bsin ＝cos A，(π 2－ A)∴cos B－sin A0，∴点 P 在第二象限，选 B.答案：B53．已知实数 a， b 均不为零， ＝tan β ，且 β － α ＝ ，则 等于( )asin α ＋ bcos αacos α － bsin α π 6 baA. B.333C．－ D．－333解析：由 β － α ＝ ，得 β ＝ α ＋ ，故 tanβ ＝tan ＝ ＝π 6 π 6 (α ＋ π 6)tan α ＋ 331－ 33tanα，与已知比较，得 a＝3 t， b＝ t， t≠0，故 ＝ .故选 B.3sin α ＋ 3cos α3cos α － 3sin α 3 ba 33答案：B4．(2016·新疆阿勒泰一模)已知 α 为第二象限角，则 cos α ＋sin α1＋ tan2α＝________.1＋ 1tan2α解析：原式＝cos α ＋sin α · ＝cos αsin2α ＋ cos2αcos2α sin2α ＋ cos2αsin2α＋sin α · ，因为 α 是第二象限角，所以 sin α 0，cos α 0，∴ θ ∈ ，|sin θ ||cos θ |.(π 2， π )∴|tan θ |1.∴tan θ ＝－ ，舍去．故 tan θ ＝－ .33 3法二：同法一得 tan θ ＝－ 或 tan θ ＝－ ， θ ∈(0，π)．333当 tan θ ＝－ 时， θ ＝ ，sin θ ＝ ，cos θ ＝－ 满足条件；32π3 32 12当 tan θ ＝－ 时， θ ＝ ，sin θ ＝ ，cos θ ＝－ 不满足 sin θ ＋cos θ ＝33 5π6 12 32，舍去，故 tan θ ＝－ .3－ 12 3答案：－ 37．东升中学的学生王丫在设计计算函数f(x)＝ ＋ 的值的程序时，发现当 sin xsin2 3π － xsin π － x ＋ cos π ＋ x cos x－ 2π 1＋ tan π － x和 cos x 满足方程 2y2－( ＋1) y＋ k＝0 时，无论输入任意实数 k， f(x)的值都不变，你2能说明其中的道理吗？这个定值是多少？解：因为 f(x)＝ ＋ ＝ ＋sin2 3π － xsin π － x ＋ cos π ＋ x cos x－ 2π 1＋ tan π － x sin2xsin x－ cos x＝ ＝sin x＋cos x，又因为 sin x，cos x 是 2y2－( ＋1) y＋ k＝0cos x1－ sin xcos x sin2x－ cos2xsin x－ cos x 2的两根，所以 sin x＋cos x＝ ，2＋ 12所以 f(x)＝sin x＋cos x＝ ，始终是个定值，与变量无关．这个定值是 .2＋ 12 2＋ 121第三章 三角函数、解三角形 3.3 两角和与差的正弦、余弦和正切公式课时规范训练 文 北师大版[A 级 基础演练]1．(2015·高考陕西卷)“sin α ＝cos α ”是“cos 2 α ＝0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：cos 2α ＝0 等价于 cos2α －sin 2α ＝0，即 cosα ＝±sin α .由 cos α ＝sin α 可得到 cos 2α ＝0，反之不成立，故选 A.答案：A2．(2016·衡阳模拟)sin(65°－ x)cos(x－20°)＋cos(65°－ x)·cos(110°－ x)的值为( )A. B.222C. D.12 32解析：原式＝sin(65°－ x)cos(x－20°)＋cos(65°－ x)·cos[90°－( x－20°)]＝sin(65°－ x)cos(x－20°)＋cos(65°－ x)sin(x－20°)＝sin[(65°－ x)＋( x－20°)]＝sin 45°＝ .22答案：B3．4cos 50°－tan 40°＝( )A. B.22＋ 32C. D．2 －13 2解析：4cos 50°－tan 40°＝4sin 40°－sin 40°cos 40°＝ ＝4sin 40°cos 40°－ sin 40°cos 40° 2sin 80°－ sin 40°cos 40°＝sin 80°＋ sin 60°＋ 20° － sin 60°－ 20°cos 40°2＝ ＝sin 80°＋ 2cos 60°sin 20°cos 40° sin 80°＋ sin 20°cos 40°＝sin 50°＋ 30° ＋ sin 50°－ 30°cos 40°＝ ＝ · ＝ .2sin 50°cos30°cos 40° 3 cos 40°cos 40° 3答案：C4．(2016·山东德州一中月考)设 α 为锐角，若 cos ＝ ，则(α ＋π 6) 45sin ＝ __________.(α －π12)解析：因为 α 为锐角，cos ＝ ，(α ＋π 6) 45所以 sin ＝ ，(α ＋π 6) 35故 sin ＝sin ＝sin(α －π12) [(α ＋ π 6)－ π 4] (α ＋ π 6)cos －cos sin ＝ × － × ＝－ .π 4 (α ＋ π 6) π 4 35 22 45 22 210答案：－2105．(2016·武汉调研)化简 － ＝________.1sin 10° 3cos 10°解析： － ＝ ＝ ＝1sin 10° 3cos 10°cos 10°－ 3sin 10°sin 10°·cos 10° － 2sin 10°－ 30°12sin 20°＝4.2sin 20°12sin 20°答案：46．已知 α ， β ∈ ，sin( α ＋ β )＝－ ，sin ＝ ，则(3π4， π ) 35 (β － π 4) 1213cos ＝ ________.(α ＋π 4)解析：由于 α ， β ∈ ，所以 0，∴sin 4925 π 2α －cos α 2)的两根为 tan α ，tan β ，且α ， β ∈ ，则 α ＋ β ＝________.(－π 2， π 2)解析：依题意，得 tan α ＋tan β ＝－3 a7，所以Error!， α ， β ∈ ， 所以 α ＋ β ∈(－π，0)，又 tan(α ＋ β )＝(－π 2， 0)＝ ＝1，且在(－π，0)上角与正切值一对一，所以tan α ＋ tan β1－ tan α tan β － 3a1－  3a＋ 1α ＋ β ＝－ .3π4答案：－3π47．(2016·西宁一检)已知函数 f(x)＝sin x＋ acos x(x∈R)， 是函数 f(x)的一个零π 4点．(1)求 a 的值，并求函数 f(x)的单调递增区间；(2)若 α ， β ∈ ，且 f ＝ ， f ＝ ，求 sin (α ＋ β )的(0，π 2) (α ＋ π 4) 105 (β ＋ 3π4) 355值．7解：(1)∵ 是函数 f(x)的一个零点，π 4∴ f ＝sin ＋ acos ＝0，(π 4) π 4 π 4∴ a＝－1，∴ f(x)＝sin x－cos x＝ 2(22sin x－ 22cos x)＝ sin .2 (x－π 4)由 2kπ－ ≤ x－ 2kπ＋ (k∈Z)得π 2 π 4 π 22kπ－ ≤ x≤2 kπ＋ (k∈Z)，π 4 3π4∴函数 f(x)的单调递增区间是 (k∈Z)．[2kπ －π 4， 2kπ ＋ 3π4](2)∵ f ＝ ，∴ sin α ＝ ，∴sin α ＝ .(α ＋π 4) 105 2 105 55∵ α ∈ ，∴cos α ＝ ＝ .(0，π 2) 1－ sin2α 255∵ f ＝ ，∴ sin ＝ ，(β ＋3π4) 355 2 (β ＋ π 2) 355∴cos β ＝ .31010∵ β ∈ ，∴sin β ＝ ＝ ，(0，π 2) 1－ cos2β 1010∴sin ( α ＋ β )＝sin α cos β ＋cos α sin β ＝ × ＋ × ＝ .55 31010 255 1010 221第三章 三角函数、解三角形 3.4 简单的三角恒等变换课时规范训练 文 北师大版[A 级 基础演练]1．(2016·山西期中适应性训练) ＝( )sin 20°cos 20°cos 50°A．2 B.22C. D.212解析： ＝ ＝ ＝ ，选 D.sin 20°cos 20°cos 50° 12sin 40°cos 50°12sin 40°sin 40°12答案：D2．(2016·贵阳监测)若 sin ＝ ，则 sin 2α 等于( )(π 4＋ α ) 25A．－ B.825 825C．－ D.1725 1725解析：sin 2 α ＝－cos ＝2 sin 2 －1＝2× 2－1＝－ .(π 2＋ 2α ) (π 4＋ α ) (25) 1725答案：C3．(2016·银川模拟)已知 α ， β 都是锐角，若 sin α ＝ ，sin β ＝ ，则55 1010α ＋ β ＝( )A. B.π 4 3π4C. 和 D．－ 和－π 4 3π4 π 4 3π4解析：由 α ， β 都是锐角，所以 cos α ＝ ＝ ，cos β ＝ ＝1－ sin2α255 1－ sin2β.31010所以 cos(α ＋ β )＝cos α ·cos β －sin α ·sin β ＝ .22又 α ＋ β ∈(0，π)，且在(0，π)上，只有 cos ＝ ，π 4 222所以 α ＋ β ＝ .π 4答案：A4. · 的值为________．cos 2α1＋ sin 2α 1＋ tan α1－ tan α解析：原式＝ · ＝ · ＝1.cos2α － sin2α sin α ＋ cos α  21＋ sin αcos α1－ sin αcos α cos α － sin αsin α ＋ cos α sin α ＋ cos αcos α － sin α答案：15．已知 x∈ ，cos x＝ ，则 tan 2x 等于( )(－π 2， 0) 45A. B．－724 724C. D．－247 247解析：∵ x∈ ，cos x＝ .∴sin x＝－ ，(－π 2， 0) 45 35∴tan x＝－ .34∴tan 2 x＝ ＝ ＝－ .2tan x1－ tan2x2×(－ 34)1－ (－ 34)2 247答案：D6．(2016·太原模拟)已知 sin α ＋cos α ＝ ，则 cos 4α ＝__________.12解析：∵sin α ＋cos α ＝ ，∴(sin α ＋cos α )2＝ ，即 sin 2α ＝－ ，∴cos 12 14 344α ＝1－2 sin 22α ＝1－2× 2＝－ .(－34) 18答案：－187．已知函数 f(x)＝ cos ， x∈R.2 (x－π12)(1)求 f 的值；(－π 6)(2)若 cos θ ＝ ， θ ∈ ，求 f .35 (3π2， 2π ) (2θ ＋ π 3)3解：(1)因为 f(x)＝ cos ，2 (x－π12)所以 f ＝ cos(－π 6) 2 (－ π 6－ π12)＝ cos ＝ cos ＝ × ＝1.2 (－π 4) 2 π 4 2 22(2)因为 θ ∈ ，cos θ ＝ ，(3π2， 2π ) 35所以 sin θ ＝－ ＝－ ＝－ ，1－ cos2θ1－ (35)2 45cos 2θ ＝2cos 2θ －1＝2× 2－1＝－ ，(35) 725sin 2θ ＝2sin θ cos θ ＝2× × ＝－ .35 (－ 45) 2425所以 f ＝ cos(2θ ＋π 3) 2 (2θ ＋ π 3－ π12)＝ cos2 (2θ ＋π 4)＝ ×2 (22cos 2θ － 22sin 2θ )＝cos 2 θ －sin 2 θ ＝－ － ＝ .725 (－ 2425) 17258．已知函数 f(x)＝sin ＋cos ， x∈R.(x＋7π4) (x－ 3π4)(1)求 f(x)最小正周期和最小值；(2)已知 cos(β － α )＝ ，cos( β ＋ α )＝－ ，00， α ＋ ∈ ，则 α ＋ ∈ ，sin (α ＋π 4) 17 π 4 (3π4， 5π4) π 4 (π ， 5π4)＝－ ，所以 sin α ＋cos α ＝ sin ＝－ ，故选 A.(α ＋π 4) 152 2 (α ＋ π 4) 15答案：A4．已知 α 为第三象限的角，cos 2 α ＝－ ，则 tan ＝________.35 (π 4＋ 2α )5解析：∵ α 为第三象限角，cos 2 α ＝－ ，35∴sin 2 α ＝ ，∴tan 2 α ＝－ .45 43∴tan ＝ ＝ ＝－ .(π 4＋ 2α )tanπ 4＋ tan 2α1－ tanπ 4tan 2α1－ 431＋ 43 17答案：－175．化简 的结果等于________．2cos4x－ 2cos2x＋ 122tan(π 4－ x)sin2(π 4＋ x)解析：原式＝2cos2x cos2x－ 1 ＋ 122tan(π 4－ x)sin2(π 4＋ x)＝12－ 12sin22x2sin2(x＋ π 4)·tan(π 4－ x)＝12cos22x·tan(π 4＋ x)2sin2(x＋ π 4)＝12cos22x2sin(x＋ π 4)·cos(π 4＋ x)＝ ＝ ＝ cos 2x.12cos22xsin(2x＋ π 2)12cos22xcos 2x 12答案： cos 2x126．(2016·襄阳模拟)已知 sin α －cos α ＝ ，且 α ∈ ，则 的值为12 (0， π 2) cos 2αsin(a－ π 4)________．解析：由条件可得， sin ＝ ，2 (α －π 4) 126∴sin ＝ .(α －π 4) 24由 sin α －cos α ＝ 得 1－2sin α cos α ＝ ，12 14∴2sin α cos α ＝ .34∴(sin α ＋cos α )2＝1＋2sin α cos α ＝ ，74∵ α ∈ ，∴sin α ＋cos α ＝ .(0，π 2) 72∴sin 2α －cos 2α ＝ ，74故原式＝ ＝ ＝－ .cos2α － sin2αsin(α － π 4)－ 7424 142答案：－1427．已知 6sin2α ＋sin α cos α －2cos 2α ＝0， α ∈ ，求 sin 的(π 2， π ) (2α ＋ π 3)值．解：由已知得：(3sin α ＋2cos α )(2sin α －cos α )＝0.∴3sin α ＋2cos α ＝0 或 2sin α －cos α ＝0.由已知条件可知 tan α 0，∴tan α ＝－ .23sin ＝sin 2 α cos ＋cos 2 α sin(2α ＋π 3) π 3 π 3＝sin α cos α ＋ (cos2α －sin 2α )32＝ ＋ ·sin α cos αcos2α ＋ sin2α 32 cos2α － sin2αcos2α ＋ sin2α＝ ＋ · .tan α1＋ tan2α 32 1－ tan2α1＋ tan2α将 tan α ＝－ ，代入上式得23sin ＝ ＋ ×(2α ＋π 3)－ 231＋ (－ 23)2 321－ (－ 23)21＋ (－ 23)27＝－ ＋ ＝ .613 5326 53－ 12261第三章 三角函数、解三角形 3.5 三角函数的图像和性质课时规范训练 文 北师大版[A级 基础演练]1．(2015·襄阳模拟)函数 y＝ 的最小正周期是( )1－ cos xsin xA. B．ππ2C．2π D．4π解析：∵ y＝ ＝ ＝tan .1－ cos xsin x2sin2x22sinx2·cosx2 x2∴ T＝ ＝2π.π12答案：C2．(2014·高考浙江卷)为了得到函数 y＝sin 3x＋cos 3x的图像，可以将函数y＝ cos 3x的图像( )2A．向右平移 个单位 B．向左平移 个单位π4 π4C．向右平移 个单位 D．向左平移 个单位π12 π12解析：因为 y＝sin 3 x＋cos 3 x＝ sin ＝2 (3x＋π4)sin ，又 y＝ cos 3x＝ sin ＝ sin ，2 [3(x＋π12)] 2 2 (3x＋ π2) 2 [3(x＋ π6)]所以应由 y＝ cos 3x的图像向右平移 个单位得到．2π12答案：C3．(2014·高考陕西卷)函数 f(x)＝cos 的最小正周期是( )(2x－π6)A. B．ππ2C．2π D．4π解析：最小正周期为 T＝ ＝ ＝π.故选 B.2πω 2π2答案：B24．函数 f(x)＝sin x＋ cos x 的值域是 ________．3 (x∈ [－π2， π2])解析： f(x)＝sin x＋ cos x＝2sin ，又 x∈ ，所以－ ≤ x＋ ≤3 (x＋π3) [－ π2， π2] π6 π3，所以－1≤ f(x)≤2.5π6答案：[－1,2]5．(2015·高考浙江卷)函数 f(x)＝sin 2 x＋sin xcos x＋1 的最小正周期是________，最小值是________．解析： f(x)＝sin 2x＋sin xcos x＋1＝ ＋ sin 2x＋1＝ ＋ sin .1－ cos 2x2 12 32 22 (2x－ π4)故最小正周期 T＝ ＝π.当 sin ＝－1 时， f(x)取得最小值为 － ＝ .2π2 (2x－ π4) 32 22 3－ 22答案：π 3－ 226．(2015·高考陕西卷)如图，某港口一天 6时到 18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin ＋ k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为________．(π6x＋ φ )解析：分析三角函数图像，根据最小值求 k，再求最大值．根据图像得函数的最小值为 2，有－3＋ k＝2， k＝5，最大值为 3＋ k＝8.答案：87．(2015·高考重庆卷)已知函数 f(x)＝sin sin x－ cos2x.(π2－ x) 3(1)求 f(x)的最小正周期和最大值；(2)讨论 f(x)在 上的单调性．[π6， 2π3]解：(1) f(x)＝sin sin x－ cos2x(π2－ x) 3＝cos xsin x－ (1＋cos 2 x)323＝ sin 2x－ cos 2x－ ＝sin － ，12 32 32 (2x－ π3) 32因此 f(x)的最小正周期为 π，最大值为 .2－ 32(2)当 x∈ 时，0≤2 x－ ≤π，从而[π6， 2π3] π3当 0≤2 x－ ≤ ，即 ≤ x≤ 时， f(x)单调递增，π3 π2 π6 5π12当 ≤2 x－ ≤π，即 ≤ x≤ 时， f(x)单调递减．π2 π3 5π12 2π3综上可知， f(x)在 上单调递增；在 上单调递减．[π6， 5π12] [5π12， 2π3]8．(2014·高考天津卷)已知函数 f(x)＝cos x·sin － cos2x＋ ， x∈R.(x＋π3) 3 34(1)求 f(x)的最小正周期；(2)求 f(x)在闭区间 上的最大值 2和最小值－2.[－π4， π4]解：(1)由已知，有f(x)＝cos x· － cos2x＋(12sin x＋ 32cos x) 3 34＝ sin x·cos x－ cos2x＋12 32 34＝ sin 2x－ (1＋cos 2 x)＋14 34 34＝ sin 2x－ cos 2x14 34＝ sin .12 (2x－ π3)所以 f(x)的最小正周期 T＝ ＝π.2π2(2)因为 f(x)在区间 上是减函数，在区间 上是增函数，[－π4， － π12] [－ π12， π4]f ＝－ ， f ＝－ ， f ＝ ，(－π4) 14 (－ π12) 12 (π4) 14所以，函数 f(x)在闭区间 上的最大值为 ，最小值为－ .[－π4， π4] 14 12[B级 能力突破]1．(2015·三明模拟)已知函数 f(x)＝2sin( ωx ＋ φ )对任意 x都有 f ＝ f(π6＋ x)4，则 f 等于( )(π6－ x) (π6)A．2 或 0 B．－2 或 2C．0 D．－2 或 0解析：由 f ＝ f 知，函数图像关于 x＝ 对称， f 是函数 f(x)的最大(π6＋ x) (π6－ x) π6 (π6)值 2或最小值－2.答案：B2．已知函数 f(x)＝ Atan(ωx ＋ φ ) ， y＝ f(x)的部分图像如图所(ω 0， |φ |0， ω 0， |φ |1＝ f ，(x＋π4) 2 2 (π4) 2 (π2)因此 f(x)在 上不是增函数，故③正确，④不正确．综上所述，其中正确的结论是[0，π2]②③.7答案：②③7．(2016·潍坊模拟)已知函数 f(x)＝sin －4sin 2ωx ＋2( ω 0)，其图像(2ω x－π6)与 x轴相邻两个交点的距离为 .π2(1)求函数 f(x)的解析式；(2)若将 f(x)的图像向左平移 m(m0)个长度单位得到函数 g(x)的图像恰好经过点，求当 m取得最小值时， g(x)在 上的单调递增区间．(－π3， 0) [－ π6， 7π12]解：(1)函数 f(x)＝sin －4sin 2ωx ＋2(2ω x－π6)＝ sin 2ωx － cos 2ωx －4× ＋2＝ sin 2ωx ＋ cos 2ωx ＝ sin32 12 1－ cos 2ω x2 32 32 3(ω 0)，(2ω x＋π3)根据函数 f(x)的图像与 x轴相邻两个交点的距离为 ，可得函数 f(x)的最小正周期为π22× ＝ ，得 ω ＝1，π2 2π2ω故函数 f(x)＝ sin .3 (2x＋π3)(2)将 f(x)的图像向左平移 m(m0)个长度单位得到函数 g(x)＝ sin ＝3 [2 x＋ m ＋π3]sin 的图像，3 (2x＋ 2m＋π3)根据 g(x)的图像恰好经过点 ，(－π3， 0)可得 sin ＝ 0，即 sin ＝0，3 (－2π3＋ 2m＋ π3) (2m－ π3)所以 2m－ ＝ kπ( k∈Z)， m＝ ＋ (k∈Z)，π3 kπ2 π6因为 m0，所以当 k＝0 时， m取得最小值，且最小值为 .π6此时， g(x)＝ sin .3 (2x＋2π3)令 2kπ－ ≤2 x＋ ≤2 kπ＋ ， k∈Z，得 kπ－ ≤ x≤ kπ－ ， k∈Z，故函数π2 2π3 π2 7π12 π12g(x)的单调递增区间为 ， k∈Z.[kπ －7π12， kπ － π12]8结合 x∈ ，可得 g(x)在 上的单调递增区间为 和[－π6， 7π12] [－ π6， 7π12] [－ π6， － π12].[5π12， 7π12]