2017届高考数学大一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 文（课件+习题）（打包7套）北师大版.zip

主干回 顾 夯基固源 考点研析 题组 冲关 课时规 范 训练素能提升 学科培 优 确定性 互异性 无序性 a∈ A a∉A RQZN＋N符号实数集有理数集整数集正整数 集自然数集 (非负整数集 )数集列举法 描述法 相同 任何集合 任何非空集合 ⊆ ⊆ ⊆ B B⊇ A ⊆ A∩ B x∈ A， 或 x∈ B} ∁UA＝ {x|x∈ U，且 x∉A} ⊆ ⊆ ⊆ ⊆ 主干回 顾 夯基固源 考点研析 题组 冲关 课时规 范 训练素能提升 学科培 优 陈述句 陈述句 真假性 没有关系 充分 必要 充要 充要 主干回 顾 夯基固源 考点研析 题组 冲关 课时规 范 训练素能提升 学科培 优 特称命题 全称命题 反例 否定 或 且 非 真假假假假真真假真假假真假假真假真真真真綈 pp或 qp且 qqp1【高考领航】2017 届高考数学大一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 1.1 集合的概念与运算课时规范训练 文 北师大版[A 级 基础演练]1．(2015·高考天津卷)已知全集 U＝{1,2,3,4,5,6}，集合 A＝{2,3,5}，集合B＝{1,3,4,6}，则集合 A∩(∁ UB)＝( )A．{3} B．{2,5}C．{1,4,6} D．{2,3,5}解析：∁ UB＝{2,5}， A∩ ＝{2,3,5}∩{2,5}＝{2,5}．(∁UB)答案：B2．(2015·高考课标卷Ⅱ)已知集合 A＝{ x|－1x2}， N＝Error!，则 M∩ N＝( )A.Error! B.Error!C.Error! D.Error!解析：对于集合 M，由 xx2，解得 00}，12B＝Error! ，则阴影部分表示的集合是( )A．[0,1] B．[0,1)C．(0,1) D．(0,1]解析：图中阴影部分表示集合 B∩(∁ RA)，又 A＝{ x|1x2}，B＝Error! ，∴ ∁RA＝{ x|x≤1 或 x≥2}， B∩(∁ RA)＝{ x|0x≤1}．答案：D4．设集合 A＝Error!， B＝{( x， y)|y＝3 x}，则 A∩ B 的子集的个数是( )A．4 B．3C．2 D．1解析：∵集合 A＝Error!.∴ A 中的元素为椭圆 ＋ ＝1 上的点， A∩ B 中的元素为椭圆和指数函数 y＝3 x图像的x24 y2164交点，如图，可知其有两个不同交点，记为 A1， A2，则 A∩ B 的子集应为∅，{ A1}，{ A2}，{A1， A2}，共 4 个，故选 A.答案：A5．(2016·宁夏银川一中模拟)已知集合 A＝{ a， b,2}， B＝{2， b2,2a}，且A∩ B＝ A∪ B，则 a＝________.解析：因为 A∩ B＝ A∪ B，所以 A＝ B，则Error!或Error!解得Error!，或Error!所以 a 的值为 0 或 .14答案：0 或146．(2016·河南郑州质检)已知集合 A， B，定义集合 A 与 B 的一种运算 A⊕ B，其结果如下表所示：A {1,2,3,4} {－1,1} {－4,8} {－1,0,1}B {2,3,6} {－1,1} {－4，－2,0,2} {－2，－1,0,1}A⊕ B {1,4,6} ∅ {－2,0,2,8} {－2}按照上述定义，若 M＝{－2 014,0,2 015}， N＝{－2 015,0,2 016}，则 M⊕ N＝____.解析：由给出的定义知，集合 A⊕ B 的元素是由所有属于集合 A 但不属于集合 B 和属于集合 B 但不属于集合 A 的元素构成的，即 A⊕ B＝{ x|x∈ A 且 x∉B，或 x∈ B 且 x∉A}．故M⊕ N＝{－2 014,2 015，－2 015,2 016}．答案：{－2 014,2 015，－2 015,2 016}7．设函数 f(x)＝ x2－4 x＋3， g(x)＝3 x－2，集合 M＝{ x∈R| f(g(x))＞0}，N＝{ x∈R| g(x)＜2}，则 M∩ N 为______．解析：函数 f(g(x))＝(3 x－2) 2－4(3 x－2)＋3＝(3 x)2－8·3 x＋15＝(3 x－3)(3 x－5)．由 f(g(x))＞0 得(3 x－3)(3 x－5)＞0，所以 3x＞5 或 3x＜3，所以 x＞log 35 或 x＜1，所以 M＝{ x|x＞log 35 或 x＜1}．由 g(x)＜2 得 3x－2＜2，即 3x＜4，解得 x＜log 34，所以 N＝{ x|x＜log 34}．所以 M∩ N＝{ x|x＞log 35 或 x＜1}∩( x|x＜log 34)＝{ x|x＜1}．答案：{ x|x＜1}1第一章 集合与常用逻辑用语 1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件课时规范训练 文 北师大版[A 级 基础演练]1．(2015·高考重庆卷)“ x1”是“log (x＋2)1⇒log (x＋2)1 ⇒x－1，∴“ x1”是“log 12 12 12(x＋2) ，取π 32×π 3sin 2π3 43 π9 43π9 432k＝ ，不等式成立，但此时 k1，故充分性不成立．43答案：B4．有三个命题：①“若 x＋ y＝0，则 x， y 互为相反数”的逆命题；②“若 ab，则 a2b2”的逆否命题；③“若 x≤－3，则 x2＋ x－60”的否命题．其中真命题的个数为________．解析：命题①为“若 x， y 互为相反数，则 x＋ y＝0”是真命题；因为命题“若 ab，则 a2b2”是假命题，故命题②是假命题；命题③为“若 x－3，则 x2＋ x－6≤0” ，因为x2＋ x－6≤0⇔ －3≤ x≤2，故命题③是假命题，综上知真命题只有 1 个．答案：15．(2016·随州模拟)若“ x2－2 x－80”是“ x0 得 x4 或 xbc2，则 ab；②若 sin α ＝sin β ，则 α ＝ β ；③“实数 a＝0”是“直线 x－2 ay＝1 和直线 2x－2 ay＝1 平行”的充要条件；④若 f(x)＝log 2x，则 f(|x|)是偶函数．其中正确命题的序号是__________．解析：对于①， ac2bc2， c20，则 ab 正确；对于②，sin 30°＝sin 150°⇒/ 30°＝150°，所以②错误；对于③， l1∥ l2⇔A1B2＝ A2B1，即－ 2a＝－4 a⇒a＝0 且 A1C2≠ A2C1，所以③正确；④显然正确．答案：①③④7．(2016·开封调研)已知命题 P：“若 ac≥0，则一元二次方程 ax2＋ bx＋ c＝0 没有实根” ．(1)写出命题 P 的否命题；(2)判断命题 P 的否命题的真假，并证明你的结论．解：(1)命题 P 的否命题为：“若 ac＜0，则一元二次方程 ax2＋ bx＋ c＝0 有实根” ．(2)命题 P 的否命题是真命题．证明如下：∵ ac＜0，∴－ ac＞0⇒ Δ ＝ b2－4 ac＞0⇒一元二次方程 ax2＋ bx＋ c＝0 有实根．∴该命题是真命题．38．已知“| x－ a|3b3”是“loga33b3，∴ ab1，此时 loga33b3，例如当 a＝ ， b＝ 时，log a3b1.故“3 a3b3”12 13是“log a30，条件 q：lg( ＋ )有意义，则綈 p 是綈 q1＋ x 1－ x2的________条件．解析：由(1－ x)(x＋1)0，得－11.∴綈 p 綈 q，但綈 q⇒綈 p.∴綈 p 是綈 q 的必要不充分条件．答案：必要不充分5．以下关于命题的说法正确的有__________(填写所有正确命题的序号)．①“若 log2a0，则函数 f(x)＝log ax(a0， a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题；②命题“若 a＝0，则 ab＝0”的否命题是“若 a≠0，则 ab≠0” ；③命题“若 x， y 都是偶数，则 x＋ y 也是偶数”的逆命题为真命题；④命题“若 a∈ M，则 b∉M”与命题 “若 b∈ M，则 a∉M”等价．解析：对于①，若 log2a0＝log 21，则 a1，所以函数 f(x)＝log ax 在其定义域内是增函数，故①不正确；对于②，依据一个命题的否命题的定义可知，该说法正确；对于③，该命题的逆命题是“若 x＋ y 是偶数，则 x、 y 都是偶数” ，是假命题，如 1＋3＝4 是偶数，但 3 和 1 均为奇数，故③不正确；对于④，不难看出，命题“若 a∈ M，则 b∉M”与命题“若 b∈ M，则 a∉M”是互为逆否命题，因此二者等价，所以④正确．综上可知正确的说法有②④.答案：②④6．(2016·长沙模拟)若方程 x2－ mx＋2 m＝0 有两根，其中一根大于 3，另一根小于 3的充要条件是________．解析：方程 x2－ mx＋2 m＝0 对应的二次函数 f(x)＝ x2－ mx＋2 m，∵方程 x2－ mx＋2 m＝0 有两根，其中一根大于 3 一根小于 3，∴ f(3)9，即：方程 x2－ mx＋2 m＝0 有两根，其中一根大于 3 一根小于 3 的充要条件是 m9.5答案： m97．已知条件 p：|5 x－1| a，条件 q： 0，请选取适当的实数 a 的值，分别12x2－ 3x＋ 1利用所给的两个条件作为 A， B 构造命题：“若 A，则 B”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题，则这样的一个原命题可以是什么？并说明为什么这一命题是符合要求的命题．解：条件 p：即 5x－1 a，∴ x ，1－ a5 1＋ a5条件 q：2 x2－3 x＋10，∴ x1.12令 a＝4，即 p： x1.35此时必有 p⇒q 成立，反之不然，故可以选取的一个实数是 a＝4， A 为 p， B 为 q.对应的命题是若 p 则 q.(答案不唯一)1第一章 集合与常用逻辑用语 1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词课时规范训练 文 北师大版[A 级 基础演练]1．(2015·高考课标卷Ⅰ)设命题 p：存在 n∈N， n22n，则綈 p 为( )A．任意 n∈N， n22n B．存在 n∈N， n2≤2 nC．任意 n∈N， n2≤2 n D．存在 n∈N， n2＝2 n解析：因为“存在 x∈ M， p(x)”的否定是“任意 x∈ M，綈 p(x)”，所以命题“存在n∈N， n2＞2 n”的否定是“任意 n∈N， n2≤2 n”．故选 C.答案：C2．(2016·山东泰安模拟)如果命题“綈( p∨ q)”为真命题，则( )A． p， q 均为真命题B． p， q 均为假命题C． p， q 中至少有一个为真命题D． p， q 中一个为真命题，一个为假命题解析：因为綈( p∨ q)为真命题，所以 p∨ q 为假命题，所以 p， q 均为假命题，故选 B.答案：B3．(2014·高考湖北卷)命题“任意 x∈R， x2≠ x”的否定是( )A．任意 x∉R， x2≠ x B．任意 x∈R， x2＝ xC．存在 x∉R， x2≠ x D．存在 x∈R， x2＝ x解析：全称命题的否定，需要把全称量词改为特称量词，并否定结论．答案：D4．在“綈 p”， “p 且 q”， “p 或 q”形式的命题中， “p∨ q”为真， “p∧ q”为假， “綈p”为真，那么 p， q 的真假为 p________， q________.解析：∵“ p∨ q”为真，∴ p， q 至少有一个为真．又“ p∧ q”为假，∴ p， q 一个为假，一个为真．而“綈 p”为真，∴ p 为假， q 为真．答案：假 真5．(2016·锦州调研)命题“任意 x∈R， x3－ x2＋1≤0 的否定是________． ”解析：全称命题的否定是特称命题，故“任意 x∈R， x3－ x2＋1≤0”的否定是“存在x∈R， x3－ x2＋10” ．答案：存在 x∈R， x3－ x2＋1026．(2015·高考山东卷)若“任意 x∈ ，tan x≤ m”是真命题，则实数 m 的最小[0，π 4]值为________．解析：由题意，原命题等价于 tan x≤ m 在区间 上恒成立，即 y＝tan x 在[0，π 4]上的最大值小于或等于 m，又 y＝tan x 在 上的最大值为 1，所以 m≥1，即 m[0，π 4] [0， π 4]的最小值为 1.答案：17．写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)p：任意 x∈R， x2－ x＋ ≥0；14(2)q：所有的正方形都是矩形；(3)r：存在 x∈R， x2＋2 x＋2≤0；(4)s：至少有一个实数 x，使 x3＋1＝0.解：(1)綈 p：存在 x∈R， x2－ x＋ 0，真命题．(4)綈 s：任意 x∈R， x3＋1≠0，假命题．8．已知命题 p：任意 x∈[1,2]， x2－ a≥0，命题 q：存在 x∈R， x2＋2 ax＋2－ a＝0，若“ p 且 q”为真命题，求实数 a 的取值范围．解：由“ p 且 q”为真命题，则 p， q 都是真命题．p： x2≥ a 在[1,2]上恒成立，只需 a≤( x2)min＝1，所以命题 p： a≤1；q：设 f(x)＝ x2＋2 ax＋2－ a，存在 x∈R 使 f(x)＝0，只需 Δ ＝4 a2－4(2－ a)≥0，即 a2＋ a－2≥0⇒ a≥1 或 a≤－2，所以命题 q： a≥1 或 a≤－2.由Error! 得 a＝1 或 a≤－2，∴实数 a 的取值范围是 a＝1 或 a≤－2.[B 级 能力突破]1．(2016·四川绵阳模拟)下列说法中正确的是( )A．命题“任意 x∈(0，＋∞)，2 x1”的否定是“存在 x0∉(0，＋∞)，2 x0≤1”B．命题“任意 x∈(0，＋∞)，2 x1”的否定是“存在 x0∈(0，＋∞)，2 x0≤1”C．命题“若 ab，则 a2b2”的逆否命题是“若 a2b，则 a2b2”的逆否命题是“若 a2≥ b2，则 a≥ b”解析：根据命题之间的关系可知命题的否定是只否定结论，同时，全称量词要变成特3称量词，而逆否命题既要否定条件又要否定结论，且前后交换位置，故选 B.答案：B2．(2016·济南一中高考仿真)已知命题 p：“任意 x∈[1,2]， x2－ a≥0” ，命题q：“存在 x∈R， x2＋2 ax＋2－ a＝0” ．若命题“(綈 p)∧ q”是真命题，则实数 a 的取值范围是( )A． a≤－2 或 a＝1 B． a≤2 或 1≤ a≤2C． a＞1 D．－2≤ a≤1解析： p 为真时， a≤ x2， x∈[1,2]， a≤1， q 为真时， Δ ＝(2 a)2－4(2－ a)≥0，即a≥1 或 a≤－2，当綈 p∧ q 为真时，∴ p 为假， q 为真， a＞1.答案：C3．(2016·郑州高考模拟)下列说法中错误的是( )A．已知两个命题 p， q，若 p∧ q 为假命题，则 p∨ q 也为假命题B．实数 a＝0 是直线 ax－2 y＝1 与 2ax－2 y＝3 平行的充要条件C． “存在 x0∈R，使得 x ＋2 x0＋5＝0”的否定是“对任意 x∈R，都有 x2＋2 x＋5≠0”20D．命题 p：任意 x∈R， x2＋1≥1；命题 q：存在 x∈R， x2－ x＋1≤0，则命题 p∧(綈q)是真命题解析：对于 A，若 p 为真命题， q 为假命题，则满足 p∧ q 为假命题，但是 p∨ q 为真命题，A 错误；对于 B，直线 ax－2 y＝1 与 2ax－2 y＝3 平行的充要条件为－2 a－(－2)×2a＝0，解得 a＝0，B 正确；对于 C，由特称命题的否定为全称命题可知 C 正确；对于D，易知 p 为真命题， q 为假命题，所以 p∧(綈 q)为真命题，D 正确．综上所述，故选 A.答案：A4．已知命题 p： x2＋2 x－30；命题 q： 1，若綈 q 且 p 为真，则 x 的取值范围是13－ x________．解析：因为綈 q 且 p 为真，即 q 假 p 真，而 q 为真命题时， 0，解得 x1 或 x0 成立； q：关于 x的方程 x2－ x＋ a＝0 有实数根．如果 p∨ q 为真命题， p∧ q 为假命题，那么实数 a 的取值范围为________．解析：当 p 为真命题时，“对任意实数 x 都有 ax2＋ ax＋10 成立”⇔ a＝0 或Error!∴0≤ a ，14即 a4；14若 p 假 q 真，则有Error! 即 a0.故实数 a 的取值范围为(－∞，0)∪ .(14， 4)答案：(－∞，0)∪ (14， 4)6．(2016·河北衡水调研)直线 x＝1 与抛物线 C： y2＝4 x 交于 M， N 两点，点 P 是抛物线 C 准线上的一点，记 ＝ a ＋ b (a， b∈R)，其中 O 为抛物线的顶点．OP→ OM→ ON→ (1)当 与 平行时， b＝________；OP→ ON→ (2)给出下列命题：①任意 a， b∈R，△ PMN 不是等边三角形；②存在 a0 且 b0，使得 与 垂直；OP→ ON→ ③无论点 P 在准线上如何运动， a＋ b＝－1 恒成立．其中，所有正确命题的序号是________．解析：(1)∵ ＝(1,2)， ＝(1，－2)，OM→ ON→ ∴ ＝ a ＋ b ＝( a＋ b,2a－2 b)．OP→ OM→ ON→ ∵ ∥ ，∴2 a－2 b＋2( a＋ b)＝0，OP→ ON→ ∴ a＝0.∵抛物线的准线为 x＝－1，点 P 在准线上，∴ P 点的横坐标为－1，∴ a＋ b＝－1，∴ b＝－1.(2)对于①，假设△ PMN 是等边三角形，则 P(－1,0)，|PM|＝2 ，| MN|＝4，| MN|≠| PM|，这与假设矛盾，∴假设不成立，原结论正确；对于25②， 与 垂直， · ＝0，得到 a＝ b，∴②正确；③显然成立．OP→ ON→ OP→ ON→ 53答案：(1)－1 (2)①②③7．已知 c＞0，设命题 p：函数 y＝ cx为减函数．命题 q：当 x∈ 时，函数 f(x)[12， 2]＝ x＋ ＞ 恒成立．如果 p 或 q 为真命题， p 且 q 为假命题，求 c 的取值范围．1x 1c解：由命题 p 知：0＜ c＜1.由命题 q 知：2≤ x＋ ≤ ，1x 52要使此式恒成立，则 ＜2，即 c＞ .1c 12又由 p 或 q 为真， p 且 q 为假知，p、 q 必有一真一假，当 p 为真， q 为假时， c 的取值范围为 0＜ c≤ .12当 p 为假， q 为真时， c≥1.综上， c 的取值范围是Error!.1【高考领航】2017 届高考数学大一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 文 北师大版第 1 课时 集合的概念与运算1．集合的含义与表示(1)了解集合的含义、元素与集合的属于关系．(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．2．集合间的基本关系(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义．3．集合的基本运算(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用 Venn 图表达集合的关系及运算．1．集合与元素(1)集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性．(2)集合与元素的关系① a 属于集合 A，用符号语言记作 a∈ A.② a 不属于集合 A，用符号语言记作 a∉A.(3)常见集合的符号表示数集自然数集(非负整数集)正整数集 整数集有理数集实数集符号 N N＋ Z Q R(4)集合的表示法：列举法、描述法、Venn 图法．2．集合间的基本关系表示关系 文字语言 符号语言相等 集合 A 与集合 B 中的所有元素相同 A⊆B 且 B⊆A⇔A＝ B子集 A 中任意一个元素均为 B 中的元素 A⊆B 或 B⊇A真子集 A 中任意一个元素均为 B 中的元素，且 B 中至少有一个元素不是 A 中的元素 A B 或 B A空集 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 ∅⊆A，∅ B(B≠∅)3.集合的基本运算集合的并集 集合的交集 集合的补集2符号表示 A∪ B A∩ B 若全集为 U，则集合 A 的补集为∁UA图形表示意义 {x|x∈ A，或 x∈ B} {x|x∈ A，且 x∈ B} ∁UA＝ {x|x∈ U，且 x∉A}性质A⊆A∪ BB⊆A∪ B A∪ B＝ B⇔A⊆BA∩ B⊆A A∩ B⊆B A∩ B＝ A⇔A⊆B∁U(A∩ B)＝(∁ UA)∪(∁ UB) ∁U(A∪ B)＝(∁ UA)∩(∁ UB)[基础自测]1．设全集 U＝{1,2,3,4,5}，集合 M＝{1,4}， N＝{1,3,5}，则 N∩(∁ UM)＝( )A．{1,3} B．{1,5}C．{3,5} D．{4,5}解析：∵∁ UM＝{2,3,5}，∴ N∩∁ UM＝{1,3,5}∩{2,3,5}＝{3,5}．答案：C2．(教材改编题)设集合 A＝{ x|2≤ x2} D．{ x|x≥2}解析：∵ B＝{ x|3x－7≥8－2 x}＝{ x|5x≥15}＝{ x|x≥3}，∴ A∩ B＝{ x|3≤ x4，即 c＝4.(2)依题意， P∩ Q＝ Q， Q⊆P，于是Error!解得 6＜ a≤9，即实数 a 的取值范围是(6,9]，选 D.答案 (1)4 (2)D(1)已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系式．解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图帮助分析．(2)①通过集合之间的关系，求参数的取值范围，最终是要通过比较区间端点的大小来实现，因此确定两个集合内的元素，成为解决该类问题的关键．由于元素的属性中含有参数，所以分类讨论成为必然，分类讨论时要注意不重不漏．②对于集合的包含关系， B⊆A 时，别忘记 B＝∅的情况．对于端点的虚实可单独验证．1．(2016·厦门模拟)已知集合 A＝ ， B∩ A＝ ， B∪ A＝ ，则集合 B 的子集的个数为( ){1， 2， 3} {3} {1， 2， 3， 4， 5}A．6 B．7C．8 D．9解析：由题意知 B＝ ，集合 B 含有 3 个元素，则其子集个数为 23＝8(个)．{3， 4， 5}答案：C2．已知集合 A＝{1， a}， B＝{1,2,3}，则“ a＝3”是“ A⊆B”的( )A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解析：利用命题的真假判断充要条件．∵ A＝{1， a}， B＝{1,2,3}， A⊆B，∴ a∈ B 且 a≠1，∴ a＝2 或 3，∴“ a＝3”是“ A⊆B”的充分而不必要条件．6答案：A考点三 集合的基本运算[例 3] (1)(2014·高考广东卷)已知集合 M＝{－1,0,1}， N＝{0,1,2}，则 M∪ N＝( )A．{0,1} B．{－1,0,2}C．{－1,0,1,2} D．{－1,0,1}(2)(2014·高考山东卷)设集合 A＝{ x||x－1|x2}， N＝Error!，则 M∩ N＝( )A.Error! B．Error!C.Error! D．Error!解析：对于集合 M，由 xx2，解得 00}， B＝Error!，则阴影部分表示的集合是( )12A．[0,1] B．[0,1)C．(0,1) D．(0,1]解析：图中阴影部分表示集合 B∩(∁ RA)，又 A＝{ x|12”是“ 2 则 2.1x12 1x12如当 x＝－1 时， ＝－1b，则 a－1 b－1C．若 a－1 b－1，则 ab D．若 a≥ b，则 a－1≥ b－113解析：“若 p，则 q”的逆否命题为“若綈 q，则綈 p”，故选 A.答案：A4．若集合 A＝{1， m2}， B＝{2,4}，则“ m＝2”是“ A∩ B＝{4}”的________条件．解析： m＝2⇒ A∩ B＝{4}，但 A∩ B＝4 m＝2.答案：充分不必要5．(教材改编题)下列命题中所有真命题的序号是________．①“ ab”是“ a2b2”的充分条件；②“| a||b|”是“ a2b2”的必要条件；③“ ab”是“ a＋ cb＋ c”的充要条件．解析：① ab a2b2，为假．② a2b2⇒|a||b|，为真．③ ab⇔a＋ cb＋ c，为真．答案：②③考点一 四种命题及其关系[例 1] (1)命题“若 a＞ b，则 2a＞2 b”的否命题是( )A．若 a＞ b，则 2a≤2 b B．若 2a＞2 b，则 a＞ bC．若 a≤ b，则 2a≤2 b D．若 2a≤2 b，则 a≤ b(2)(2014·高考辽宁卷)设 a， b， c 是非零向量．已知命题 p：若 a·b＝0， b·c＝0，则 a·c＝0；命题 q：若 a∥ b， b∥ c，则 a∥ c.则下列命题中真命题是( )A． p∨ q B． p∧ qC．(綈 p)∧(綈 q) D． p∨(綈 q)审题视点 (1)根据否命题的定义改写．(2)先判断命题的真假，再利用含逻辑联结词命题真假的判断进行求解．解析 (1)否命题为“若 a≤ b，则 2a≤2 b”．(2)法一：取 a＝ c＝(1,0)， b＝(0,1)，显然 a·b＝0， b·c＝0，但 a·c＝1≠0，∴ p 是假命题．a， b， c 是非零向量，由 a∥ b 知 a＝ xb，由 b∥ c 知 b＝ yc，∴ a＝ xyc，∴ a∥ c，∴ q 是真命题．综上知 p∨ q 是真命题， p∧ q 是假命题．又∵綈 p 为真命题，綈 q 为假命题，∴(綈 p)∧(綈 q)， p∨(綈 q)都是假命题．法二：由于 a， b， c 都是非零向量，∵ a·b＝0，∴ a⊥ b.∵ b·c＝0，∴ b⊥ c.如图，则可能 a∥ c，∴ a·c≠0，∴命题 p 是假命题，∴綈p 是真命题．命题 q 中， a∥ b，则 a 与 b 方向相同或相反； b∥ c，则 b 与 c 方向相同或相反．故 a 与 c 方向相同或相反，∴ a∥ c，即 q 是真命题，则綈 q 是假命题，故 p∨ q 是真命题， p∧ q，(綈 p)∧(綈 q)， p∨(綈 q)都是假命题．14答案 (1)C (2)A在根据给出的命题构造其逆命题、否命题、逆否命题时，首先要把原命题的条件和结论弄清楚，这样逆命题就是把原命题的条件和结论交换了的命题，否命题就是把原命题中否定了的条件作条件、否定了的结论作结论的命题，逆否命题就是把原命题中否定了的结论作条件、否定了的条件作结论的命题．在这四种命题中原命题和逆否命题等价、否命题和逆命题互为逆否命题也是等价的．1．(2014·高考陕西卷)原命题为“若 z1， z2互为共轭复数，则| z1|＝| z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A．真，假，真 B．假，假，真C．真，真，假 D．假，假，假解析：原命题正确，所以逆否命题正确．模相等的两复数不一定互为共轭复数，同时因为逆命题与否命题互为逆否命题，所以逆命题和否命题错误．故选 B.答案：B2．(2016·菏泽模拟)有以下命题：①“若 xy＝1，则 x， y 互为倒数”的逆命题；②“面积相等的两个三角形全等”的否命题；③“若 m≤1，则 x2－2 x＋ m＝0 有实数解”的逆否命题；④“若 A∩ B＝ B，则 A⊆B”的逆否命题．其中正确的命题为( )A．①② B．②③C．④ D．①②③解析：①“若 x， y 互为倒数，则 xy＝1”是真命题；②“面积不相等的三角形一定不全等”是真命题；③若 m≤1， Δ ＝4－4 m≥0，所以原命题为真命题，故其逆否命题也是真命题；④由 A∩ B＝ B，得 B⊆A，所以原命题为假命题，故其逆否命题也是假命题．故选 D.答案：D考点二 充分条件与必要条件的判断[例 2] (1)(2014·高考安徽卷)“ x＜0”是“ln( x＋1)＜0”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件(2)已知 p：| x－10|＋|9－ x|≥ a 的解集为 R， q： ＜1，则綈 p 是 q 的( )1a15A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件审题视点 (1)根据 ln(x＋1)＜0 求出 x 的范围后判断．(2)利用集合的包含关系判断．解析 (1)∵ln( x＋1)＜0，∴0＜ x＋1＜1，∴－1＜ x＜0.∵ x＜0 是－1＜ x＜0 的必要不充分条件，故选 B.(2)∵| x－10|＋|9－ x|≥1，∴当| x－10|＋|9－ x|≥ a 的解集为 R 时， a≤1，∴綈 p 是 a＞1，由 0)，且綈 p 是綈 q 的必要而不充分条件，求实数 m 的取值范围．|1－x－ 13 |审题视点 (1)先求出两命题的解集，即将命题化为最简．(2)再利用命题间的关系列出关于 m 的不等式或不等式组，得出结论．解 法一：由 q： x2－2 x＋1－ m2≤0，得 1－ m≤ x≤1＋ m，∴綈 q： A＝{ x|x1＋ m 或 x0}，由 ≤2，解得－2≤ x≤10，|1－x－ 13 |∴綈 p： B＝{ x|x10 或 x9.∴ m≥9.法二：∵綈 p 是綈 q 的必要而不充分条件，∴ p 是 q 的充分而不必要条件，由 q： x2－2 x＋1－ m2≤0，得 1－ m≤ x≤1＋ m，∴ q： Q＝{ x|1－ m≤ x≤1＋ m}，由 ≤2，解得－2≤ x≤10，|1－x－ 13 |∴ p： P＝{ x|－2≤ x≤10}．∵ p 是 q 的充分而不必要条件，∴ P Q，即Error!或Error! ，即 m≥9 或 m9.∴ m≥9.本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题化归为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键．1．已知条件 p： ≤－1，条件 q： x2＋ x5}， P＝{ x|(x－ a)·(x－8)≤0}．(1)求实数 a 的取值范围，使它成为 M∩ P＝{ x|51”是“log (x＋2)1⇒log (x＋2)1⇒ x－1，∴“ x1”是“log (x＋2) ，取 k＝ ，不等式成立，但此时 k1，故充分性不成立．π 32×π 3sin 2π3 43 π9 43π9 43 43答案：B4．有三个命题：①“若 x＋ y＝0，则 x， y 互为相反数”的逆命题；②“若 ab，则 a2b2”的逆否命题；③“若 x≤－3，则 x2＋ x－60”的否命题．其中真命题的个数为________．解析：命题①为“若 x， y 互为相反数，则 x＋ y＝0”是真命题；因为命题“若 ab，则 a2b2”是假命题，故命题②是假命题；命题③为“若 x－3，则 x2＋ x－6≤0” ，因为 x2＋ x－6≤0⇔－3≤ x≤2，故命题③是假命题，综上知真命题只有 1 个．答案：15．(2016·随州模拟)若“ x2－2 x－80”是“ x0 得 x4 或 xbc2，则 ab；②若 sin α ＝sin β ，则 α ＝ β ；③“实数 a＝0”是“直线 x－2 ay＝1 和直线 2x－2 ay＝1 平行”的充要条件；④若 f(x)＝log 2x，则 f(|x|)是偶函数．其中正确命题的序号是__________．解析：对于①， ac2bc2， c20，则 ab 正确；对于②，sin 30°＝sin 150°⇒/ 30°＝150°，所以②错误；对于③， l1∥ l2⇔A1B2＝ A2B1，即－2 a＝－4 a⇒a＝0 且 A1C2≠ A2C1，所以③正确；④显然正确．答案：①③④7．(2016·开封调研)已知命题 P：“若 ac≥0，则一元二次方程 ax2＋ bx＋ c＝0 没有实根” ．(1)写出命题 P 的否命题；(2)判断命题 P 的否命题的真假，并证明你的结论．解：(1)命题 P 的否命题为：“若 ac＜0，则一元二次方程 ax2＋ bx＋ c＝0 有实根” ．(2)命题 P 的否命题是真命题．证明如下：∵ ac＜0，∴－ ac＞0⇒ Δ ＝ b2－4 ac＞0⇒一元二次方程 ax2＋ bx＋ c＝0 有实根．∴该命题是真命题．8．已知“| x－ a|3b3”是“log a33b3，∴ ab1，此时 loga33b3，例如当 a＝ ， b＝ 时，log a3b1.故“3 a3b3”是“log a30，条件 q：lg( ＋ )有意义，则綈 p 是綈 q 的________条件．1＋ x 1－ x2解析：由(1－ x)(x＋1)0，得－11.∴綈 p 綈 q，但綈 q⇒綈 p.∴綈 p 是綈 q 的必要不充分条件．答案：必要不充分5．以下关于命题的说法正确的有__________(填写所有正确命题的序号)．①“若 log2a0，则函数 f(x)＝log ax(a0， a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题；②命题“若 a＝0，则 ab＝0”的否命题是“若 a≠0，则 ab≠0” ；③命题“若 x， y 都是偶数，则 x＋ y 也是偶数”的逆命题为真命题；④命题“若 a∈ M，则 b∉M”与命题 “若 b∈ M，则 a∉M”等价．解析：对于①，若 log2a0＝log 21，则 a1，所以函数 f(x)＝log ax 在其定义域内是增函数，故①不正确；对于②，依据一个命题的否命22题的定义可知，该说法正确；对于③，该命题的逆命题是“若 x＋ y 是偶数，则 x、 y 都是偶数” ，是假命题，如 1＋3＝4 是偶数，但 3 和 1 均为奇数，故③不正确；对于④，不难看出，命题“若 a∈ M，则 b∉M”与命题“若 b∈ M，则 a∉M”是互为逆否命题，因此二者等价，所以④正确．综上可知正确的说法有②④.答案：②④6．(2016·长沙模拟)若方程 x2－ mx＋2 m＝0 有两根，其中一根大于 3，另一根小于 3 的充要条件是________．解析：方程 x2－ mx＋2 m＝0 对应的二次函数 f(x)＝ x2－ mx＋2 m，∵方程 x2－ mx＋2 m＝0 有两根，其中一根大于 3 一根小于 3，∴ f(3)9，即：方程 x2－ mx＋2 m＝0 有两根，其中一根大于 3 一根小于 3 的充要条件是 m9.答案： m97．已知条件 p：|5 x－1| a，条件 q： 0，请选取适当的实数 a 的值，分别利用所给的两个条件作为 A， B 构造命题：“若 A，12x2－ 3x＋ 1则 B”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题，则这样的一个原命题可以是什么？并说明为什么这一命题是符合要求的命题．解：条件 p：即 5x－1 a，∴ x ，1－ a5 1＋ a5条件 q：2 x2－3 x＋10，∴ x1.12令 a＝4，即 p： x1.35此时必有 p⇒q 成立，反之不然，故可以选取的一个实数是 a＝4， A 为 p， B 为 q.对应的命题是若 p 则 q.(答案不唯一)第 3 课时 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．了解逻辑联结词“或” “且” “非”的含义．2．理解全称量词与存在量词的意义．3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．1．全称量词、存在量词与全称命题、特称命题232．全称命题与特称命题的否定全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．要说明一个全称命题是错误的，只要举出一个反例即可，要说明特称命题是错误的，只要说明这个特称命题的否定是正确的即可．3．逻辑联结词(1)逻辑联结词通常是指“或” “且” “非” ．(2)命题 p 且 q， p 或 q，綈 p 的真假判断.p q p 且 q p 或 q 綈 p真 真 真 真 假真 假 假 真 假假 真 假 真 真假 假 假 假 真[基础自测]1．已知命题 p：任意 x∈R，sin x≤1，则( )A．綈 p：存在 x∈R，sin x≥1 B．綈 p：任意 x∈R，sin x≥1C．綈 p：存在 x∈R，sin x1 D．綈 p：任意 x∈R，sin x1解析：全称量词的否定应为存在量词．答案：C2．已知命题： p：3≥3； q：34，则下列选项正确的是( )A． p∨ q 为假， p∧ q 为假，綈 p 为真B． p∨ q 为真， p∧ q 为假，綈 p 为真C． p∨ q 为假， p∧ q 为假，綈 p 为假D． p∨ q 为真， p∧ q 为假，綈 p 为假解析：∵命题 p：3≥3 是真命题， q：34 是假命题，∴ p∨ q 为真， p∧ q 为假，綈 p 为假．答案：D3．如果命题“ p 或 q”是真命题，命题“ p 且 q”是假命题，那么( )A．命题 p 和 q 都是假命题 B．命题 p 和 q 都是真命题24C．命题 p 和 q 真假不相同 D．以上答案都不对解析：据“ p 或 q”一真则真， “p 且 q”一假则假知 p 和 q 一真一假．答案：C4．命题：“存在 x∈R，使得 ex＋2 x－3＝0”的否定是________．解析：“存在量词”的否定是“全称量词” ， “＝”的否定是“≠” ．答案：任意 x∈R，e x＋2 x－3≠05．(教材改编题)命题“方程 x2－2 x－3＝0 有且只有一个根是奇数”的否定是________．解析：一元二次方程最多有两个根，所以“有且只有一个”的否定是“有两个或没有” ．答案：方程 x2－2 x－3＝0 有两个根是奇数或没有奇数根考点一 含有逻辑联结词的命题的真假判断[例 1] (2014·高考湖南卷)已知命题 p：若 x＞ y，则－ x＜－ y；命题 q：若 x＞ y，则 x2＞ y2.在命题① p∧ q；② p∨ q；③ p∧(綈 q)；④(綈 p)∨ q 中，真命题是( )A．①③ B．①④C．②③ D．②④审题视点 先判定 p 与 q 的真假，再根据真值表求解．解析 当 x＞ y 时，－ x＜－ y，故命题 p 为真命题，从而綈 p 为假命题．当 x＞ y 时， x2＞ y2不一定成立，故命题 q 为假命题，从而綈 q 为真命题．由真值表知，① p∧ q 为假命题；② p∨ q 为真命题，③ p∧(綈 q)为真命题；④(綈 p)∨ q 为假命题．故选 C.答案 C根据 p， q 的真假，判断所给命题的真假，考察综合运用知识分析问题的能力及逻辑思维能力．1．已知命题 p：存在实数 x，使 sin x＝ 成立；命题 q： x2－3 x＋2＜0 的解集为(1,2)．给出下列四个结论：①命题“ p∧ q”是真命题；π 2②命题“ p∧綈 q”是假命题；③命题“綈 p∧ q”是真命题；④命题“綈 p∨綈 q”是假命题．其中正确的结论是( )A．②③ B．②④C．①②④ D．①②③④解析：由|sin x|≤1 得命题 p 是假命题，则綈 p 是真命题；由一元二次不等式的解法得命题 q 是真命题，则綈 q 是假命题．根据复合命题间的关系知②③正确，故选 A.答案：A2．(2016·长春调研)给定命题 p：函数 y＝sin 和函数 y＝cos 的图像关于原点对称；命题 q：当 x＝ kπ＋ (k∈Z)时，(2x＋π 4) (2x－ 3π4) π 225函数 y＝ (sin 2x＋cos 2 x)取得极小值．下列说法正确的是( )2A． p∨ q 是假命题 B．(綈 p)∧ q 是假命题C． p∧ q 是真命题 D．(綈 p)∨ q 是真命题解析：命题 p 中 y＝cos ＝cos ＝cos ＝sin 与 y＝sin 关于原点对称，故 p 为真命题；(2x－3π4) (2x－ π 4－ π 2) [π 2－ (2x－ π 4)] (2x－ π 4) (2x＋ π 4)命题 q 中 y＝ (sin 2x＋cos 2x)＝2sin 取极小值时，2 x＋ ＝2 kπ－ ，则 x＝ kπ－ ， k∈ Z，故 q 为假命题，则綈 p∧ q 为假命2 (2x＋π 4) π 4 π 2 3π8题，故选 B.答案：B考点二 全称命题、特称命题的真假判断[例 2] 判断下列命题是否是全称命题或特称命题？若是，判断其真假．(1)对 f(x)的定义域内任意两个自变量的值 x1， x2，当 x10.审题视点 判断一个命题是全称命题还是特称命题，主要看命题中是否含有全称量词或存在量词，对于有的题目隐含了全称量词或存在量词，要注意对其进行改写来找到．解 (1)命题中含有全称量词“任意” “都” ，是全称命题，由增函数的定义可知，是真命题．(2)命题中含有存在量词“至少有一个” ，是特称命题．因为当 α ＝－ 时，sin ＝cos ＝－ ，3π4 (－ 3π4) (－ 3π4) 22所以是真命题．(3)命题中省略全称量词“所有的” ，原命题可叙述为“平行于同一条直线的(所有的)直线互相平行” ，是全称命题．根据公理 4 知，是真命题．(4)命题中含有存在量词“有” ，是特称命题．因为 f f 0 不成立，是假命题．(1)要判定全称命题是真命题，需对集合 M 中每个元素 x，证明 p(x)成立；如果在集合 M 中找到一个元素 x0，使得 p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题；(2)要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合 M 中，至少能找到一个 x0，使 p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．261．(2016·泰安一模)下列命题中的真命题是( )A．存在 x∈R，sin x＋cos x＝32B．任意 x∈(0，π)，sin x＞cos xC．存在 x∈(－∞，0)，2 x＜3 xD．任意 x∈(0，＋∞)，e x＞ x＋1解析：sin x＋cos x≤ ＜ ，A 错； x∈ ，232 (0， π 4)sin x＜cos x，B 错； x∈(－∞，0)，2 x＞3 x，C 错．答案：D2．若“ p：存在 x0∈[1,4]，log x0≤ a”是真命题，则实数 a 的最小值是( )12A．0 B．1 C．－2 D．－1解析：问题可转化为 y＝log x0在 x0∈[1,4]上的取值范围，则 y∈[－2,0]，故选 C.12答案：C考点三 含有一个量词的命题的否定[例 3] (1)命题“存在实数 x，使 x＞1”的否定是( )A．对任意实数 x，都有 x＞1 B．不存在实数 x，使 x≤1C．对任意实数 x，都有 x≤1 D．存在实数 x，使 x≤1(2)若命题 p：任意 x∈ ，tan x＞sin x 的否定是( )(－π 2， π 2)A．存在 x0∈ ，tan x0≥sin x0(－π 2， π 2)B．存在 x0∈ ，tan x0＞sin x0(－π 2， π 2)C．存在 x0∈ ，tan x0≤sin x0(－π 2， π 2)D．存在 x0∈ ∪ ，tan x0＞sin x0(－ ∞ ， －π 2) (π 2， ＋ ∞ )审题视点 (1)这是特称命题，其否定为全称命题．(2)这是全称命题，其否定为特称命题．解析 (1)“存在”的否定为“任意” ， “”的否定为“≤” ，故命题的否定为对任意实数 x，都有 x≤1，故选 C.(2)任意 x 的否定为存在 x0， “”的否定为“≤” ．所以命题的否定为“存在 x0∈ ，(－π 2， π 2)27tan x0≤sin x0”．答案 (1)C (2)C(1)全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可．(2)量词的几种否定形式1．(2015·高考浙江卷)命题“任意 n∈N ＋ ， f(n)∈N ＋ 且 f(n)≤ n”的否定形式是( )A．任意 n∈N ＋ ， f(n)∉N＋ 且 f(n)nB．任意 n∈ N ＋ ， f(n)∉N＋ 或 f(n)nC．存在 n0∈N ＋ ， f(n0)∉N＋ 且 f(n0)n0D．存在 n0∈N ＋ ， f(n0)∉N＋ 或 f(n0)n0解析：根据全称命题的否定是特称命题求解．写全称命题的否定时，要把量词任意改为存在，并且否定结论，注意把“且”改为“或” ．答案：D2．(2016·湖北八校联考)已知命题 p：所有指数函数都是单调函数，则綈 p 为( )A．所有的指数函数都不是单调函数B．所有的单调函数都不是指数函数C．存在一个指数函数，它不是单调函数D．存在一个单调函数，它不是指数函数解析：命题 p：所有指数函数都是单调函数，则綈 p 为：存在一个指数函数，它不是单调函数．答案：C28借助常用逻辑用语求解参数问题[典例] (2015·常州模拟)已知 c0，且 c≠1，设 p：函数 y＝ cx在 R 上单调递减； q：函数 f(x)＝ x2－2 cx＋1 在 上为增函数，(12， ＋ ∞ )若“ p 且 q”为假， “p 或 q”为真，求实数 c 的取值范围．解题指南 (1) p， q 真时，分别求出相应的 c 的范围；(2)用补集的思想求出綈 p，綈 q 分别对应的 c 的范围；(3)根据“ p 且 q”为假、“p 或 q”为真，确定 p， q 的真假．解 ∵函数 y＝ cx在 R 上单调递减，∴00 且 c≠1，∴綈 p： c1.……3 分 又∵ f(x)＝ x2－2 cx＋1 在 上为增函数，(12， ＋ ∞ )∴ c≤ .即 q：00 且 c≠1，∴綈 q： c 且 c≠1.6 分 12又∵“ p 或 q”为真， “p 且 q”为假，∴ p 真 q 假或 p 假 q 真.7 分 ①当 p 真， q 假时，{ c|01}∩Error!＝∅.11 分 综上所述，实数 c 的取值范围是Error!.12 分 【思维流程】由 y＝ cx的单调性求 c 的范围．求綈 p 中 c 的范围．由 f(x)＝ x2－2 cx＋1 的单调性，求 c 的范围．求綈 q 中 c 的范围．判断 p、 q 的真假．求 p 真， q 假时， c 的范围．求 p 假， q 真时， c 的范围．综述．阅卷点评 解决此类问题的关键是首先准确地把每个条件所对应的参数的取值范围求出来，然后转化为集合交、并、补的基本运算．误区警示 利用常用逻辑用语求解参数的取值范围主要涉及两类问题：一是利用一些含有逻辑联结词命题的真假来确定参数的取值范围；二是利用充要条件来确定参数的取值范围．求解时，一定要注意取值区间端点值的检验，处理不当容易出现漏解或增解的现象．备考建议 (1)解决此类题目首先是合理转化条件、运用有关性质、定理等得到参数的方程或不等式，然后通过解方程或不等式求得所求问题．(2)简单逻辑联结词的考查注重基础、注重交汇，较多地考查简单逻辑与其他知识的综合问题，要注意其他知识的提取与应用，一般先化简转化命题，再处理关系．29◆一个关系逻辑联结词与集合的关系“且、或、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“交、并、补” ，因此，常常借助集合的“交、并、补”的意义来解答由“且、或、非”三个联结词构成的命题问题．◆两种“否”否命题与命题的否定是两个不同的概念：否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造的一个新命题；而命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法．如命题 p：已知实数 a、 b，若| a|＋| b|＝0，则 a＝ b.否命题：已知实数 a、 b，若| a|＋| b|≠0，则 a≠ b.命题的否定：已知实数 a、 b，若|a|＋| b|＝0，则 a≠ b.◆三条规律(1)对于“ p 且 q”命题：一假则假；(2)对“ p 或 q”命题：一真则真；(3)对“綈 p”命题：与“ p”命题真假相反．课时规范训练[A 级 基础演练]1．(2015·高考课标卷Ⅰ)设命题 p：存在 n∈N， n22n，则綈 p 为( )A．任意 n∈N， n22n B．存在 n∈N， n2≤2 nC．任意 n∈N， n2≤2 n D．存在 n∈N， n2＝2 n解析：因为“存在 x∈ M， p(x)”的否定是“任意 x∈ M，綈 p(x)”，所以命题“存在 n∈N， n2＞2 n”的否定是“任意 n∈N， n2≤2 n”．故选C.答案：C2．(2016·山东泰安模拟)如果命题“綈( p∨ q)”为真命题，则( )A． p， q 均为真命题B． p， q 均为假命题C． p， q 中至少有一个为真命题D． p， q 中一个为真命题，一个为假命题解析：因为綈( p∨ q)为真命题，所以 p∨ q 为假命题，所以 p， q 均为假命题，故选 B.答案：B3．(2014·高考湖北卷)命题“任意 x∈R， x2≠ x”的否定是( )A．任意 x∉R， x2≠ x B．任意 x∈R， x2＝ xC．存在 x∉R， x2≠ x D．存在 x∈R， x2＝ x30解析：全称命题的否定，需要把全称量词改为特称量词，并否定结论．答案：D4．在“綈 p”， “p 且 q”， “p 或 q”形式的命题中， “p∨ q”为真， “p∧ q”为假， “綈 p”为真，那么 p， q 的真假为p________， q________.解析：∵“ p∨ q”为真，∴ p， q 至少有一个为真．又“ p∧ q”为假，∴ p， q 一个为假，一个为真．而“綈 p”为真，∴ p 为假， q 为真．答案：假 真5．(2016·锦州调研)命题“任意 x∈R， x3－ x2＋1≤0 的否定是________． ”解析：全称命题的否定是特称命题，故“任意 x∈R， x3－ x2＋1≤0”的否定是“存在 x∈R， x3－ x2＋10” ．答案：存在 x∈R， x3－ x2＋106．(2015·高考山东卷)若“任意 x∈ ，tan x≤ m”是真命题，则实数 m 的最小值为________．[0，π 4]解析：由题意，原命题等价于 tan x≤ m 在区间 上恒成立，即 y＝tan x 在 上的最大值小于或等于 m，又 y＝tan x 在[0，π 4] [0， π 4]上的最大值为 1，所以 m≥1，即 m 的最小值为 1.[0，π 4]答案：17．写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)p：任意 x∈R， x2－ x＋ ≥0；14(2)q：所有的正方形都是矩形；(3)r：存在 x∈R， x2＋2 x＋2≤0；(4)s：至少有一个实数 x，使 x3＋1＝0.解：(1)綈 p：存在 x∈R， x2－ x＋ 0，真命题．(4)綈 s：任意 x∈R， x3＋1≠0，假命题．8．已知命题 p：任意 x∈[1,2]， x2－ a≥0，命题 q：存在 x∈R， x2＋2 ax＋2－ a＝0，若“ p 且 q”为真命题，求实数 a 的取值范围．解：由“ p 且 q”为真命题，则 p， q 都是真命题．p： x2≥ a 在[1,2]上恒成立，只需 a≤( x2)min＝1，所以命题 p： a≤1；q：设 f(x)＝ x2＋2 ax＋2－ a，存在 x∈R 使 f(x)＝0，只需 Δ ＝4 a2－4(2－ a)≥0，