2017届高考数学一轮复习 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入练习 文（打包5套）.zip

14-1 平面向量的概念及线性运算练习 文[A 组·基础达标练]1．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量．②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．③ λ a＝0( λ 为实数)，则 λ 必为零．④ λ ， μ 为实数，若 λ a＝ μ b，则 a 与 b 共线．其中错误的命题的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4答案 C解析 ①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点．②正确，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．③错误，当a＝0 时，不论 λ 为何值， λ a＝0.④错误，当 λ ＝ μ ＝0 时， λ a＝ μ b＝0，此时， a 与 b可以是任意向量．故选 C.2．已知向量 a， b，且 ＝ a＋2 b， ＝－5 a＋6 b， ＝7 a－2 b，则一定共线的三点是( )AB→ BC→ CD→ A． A、 B、 D B． A、 B、 CC． B、 C、 D D． A、 C、 D答案 A解析 ＝ ＋ ＋ ＝3 a＋6 b＝3 .AD→ AB→ BC→ CD→ AB→ 因为 与 有公共点 A，所以 A、 B、 D 三点共线．故选 A.AB→ AD→ 3．设 D， E， F 分别是△ ABC 的三边 BC， CA， AB 上的点，且 ＝2 ， ＝2 ， ＝2DC→ BD→ CE→ EA→ AF→ ，则 ＋ ＋ 与 ( )FB→ AD→ BE→ CF→ BC→ A．反向平行 B．同向平行C．互相垂直 D．既不平行也不垂直答案 A解析 由题意得＝ ＋ ＝ ＋ ， ＝ ＋ ＝ ＋ ， ＝ ＋ ＝ ＋ ，AD→ AB→ BD→ AB→ 13BC→ BE→ BA→ AE→ BA→ 13AC→ CF→ CB→ BF→ CB→ 13BA→ 因此 ＋ ＋ ＝ ＋ ( ＋ － )AD→ BE→ CF→ CB→ 13BC→ AC→ AB→ ＝ ＋ ＝－ ，CB→ 23BC→ 13BC→ 故 ＋ ＋ 与 反向平行．AD→ BE→ CF→ BC→ 24.如图所示，在平行四边形 ABCD 中， E 是 BC 的中点， F 是 AE 的中点，若＝ a， ＝ b，则 等于( )AB→ AD→ AF→ A. a＋ b B. a＋ b12 14 14 12C. a－ b D. a－ b12 14 14 12答案 A解析 ＝ ＝ ( ＋ )＝ ＝ ＋ ＝ a＋ b.故选 A.AF→ 12AE→ 12AB→ BE→ 12(AB→ ＋ 12AD→ ) 12AB→ 14AD→ 12 145．[2015·青岛期中]已知 O 是△ ABC 所在平面内一点， D 为 BC 边中点，且 2 ＋ ＋OA→ OB→ ＝0，则( )OC→ A. ＝2 B. ＝AO→ OD→ AO→ OD→ C. ＝3 D．2 ＝AO→ OD→ AO→ OD→ 答案 B解析 因为 D 为 BC 边中点，所以由 2 ＋ ＋ ＝0 得 ＋ ＝－2 ＝2 ，即OA→ OB→ OC→ OB→ OC→ OA→ AO→ 2 ＝2 ，所以 ＝ ，选 B.OD→ AO→ AO→ OD→ 6．在平行四边形 ABCD 中，点 E 是 AD 的中点， BE 与 AC 相交于点 F，若＝ m ＋ n (m， n∈R)，则 的值为( )EF→ AB→ AD→ mnA．－2 B．－12C．2 D.12答案 A解析 设 ＝ a， ＝ b，则 ＝ ma＋ nb， ＝ － ＝ b－ a，由向量 与 共线可知AB→ AD→ EF→ BE→ AE→ AB→ 12 EF→ BE→ 存在实数 λ ，使得 ＝ λ ，EF→ BE→ 即 ma＋ nb＝ λ b－ λ a，又 a 与 b 不共线，123则Error! ，所以 ＝－2.mn7．已知平面上不共线的四点 O， A， B， C，若 －3 ＋2 ＝0，则 的值为( )OA→ OB→ OC→ |AB→ ||BC→ |A. B.13 12C．3 D．2答案 D解析 由已知得 － ＝2( － )，OA→ OB→ OB→ OC→ ∴ ＝2 ，∴ ＝2.故选 D.AB→ BC→ |AB→ ||BC→ |8．设点 M 是线段 BC 的中点，点 A 在直线 BC 外， 2＝16，| ＋ |＝| － |，则|BC→ AB→ AC→ AB→ AC→ |＝________.AM→ 答案 2解析 由| ＋ |＝| － |可知， ⊥ ，AB→ AC→ AB→ AC→ AB→ AC→ 则 AM 为 Rt△ ABC 斜边 BC 上的中线，因此，| |＝ | |＝2.AM→ 12BC→ 9．[2015·江门模拟]已知 D 为三角形 ABC 边 BC 的中点，点 P 满足＋ ＋ ＝0， ＝ λ ，则实数 λ 的值为________．PA→ BP→ CP→ AP→ PD→ 答案 －2解析 如图所示，由 ＝ λ 且 ＋ ＋ ＝0，则 P 为以 AB， AC 为邻边的平行四边AP→ PD→ PA→ BP→ CP→ 形的第四个顶点，4因此 ＝－2 ，AP→ PD→ 则 λ ＝－2.10．[2016·湖州月考]给出下列命题：①向量 的长度与向量 的长度相等；AB→ BA→ ②向量 a 与 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④零向量与任意数的乘积都为零．其中不正确命题的序号是________．答案 ②④解析 ① 与 是相反向量、模相等，正确；②由 0 方向是任意的且与任意向量平行，AB→ BA→ 不正确；③相等向量大小相等、方向相同，又起点相同，则终点相同，正确；④零向量与任意数的乘积都为零向量，不正确．11．在△ ABC 中， E、 F 分别为 AC、 AB 的中点， BE 与 CF 相交于 G 点，设＝ a， ＝ b，试用 a， b 表示 .AB→ AC→ AG→ 解 ∵ E、 F 分别是 AC、 AB 的中点，∴ G 是△ ABC 的重心．∴ ＝ .BG→ 23BE→ ∴ ＝ ＋ ＝ ＋AG→ AB→ BG→ AB→ 23BE→ ＝ ＋ ( ＋ )AB→ 23BA→ AE→ ＝ － ＋ ×AB→ 23AB→ 23 12AC→ ＝ ＋13AB→ 13AC→ ＝ a＋ b.13 1312.如图所示，在△ ABC 中， D， F 分别是 BC， AC 的中点， ＝ ， ＝ a， ＝ b.AE→ 23AD→ AB→ AC→ 5(1)用 a， b 表示向量 ， ， ， ， ；AD→ AE→ AF→ BE→ BF→ (2)求证： B， E， F 三点共线．解 (1)延长 AD 到 G，使 ＝ ，AD→ 12AG→ 连接 BG， CG，得到平行四边形 ABGC，所以 ＝ a＋ b，AG→ ＝ ＝ (a＋ b)，AD→ 12AG→ 12＝ ＝ (a＋ b)，AE→ 23AD→ 13＝ ＝ b，AF→ 12AC→ 12＝ － ＝ (a＋ b)－ a＝ (b－2 a)，BE→ AE→ AB→ 13 13＝ － ＝ b－ a＝ (b－2 a)．BF→ AF→ AB→ 12 12(2)证明：由(1)可知 ＝ ，BE→ 23BF→ 又因为 ， 有公共点 B，BE→ BF→ 所以 B， E， F 三点共线．[B 组·能力提升练]1．设 O 在△ ABC 的内部， D 为 AB 的中点，且 ＋ ＋2 ＝0，则△ ABC 的面积与△ AOCOA→ OB→ OC→ 的面积的比值为( )6A．3 B．4C．5 D．6答案 B解析 ∵ D 为 AB 的中点，则 ＝ ( ＋ )，OD→ 12OA→ OB→ 又 ＋ ＋2 ＝0，OA→ OB→ OC→ ∴ ＝－ ，OD→ OC→ ∴ O 为 CD 的中点，又∵ D 为 AB 中点，∴ S△ AOC＝ S△ ADC＝ S△ ABC，12 14则 ＝4.S△ ABCS△ AOC2．[2016·长春调研]已知△ ABC 的重心为 G，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若a ＋ b ＋ c ＝0，则角 A 为( )GA→ GB→ 33 GC→ A. B.π 6 π 4C. D.π 3 π 2答案 A解析 ∵ G 为△ ABC 的重心，∴ ＋ ＋ ＝0.GA→ GB→ GC→ ∵ a ＋ b ＋ c ＝0，GA→ GB→ 33 GC→ ∴ ＋ ＝ 0，(a－33c)GA→ (b－ 33c)GB→ ∴ a－ c＝0， b－ c＝0，33 33∴ a＝ c， b＝ c，33 337∴cos A＝ ＝ ＝ ，b2＋ c2－ a22bc13c2＋ c2－ 13c22×33c·c 32∴ A＝ .π 63．[2016·合肥一检]在梯形 ABCD 中，已知 AB∥ CD， AB＝2 CD， M， N 分别为 CD， BC 的中点．若 ＝ λ ＋ μ ，则 λ ＋ μ ＝________.AB→ AM→ AN→ 答案 45解析 解法一：由 ＝ λ ＋ μ ，得 ＝ λ · ( ＋ )＋ μ · ( ＋ )，得AB→ AM→ AN→ AB→ 12AD→ AC→ 12AC→ AB→ ＋ ＋ ＝0，得 ＋ ＋ ＝0，得(μ 2－ 1)AB→ λ 2AD→ (λ 2＋ μ 2)AC→ (μ 2－ 1)AB→ λ 2AD→ (λ 2＋ μ 2)(AD→ ＋ 12AB→ )＋ ＝0.(14λ ＋ 34μ － 1)AB→ (λ ＋ μ 2)AD→ 又因为 ， 不共线，AB→ AD→ 所以由平面向量基本定理得Error!解得Error! 所以 λ ＋ μ ＝ .45解法二：(回路法)连接 MN 并延长交 AB 的延长线于 T，由已知易得 AB＝ AT，45∴ ＝ ＝ λ ＋ μ ，45AT→ AB→ AM→ AN→ ∵ T， M， N 三点共线，∴ λ ＋ μ ＝ .454．设 e1， e2是两个不共线的向量，已知 ＝2 e1－8 e2， ＝ e1＋3 e2， ＝2 e1－ e2.AB→ CB→ CD→ (1)求证： A、 B、 D 三点共线；(2)若 ＝3 e1－ ke2，且 B、 D、 F 三点共线，求 k 的值．BF→ 8解 (1)证明：由已知得 ＝ － ＝(2 e1－ e2)－( e1＋3 e2)＝ e1－4 e2，BD→ CD→ CB→ ∵ ＝2 e1－8 e2，∴ ＝2 .AB→ AB→ BD→ 又∵ 与 有公共点 B，AB→ BD→ ∴ A、 B、 D 三点共线．(2)由(1)可知 ＝ e1－4 e2，BD→ ∵ ＝3 e1－ ke2，且 B、 D、 F 三点共线，BF→ ∴ ＝ λ (λ ∈R)，BF→ BD→ 即 3e1－ ke2＝ λ e1－4 λ e2，得Error!解得 k＝12.14-2 平面向量基本定理及坐标表示练习 文[A 组·基础达标练]1．[2015·长沙模拟]已知向量 a＝(1,2)， b＝(1,0)， c＝(3,4)．若 λ 为实数，(a＋ λ b)∥ c，则 λ 等于( )A. B.14 12C．1 D．2答案 B解析 a＋ λ b＝(1,2)＋( λ ，0)＝(1＋ λ ，2)．又∵( a＋ λ b)∥ c，∴(1＋ λ )×4＝2×3，即 1＋ λ ＝ ，∴ λ ＝ .32 122．已知向量 ＝(1，－3)， ＝(2，－1)， ＝( k＋1， k－2)，若 A、 B、 C 三点不能OA→ OB→ OC→ 构成三角形，则实数 k 应满足的条件是( )A． k＝－2 B． k＝12C． k＝1 D． k＝－1答案 C解析 若点 A、 B、 C 不能构成三角形，则向量 ， 共线，∵ ＝ － ＝(2，－1)AB→ AC→ AB→ OB→ OA→ －(1，－3)＝(1,2)， ＝ － ＝( k＋1， k－2)－(1，－3)＝( k， k＋1)，AC→ OC→ OA→ ∴1×( k＋1)－2 k＝0，解得 k＝1.3．[2015·洛阳期末]若平面向量 a＝(－1,2)与 b 的夹角是 180°，且| b|＝3 ，则 b5的坐标为( )A．(3，－6) B．(－3,6)C．(6，－3) D．(－6,3)答案 A解析 由题意设 b＝ λ a＝(－ λ ，2 λ )(λ 0)，且| OC|＝2，若 ＝ λ ＋ μ ，则实数 λ ， μ 的值分别是________．OC→ OA→ OB→ 答案 －1， 3解析 ∵| |＝2，∴| |2＝1＋ c2＝4，OC→ OC→ c0，∴ c＝ .3∵ ＝ λ ＋ μ ，OC→ OA→ OB→ ∴(－1， )＝ λ (1,0)＋ μ (0,1)，3∴ λ ＝－1， μ ＝ .310．已知点 A(4,0)， B(4,4)， C(2,6)，则 AC 与 OB 的交点 P 的坐标为________．答案 (3,3)解析 解法一：由 O， P， B 三点共线，可设 ＝ λ ＝(4 λ ，4 λ )，则OP→ OB→ ＝ － ＝(4 λ －4,4 λ )．AP→ OP→ OA→ 又 ＝ － ＝(－2,6)，由 与 共线，得(4 λ －4)×6－4 λ ×(－2)＝0，解得 λ ＝AC→ OC→ OA→ AP→ AC→ ，所以 ＝ ＝(3,3)，所以点 P 的坐标为(3,3)．34 OP→ 34OB→ 解法二：设点 P(x， y)，则 ＝( x， y)，因为 ＝(4,4)，且 与 共线，所以 ＝ ，OP→ OB→ OP→ OB→ x4 y4即 x＝ y.又 ＝( x－4， y)， ＝(－2,6)，且 与 共线，AP→ AC→ AP→ AC→ 所以( x－4)×6－ y×(－2)＝0，解得 x＝ y＝3，所以点 P 的坐标为(3,3)．411．给定两个长度为 1 的平面向量 和 ，它们的夹角为 .如图所示，点 C 在以 O 为OA→ OB→ 2π3圆心的圆弧 上运动．若 ＝ x ＋ y ，其中 x， y∈R，求 x＋ y 的最大值．AB︵ OC→ OA→ OB→ 解 以 O 为坐标原点， 所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则OA→ A(1,0)， B ，设∠ AOC＝ α ，则 C(cosα ，sin α )，(－12， 32) (α ∈ [0， 2π3])由 ＝ x ＋ y ，OC→ OA→ OB→ 得Error!所以 x＝cos α ＋ sinα ， y＝ sinα ，33 233所以 x＋ y＝cos α ＋ sinα ＝2sin ，又 α ∈ ，3 (α ＋π 6) [0， 2π3]所以当 α ＝ 时， x＋ y 取得最大值 2.π 312．已知 O(0,0)， A(1,2)， B(4,5)及 ＝ ＋ t ，求：OP→ OA→ AB→ (1)t 为何值时， P 在 x 轴上？ P 在 y 轴上？ P 在第二象限？(2)四边形 OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的 t 值；若不能，请说明理由．解 (1) ＝ ＋ t ＝(1,2)＋ t(3,3)＝(1＋3 t,2＋3 t)．OP→ OA→ AB→ 若 P 在 x 轴上，则 2＋3 t＝0，∴ t＝－ ；23若 P 在 y 轴上，则 1＋3 t＝0，∴ t＝－ ；13若 P 在第二象限，则Error!5∴－ t－ .23 13(2)∵ ＝(1,2)， ＝(4,5)－(1＋3 t,2＋3 t)＝(3－3 t,3－3 t)．OA→ PB→ 若 OABP 为平行四边形，则 ＝ .OA→ PB→ ∵Error! 无解，∴四边形 OABP 不能成为平行四边形．[B 组·能力提升练]1．[2016·江西联考]如图所示，四边形 OABC 是边长为 1 的正方形， OD＝3，点 P 为△BCD 内(含边界)的动点，设 ＝ α ＋ β (α ， β ∈R)，则 α ＋ β 的最大值等于( )OP→ OC→ OD→ A. B．114C. D.13 43答案 D解析 以 O 为原点，以 OD 所在直线为 x 轴建立直角坐标系，设点 P(x， y)，∵ ＝ α ＋ βOP→ OC→ ，则( x， y)＝ α (0,1)＋ β (3,0)＝(3 β ， α )，所以 x＝3 β ， y＝ α ， α ＋ β ＝ y＋ .由于OD→ x3点 P 在△ BCD 内(包含边界)，目标函数为 α ＋ β ＝ y＋ ，如图所示，当点 P 与点 B(1,1)重x3合时， α ＋ β ＝ y＋ 取得最大值，其最大值为 1＋ ＝ .x3 13 432．[2015·贵阳模拟]在平面直角坐标系中，若 O 为坐标原点，则 A， B， C 三点在同一直线上的充要条件为存在唯一的实数 λ ，使得 ＝ λ ＋(1－ λ ) 成立，此时称实数 λOC→ OA→ OB→ 6为“向量 关于 和 的终点共线分解系数” ．若已知 P1(3,1)， P2(－1,3)， P1， P2， P3三OC→ OA→ OB→ 点共线且向量 与向量 a＝(1，－1)共线，则“向量 关于 和 的终点共线分解系数”OP3→ OP3→ OP1→ OP2→ 为( )A．－3 B．3C．1 D．－1答案 D解析 设 P3(x， y)，由条件易得 ＝(－4,2)， ＝( x＋1， y－3)，又 P1， P2， P3P1P2→ P2P3→ 三点共线得 12－4 y＝2 x＋2，又 与向量 a＝(1，－1)平行，得 x＋ y＝0.OP3→ 联立方程组解得 x＝－5， y＝5.＝ λ ＋(1－ λ ) ，解得 λ ＝－1，故选 D.OP3→ OP1→ OP2→ 3.[2015·临汾模拟]如图，△ ABC 中， ＋ ＋ ＝0， ＝ a， ＝ b.若GA→ GB→ GC→ CA→ CB→ ＝ ma， ＝ nb， CG∩ PQ＝ H， ＝2 ，则 ＋ ＝________.CP→ CQ→ CG→ CH→ 1m 1n答案 6解析 由 ＋ ＋ ＝0，知 G 为△ ABC 的重心，取 AB 的中点 D，则 ＝ ＝ ＝ (GA→ GB→ GC→ CH→ 12CG→ 13CD→ 16＋ )＝ ＋ ，由 P， H， Q 三点共线，得 ＋ ＝1，则 ＋ ＝6.CA→ CB→ 16mCP→ 16nCQ→ 16m 16n 1m 1n4．已知 A(－2,4)， B(3，－1)， C(－3，－4)，设 ＝ a， ＝ b， ＝ c，且 ＝3 c，AB→ BC→ CA→ CM→ ＝－2 b.CN→ (1)求 3a＋ b－3 c；(2)求满足 a＝ mb＋ nc 的实数 m， n；(3)求 M， N 的坐标及向量 的坐标．MN→ 解 (1)由已知得 a＝(5，－5)， b＝(－6，－3)， c＝(1,8).3 a＋ b－3 c＝3(5，－5)7＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)∵ mb＋ nc＝(－6 m＋ n，－3 m＋8 n)＝(5，－5)，∴Error! 解得Error!(3)设 O 为坐标原点，∵ ＝ － ＝3 c，CM→ OM→ OC→ ∴ ＝3 c＋ ＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)，OM→ OC→ ∴ M 的坐标为(0,20)．又 ＝ － ＝－2 b，CN→ ON→ OC→ ∴ ＝－2 b＋ ＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，ON→ OC→ ∴ N 的坐标为(9,2)，∴ ＝(9－0,2－20)＝(9，－18)．MN→ 14-3 平面向量的数量积练习 文[A 组·基础达标练]1．[2016·揭阳月考]已知点 A(－1,5)和向量 a＝(2,3)，若 ＝3 a，则点 B 的坐标为( )AB→ A．(7,4) B．(7,14)C．(5,4) D．(5,14)答案 D解析 设 B(x， y)，则 ＝( x＋1， y－5)，AB→ 又∵ ＝3 a＝(6,9)，AB→ ∴Error! ∴Error!故选 D.2．[2015·陕西二模]设向量 a， b 满足| a＋ b|＝ ， a·b＝4，则| a－ b|＝( )20A. B．22 3C．2 D. 6答案 C解析 ∵| a＋ b|＝ ， a·b＝4，∴| a＋ b|2－| a－ b|2＝4 a·b＝16，20∴| a－ b|＝2，选 C.3．[2016·辽宁五校联考]已知直角坐标系内的两个向量 a＝(1,3)， b＝( m,2m－3)使平面内的任意一个向量 c 都可以唯一地表示成 c＝ λ a＋ μ b，则 m 的取值范围是( )A．(－∞，0)∪(0，＋∞) B．(－∞，－3)∪(－3，＋∞)C．(－∞，3)∪(3，＋∞) D．[－3,3)答案 B解析 由题意可知向量 a 与 b 为一组基底，所以不共线， ≠ ，得 m≠－3，选 B.m1 2m－ 334．[2016·贵州七校联考]在△ ABC 中， AB＝4，∠ ABC＝30°， D 是边 BC 上的一点，且· ＝ · ，则 · 的值为( )AD→ AB→ AD→ AC→ AD→ AB→ A．0 B．－4C．8 D．4答案 D解析 由 · ＝ · ，得 ·( － )＝0，即 · ＝0，所以 ⊥ ，即AD→ AB→ AD→ AC→ AD→ AB→ AC→ AD→ CB→ AD→ CB→ AD⊥ CB.又 AB＝4，∠ ABC＝30°，所以 AD＝ ABsin30°＝2，∠ BAD＝60°，所以 · ＝ AD·AB·cos∠ BAD＝2×4× ＝4，故选 D.AD→ AB→ 125．在△ ABC 中，已知 a， b， c 分别为内角 A， B， C 所对的边， S 为△ ABC 的面积．若向量 p＝( S， a＋ b＋ c)， q＝( a＋ b－ c,1)满足 p∥ q，则 tan 等于( )C22A. B.14 12C．2 D．4答案 D解析 由 p∥ q 得 S＝( a＋ b)2－ c2＝2 ab＋ a2＋ b2－ c2，即 absinC＝2 ab＋2 abcosC，12即 sinC＝1＋cos C，14sin ·cos ＝2cos 2 ，12 C2 C2 C∴tan ＝4.故选 D.C26．设向量 a， b， c 满足| a|＝| b|＝1， a·b＝－ ， 〈 a－ c， b－ c〉＝60°，则| c|的最12大值等于( )A．2 B. 3C. D．12答案 A解析 由 a·b＝－ 得〈 a， b〉＝120°，设 ＝ a， ＝ b， ＝ c，则∠ AOB＝120°，12 OA→ OB→ OC→ ＝ a－ c， ＝ b－ c，∵〈 a－ c， b－ c〉＝60°，∴∠ ACB＝60°，∴ O、 A、 C、 B 四点共圆，CA→ CB→ |c|的最大值应为圆的直径 2R.因为在△ AOB 中， OA＝ OB＝1，∠ AOB＝120°，所以 AB＝ ，3由正弦定理得 2R＝ ＝2.故选 A.ABsin∠ AOB7．[2015·兰州双基]设向量 a， b 满足| a＋ b|＝ ，| a－ b|＝ ，则 a·b＝________.10 6答案 1解析 因为| a＋ b|2＝ a2＋2 a·b＋ b2＝10 ①，| a－ b|2＝ a2－2 a·b＋ b2＝6 ②，①－②得 4a·b＝4，所以 a·b＝1.8．[2015·太原一模]已知向量 a， b 满足(2 a－ b)·(a＋ b)＝6，且| a|＝2，| b|＝1，则a 与 b 的夹角为________．答案 2π33解析 ∵(2 a－ b)·(a＋ b)＝6，∴2 a2＋ a·b－ b2＝6，又|a|＝2，| b|＝1，∴ a·b＝－1，∴cos〈 a， b〉＝ ＝－ ，∴ a 与 b 的夹角为 .a·b|a|·|b| 12 2π39．[2015·贵阳期末]已知正方形 ABCD 的边长为 1， ＝ a， ＝ b， ＝ c，则AB→ BC→ AC→ |a＋ b＋ c|＝________.答案 2 2解析 如图，建立平面直角坐标系，则 A(0,1)， B(0,0)， C(1,0)，∴ ＝ a＝(0，－1)，AB→ ＝ b＝(1,0)， ＝ c＝(1，－1)，∴ a＋ b＋ c＝(2，－2)，| a＋ b＋ c|＝2 .BC→ AC→ 210．[2016·浙江名校联考]设 e1， e2为单位向量，它们的夹角为 ，π 3a＝ xe1＋ ye2， b＝ xe1－ ye2(x， y∈R)，若| a|＝ ，则| b|的最小值为________．3答案 1解析 ∵单位向量 e1， e2的夹角为 ，∴ e1·e2＝ ，由| a|＝ ，得( xe1＋ ye2)2＝3，π 3 12 3即 x2＋ y2＋ xy＝3①则| b|2＝( xe1－ ye2)2＝ x2＋ y2－ xy②①＋②得 x2＋ y2＝ ，①－②得 xy＝ .|b|2＋ 32 3－ |b|22又 x2＋ y2≥2 xy，当且仅当 x＝ y 时“＝”成立，∴ ≥2· ，解得|b|2＋ 32 3－ |b|22|b|2≥1，因此，| b|的最小值为 1.11．已知点 O 为坐标原点， A(0,2)， B(4,6)， ＝ t1 ＋ t2 .OM→ OA→ AB→ (1)求点 M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当 t1＝1 时，不论 t2为何实数， A， B， M 三点共线．解 (1) ＝ t1 ＋ t2 ＝ t1(0,2)＋ t2(4,4)＝(4 t2,2t1＋4 t2)．OM→ OA→ AB→ 当点 M 在第二或第三象限时，有Error!故所求的充要条件为 t20， n0，所以 ＝3，故选 B.mn2．对任意两个非零的平面向量 α 和 β ，定义 α ∘β ＝ .若两个非零的平面向量α ·ββ ·βa， b 满足 a 与 b 的夹角 θ ∈ ，且 a∘b 和 b∘a 都在集合Error!中，则 a∘b 等于( )(π 4， π 2)A. B.52 32C．1 D.12答案 D解析 根据新定义，得 a∘b＝ ＝ ＝ cosθ ， b∘a＝ ＝a·bb·b |a||b|cosθ|b|2 |a||b| b·aa·a＝ cosθ .|a||b|cosθ|a|2 |b||a|又因为 a∘b 和 b∘a 都在集合Error!中，设 a∘b＝ ， b∘a＝ (n1， n2∈Z)，那么n12 n22(a∘b)·(b∘a)＝ cos2θ ＝ ，n1n24又 θ ∈ ，所以 0n1n22.(π 4， π 2)所以 n1， n2的值均为 1.故 a∘b＝ ＝ .n12 123．[2015·南昌一模]已知三角形 ABC 中， AB＝ AC， BC＝4，∠ BAC＝120°， ＝3 ，BE→ EC→ 若 P 是 BC 边上的动点，则 · 的取值范围是________．AP→ AE→ 答案 [－23， 103]解析 因为 AB＝ AC， BC＝4，∠ BAC＝120°，所以∠ ABC＝30°， AB＝ .433又因为 ＝3 ，所以 ＝ ，BE→ EC→ BE→ 34BC→ 设 ＝ t ，则 0≤ t≤1， ＝ ＋ ＝ ＋ t ，BP→ BC→ AP→ AB→ BP→ AB→ BC→ ＝ ＋ ＝ ＋ ，AE→ AB→ BE→ AB→ 34BC→ 6所以 · ＝( ＋ t )·AP→ AE→ AB→ BC→ (AB→ ＋ 34BC→ )＝ 2＋ t · ＋ · ＋ t 2AB→ BC→ AB→ 34BC→ AB→ 34BC→ ＝ ＋ t×4× cos150°＋ ×4× cos150°＋ t×42163 433 34 433 34＝4 t－ ，23因为 0≤ t≤1，所以－ ≤4 t－ ≤ ，即 · 的取值范围是 .23 23 103 AP→ AE→ [－ 23， 103]4．已知平面向量 a＝( ，－1)， b＝ .3 (12， 32)(1)证明： a⊥ b；(2)若存在不同时为零的实数 k 和 t，使 c＝ a＋( t2－3) b， d＝－ ka＋ tb，且 c⊥ d，试求函数关系式 k＝ f(t)．解 (1)证明：∵ a·b＝ × －1× ＝0，∴ a⊥ b.312 32(2)∵ c＝ a＋( t2－3) b， d＝－ ka＋ tb，且 c⊥ d，∴ c·d＝[ a＋( t2－3) b]·(－ ka＋ tb)＝－ ka2＋ t(t2－3) b2＋[ t－ k(t2－3)] a·b＝0.又 a2＝| a|2＝4， b2＝| b|2＝1， a·b＝0，∴ c·d＝－4 k＋ t3－3 t＝0，∴ k＝ f(t)＝ (t≠0)．t3－ 3t414-4 平面向量的应用练习 文[A 组·基础达标练]1．[2015·贵阳期末]对于非零向量 a、 b， “a＋ b＝0”是“ a∥ b”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件答案 A解析 由题意可得， a＋ b＝0⇒ b＝－ a⇒a∥ b，反之不能作出推导，∴“ a＋ b＝0”是“a∥ b”的充分不必要条件．2．[2016·山西质监]已知 O， A， B， C 为同一平面内的四个点，若 2 ＋ ＝0，则向AC→ CB→ 量 等于( )OC→ A. － B．－ ＋23OA→ 13OB→ 13OA→ 23OB→ C．2 － D．－ ＋2OA→ OB→ OA→ OB→ 答案 C解析 因为 ＝ － ， ＝ － ，所以 2 ＋ ＝2( － )＋( － )AC→ OC→ OA→ CB→ OB→ OC→ AC→ CB→ OC→ OA→ OB→ OC→ ＝ －2 ＋ ＝0，所以 ＝2 － ，故选 C.OC→ OA→ OB→ OC→ OA→ OB→ 3．[2016·皖南八校联考]已知 D 是△ ABC 所在平面内一点，且满足( － )·( － )BC→ CA→ BD→ AD→ ＝0，则△ ABC 是( )A．等腰三角形 B．直角三角形C．等边三角形 D．等腰直角三角形答案 A解析 ( － )·( － )＝( － )· ＝0，所以 · ＝ · ，所以BC→ CA→ BD→ AD→ BC→ CA→ BA→ BC→ BA→ CA→ BA→ acosB＝ bcosA，利用余弦定理化简得 a2＝ b2，即 a＝ b，所以△ ABC 是等腰三角形．4．已知 O 是锐角△ ABC 的外心，若 ＝ x ＋ y (x， y∈R)，则( )OC→ OA→ OB→ A． x＋ y≤－2 B．－2≤ x＋ y| |，－( x＋ y)rr(其中 r 为△ ABC 的外接圆半OD→ OE→ OC→ 径)，即 x＋ y0，∴cos A＝ ，12∵00，∴| a＋ b|＝2cos x.(2)f(x)＝cos2 x－2cos x＝2cos 2x－2cos x－1＝2 2－ .(cosx－12) 32∵ x∈ ，∴ ≤cos x≤1，[－π 3， π 4] 12∴当 cosx＝ 时， f(x)取得最小值－ ；12 32当 cosx＝1 时， f(x)取得最大值－1.[B 组·能力提升练]1．设△ ABC， P0是边 AB 上一定点，满足 P0B＝ AB，且对于边 AB 上任一点 P，恒有 ·14 PB→ ≥ · ，则( )PC→ P0B→ P0C→ A．∠ ABC＝90° B．∠ BAC＝90°C． AB＝ AC D． AC＝ BC答案 D解析 设 AB＝4，以 AB 所在直线为 x 轴，线段 AB 的中垂线为 y 轴建立直角坐标系，则A(－2,0)， B(2,0)，则 P0(1,0)，设 C(a， b)， P(x,0)，∴ ＝(2－ x,0)， ＝( a－ x， b)．PB→ PC→ ∴ ＝(1,0)， ＝( a－1， b)．P0B→ P0C→ 则由 · ≥ · ⇒(2－ x)·(a－ x)≥ a－1 恒成立，PB→ PC→ P0B→ P0C→ 即 x2－(2＋ a)x＋ a＋1≥0 恒成立．∴ Δ ＝(2＋ a)2－4( a＋1)＝ a2≤0 恒成立．∴ a＝0.即点 C 在线段 AB 的中垂线上，∴ AC＝ BC.选 D.2．[2015·南昌模拟]已知向量 a＝ ， b＝ ，其中 x∈(cos3x2， sin3x2) (－ sinx2， － cosx2).令函数 f(x)＝ a·b，若 cf(x)恒成立，则实数 c 的取值范围为( )[π 2， π ]A．(1，＋∞) B．(0，＋∞)C．(－1，＋∞) D．(2，＋∞)答案 A解析 因为 f(x)＝ a·b＝－cos sin －sin cos ＝－sin2 x，又 π≤2 x≤2π，所以3x2 x2 3x2 x2－1≤sin2 x≤0，所以 f(x)max＝1.又 cf(x)恒成立，所以 cf(x)max，即 c1.所以实数 c 的取值范围为(1，＋∞)．故选 A.63．[2016·河北五校联考]已知 A(2,1)， B(1，－2)， C ，动点 P(a， b)满足 0≤(35， － 15)· ≤2 且 0≤ · ≤2，其中 O 为坐标原点，则点 P 到点 C 的距离大于 的概率为OP→ OA→ OP→ OB→ 14________．答案 1－5π64解析 由 0≤ · ≤2 得：0≤2 a＋ b≤2，由 0≤ · ≤2 得：0≤ a－2 b≤2.OP→ OA→ OP→ OB→ 不等式组在直角坐标平面内所表示的区域如图正方形 OABD，其边长为 ，令圆 C 的半25径为 ，由几何概型的概率计算公式可知 P 到点 C 的距离大于 的概率为14 14＝ × ＝1－ .(25)2－ π16(25)2 (45－ π16) 54 5π644．已知平面上一定点 C(2,0)和直线 l： x＝8. P 为该平面上一动点，作 PQ⊥ l，垂足为Q，且 · ＝ 0.(PC→ ＋ 12PQ→ ) (PC→ － 12PQ→ )(1)求动点 P 的轨迹方程；(2)若 EF 为圆 N： x2＋( y－1) 2＝1 的任一条直径，求 · 的最值．PE→ PF→ 解 (1)设 P(x， y)，则 Q(8， y)．由 ·(PC→ ＋ 12PQ→ ) (PC→ － 12PQ→ )＝0，得| |2－ | |2＝0，PC→ 14PQ→ 即( x－2) 2＋ y2－ (x－8) 2＝0，化简得 ＋ ＝1.14 x216 y212所以点 P 在椭圆上，其方程为 ＋ ＝1.x216 y2127(2) · ＝( － )·( － )＝(－ － )·( － )＝(－ )2－ 2＝ 2－1.PE→ PF→ NE→ NP→ NF→ NP→ NF→ NP→ NF→ NP→ NP→ NF→ NP→ P 是椭圆 ＋ ＝1 上的任一点，设 P(x0， y0)，则有 ＋ ＝1，即 x ＝16－ ，x216 y212 x2016 y2012 20 4y203又 N(0,1)，所以 2＝ x ＋( y0－1) 2＝－ y －2 y0＋17＝－ (y0＋3) 2＋20.NP→ 20 1320 13因为 y0∈[－2 ，2 ]，所以当 y0＝－3 时， 2取得最大值 20(此时 x0＝±2)，3 3 NP→ 故 · 的最大值为 19；PE→ PF→ 当 y0＝2 时， 2取得最小值为 13－4 (此时 x0＝0)，故 · 的最小值为 13－4 .3 NP→ 3 PE→ PF→ 314-5 数系的扩充与复数的引入练习 文[A 组·基础达标练]1．[2013·陕西高考]设 z1， z2是复数，则下列命题中的假命题是( )A．若| z1－ z2|＝0，则 1＝ 2z zB．若 z1＝ 2，则 1＝ z2z zC．若| z1|＝| z2|，则 z1· 1＝ z2· 2z zD．若| z1|＝| z2|，则 z ＝ z21 2答案 D解析 A 中，| z1－ z2|＝0，则 z1＝ z2，故 1＝ 2成立．B 中， z1＝ 2，则 1＝ z2成z z z z立．C 中，| z1|＝| z2|，则| z1|2＝| z2|2，即 z1 1＝ z2 2，C 正确．D 不一定成立，如 z1＝1＋z zi， z2＝2，则| z1|＝2＝| z2|，但 z ＝－2＋2 i， z ＝ 4， z ≠ z .3 21 3 2 21 22．[2015·湖南高考]已知 ＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数 z＝( ) 1－ i 2zA．1＋i B．1－iC．－1＋i D．－1－i答案 D解析 z＝ ＝ ＝ ＝－1－i. 1－ i 21＋ i － 2i1＋ i － 2i 1－ i 1＋ i  1－ i3．[2014·广东高考]已知复数 z 满足(3＋4i) z＝25，则 z＝( )A．－3＋4i B．－3－4iC．3＋4i D．3－4i答案 D解析 z＝ ＝ ＝3－4i，故选 D.253＋ 4i 25 3－ 4i254．[2014·安徽高考]设 i 是虚数单位， 表示复数 z 的共轭复数．若 z＝1＋i，则z＋i· ＝( )zi zA．－2 B．－2iC．2 D．2i答案 C解析 ＋i· ＝ ＋i(1－i)＝ ＋i＋1＝2.故选 C.zi z 1＋ ii i 1＋ i－ 15．[2016·兰州诊断]复数 (i 是虚数单位)的虚部是( )11－ iA．1 B．iC. D. i12 12答案 C解析 因为 ＝ ＝ ＋ i，所以该复数的虚部为 ，故选 C.11－ i 1＋ i 1－ i  1＋ i 12 12 1226．[2016·云南统考]已知 i 为虚数单位， zi＝2i－ z，则复数 z 在复平面内对应的点位于( )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案 A解析 由题可得， z(i＋1)＝2i，∴ z＝ ＝1＋i，∴ z 在复平面内对应的点位于第一2ii＋ 1象限．7．[2016·辽宁五校联考]已知复数 z＝1＋i，则 ＝( )z2－ 2zz－ 1A．－2i B．2iC．－2 D．2答案 B解析 ＝ ＝ ＝2i，故选 B.z2－ 2zz－ 1  1＋ i 2－ 2 1＋ ii － 2i8．[2015·南宁适应性测试]已知 i 是虚数单位， 是复数 z 的共轭复数，若(1－i)z＝2，则 z 为( )zA．1＋i B．1－iC．2＋i D．2－i答案 B解析 依题意得 ＝ ＝ ＝1＋i，∴ z＝1－i，选 B.z21－ i 2 1＋ i 1－ i  1＋ i9．[2013·天津高考]已知 a， b∈R，i 是虚数单位．若( a＋i)(1＋i)＝ bi，则a＋ bi＝________.答案 1＋2i解析 ∵( a＋i)(1＋i)＝ a＋ ai＋i＋i 2＝( a－1)＋( a＋1)i.又由已知( a＋i)(1＋i)＝ bi，得Error!解得 a＝1， b＝2，所以 a＋ bi＝1＋2i.10．[2013·江苏高考]设 z＝(2－i) 2(i 为虚数单位)，则复数 z 的模为________．答案 5解析 ∵ z＝(2－i) 2＝3－4i，∴| z|＝ ＝5.32＋  － 4 211．已知复数 z1满足( z1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数 z2的虚部为 2，且z1·z2是实数，求 z2.解 ∵( z1－2)(1＋i)＝1－i，∴ z1＝2－i.设 z2＝ a＋2i， a∈R，z1·z2＝(2－i)( a＋2i)＝(2 a＋2)＋(4－ a)i.∵ z1·z2∈R，∴ a＝4，∴ z2＝4＋2i.12．复数 z1＝ ＋(10－ a2)i， z2＝ ＋(2 a－5)i，若 1＋ z2是实数，求实数 a 的3a＋ 5 21－ a z3值．解 1＋ z2＝ ＋( a2－10)i＋ ＋(2 a－5)iz3a＋ 5 21－ a＝ ＋[( a2－10)＋(2 a－5)]i(3a＋ 5＋ 21－ a)＝ ＋( a2＋2 a－15)i.a－ 13 a＋ 5  a－ 1∵ 1＋ z2是实数，z∴ a2＋2 a－15＝0，解得 a＝－5 或 a＝3.∵ a＋5≠0，∴ a≠－5，故 a＝3.[B 组·能力提升练]1．[2015·临沂二模]在复平面内，复数 z＝( －1)＋(2 x－1)i 的对应点位于第二象限，x则实数 x 的范围是( )A．(1，＋∞) B．(－∞，0)C．(0,1) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)答案 C解析 ∵复数 z＝( －1)＋(2 x－1)i 的对应点位于第二象限，x则Error! 解得 0x1.∴实数 x 的范围是(0,1)．2．[2016·新乡、许昌、平顶山调研]复数 z1， z2满足 z1＝ m＋(4－ m2)i， z2＝2cos θ ＋( λ ＋3sin θ )i(m， λ ， θ ∈R)，并且 z1＝ z2，则 λ 的取值范围是( )A. B.[－ 1， 1] [－916， 1]C. D.[－916， 7] [916， 7]答案 C解析 由复数相等的充要条件可得Error!化简得 4－4cos 2θ ＝ λ ＋3sin θ ，由此可得λ ＝－4cos 2θ －3sin θ ＋4＝－4(1－sin 2θ )－3sin θ ＋4＝4sin 2θ －3sin θ ＝4 2－ ，因为 sinθ ∈[－1,1]，所以(sinθ －38) 9164sin2θ －3sin θ ∈ .[－916， 7]3．[2014·上海高考]若复数 z＝1＋2i，其中 i 是虚数单位，则 · ＝________.(z＋1z) z答案 6解析 ∵ z＝1＋2i，∴ ＝1－2i.z∴ · ＝ z· ＋1＝5＋1＝6.(z＋1z) z z44．已知复数 z＝ x＋ yi，且| z－2|＝ ，则 的最大值为________．3yx答案 3解析 ∵| z－2|＝ ＝ ，∴( x－2) 2＋ y2＝3. x－ 2 2＋ y2 3由图可知 max＝ ＝ .(yx) 31 3