2017届高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 理（课件+习题）（打包14套）.zip

1第六章 不等式、推理与证明 6.1 不等关系与不等式练习 理[A组·基础达标练]1．[2016·成都模拟]已知 a， b为非零实数，且 aa2bC. N B． M＝ NC． M0，故14 34 (x＋ 12) 34MN，选 A.3．[2015·广东实验中学模拟]已知 0 B. a1lg a 1lg b答案 D解析 由 0b0是“ a2b2”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既非充分条件也非必要条件答案 A解析 若 ab0，则 a2b2成立，充分性成立，若 a2b2，则 ab0不一定成立(当a＝－4， b＝－2)，故不必要，所以选 A.5．[2015·大庆模拟]若 a B. 1a－ b1a 1a1bC．| a||b| D． a2b2答案 A解析 由特殊值检验可知 B、C、D 正确，故选 A.6．[2015·成都模拟]已知 ab0，则下列不等式中恒成立的是( )A． a＋ b＋ B． a＋ b＋1b 1a 1a 1b2C. D． b－ a－bab＋ 1a＋ 1 1b 1a答案 A解析 由特殊值检验，可知 B、C、D 错误，故选 A.7．[2016·合肥质检]已知四个条件：① b0a；②0 ab；③ a0b；④ ab0，使 0a⇒ ab⇒ 0b b0⇒ 0，则 ＋ 与 ＋ 的大小关系是________．ab2 ba2 1a 1b答案 ＋ ≥ ＋ab2 ba2 1a 1b解析 作差法．＋ － ＝ － ＋ － ＝ ＋ ＝( a－ b) ＝ab2 ba2 (1a＋ 1b) ab2 1b ba2 1a a－ bb2 b－ aa2 (1b2－ 1a2)  a－ b 2 a＋ ba2b2因为 a＋ b0，( a－ b)2≥0，故 ≥0⇒ ＋ ≥ ＋ . a－ b 2 a＋ ba2b2 ab2 ba2 1a 1b9．[2015·临沂模拟]用一段长为 30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长 18 m，要求菜园的面积不小于 216 m2，靠墙的一边长为 x m，其中的不等关系可用不等式(组)表示为________．答案 Error!解析 为满足题中条件有意义．Error!10．[2016·遵义模拟]已知下列结论：①若 a|b|，则 a2b2；②若 ab，则 b，则 a3b3；④若 aa.其中正确的是________(只填序号即可)．答案 ①③④解析 对于①， a|b|0则 a2b2成立；对于②，令 a＝1， b＝－1，则 b由 y＝ x3为增函数知 a3b3成立；对于④， ab2－ a＝ a(b2－1)0 成立．故填①③④.[B组·能力提升练]1．[2015·资阳模拟]已知 a， b为实数，则“ ab1”是“ b1，则 b1不成立1a－ 1 1b－ 1 1a－ 1 1b－ 1(a＝0， b＝2)，故是充分不必要条件．2．[2016·烟台模拟]已知－10， b0， a＋ b＝2，则下列命题对一切满足条件的 a， b恒成立的是________．① ab≤1；② ＋ ≤ ；③ a2＋ b2≥2；④ a3＋ b3≥3；⑤ ＋ ≥2.a b 21a 1b答案 ①③⑤解析 ① a＋ b＝2， a＋ b≥2 得 ab≤1，正确；②令 a＝1， b＝1 可知②错误；③应ab用 2(a2＋ b2)≥( a＋ b)2可得 a2＋ b2≥2，正确；④令 a＝1， b＝1 可知④错误，⑤ Error!＋Error!( a＋ b)＝ ≥1＋ ×2 ＝2(当且仅当 a＝ b时取“＝”)，12 12(1＋ 1＋ ba＋ ab) 12 ba·ab正确．所以恒成立的是①③⑤.4．若－1≤lg ≤2,1≤lg xy≤4，则 lg 的取值范围是________．xy x2y答案 [－1,5]解析 应用不等式的性质可得Error!变形 Error!，而 lg ＝2lg x－lg y＝ (lg x＋lg y)＋ (lg x－lg y)，所以－1≤lg ≤5.(x2y) 12 32 x2y5．已知奇函数 f(x)在 R上是单调递减函数，α ， β ， γ ∈R， α ＋ β 0， β ＋ γ 0， γ ＋ α 0，试说明： f(α )＋ f(β )＋ f(γ )的值与 0的关系．解 由 α ＋ β 0，得 α － β .∵ f(x)在 R上是减函数，且为奇函数．∴ f(α )f(－ β )＝－ f(β )∴ f(α )＋ f(β )0.同理： f(β )＋ f(γ )0， f(γ )＋ f(α )0.4以上三式相加，得 2[f(α )＋ f(β )＋ f(γ )]0，故 f(α )＋ f(β )＋ f(γ )0.1第六章 不等式、推理与证明 6.2 一元二次不等式及其解法练习 理[A 组·基础达标练]1．[2016·山西四校联考]设全集为 R，集合 A＝{ x∈R| x24}，所以A∩(∁ RB)＝{ x|－20 时，－ x＋2≥ x2，∴00的解集为( )A．{ x|xln 3}B．{ x|ln 20 的解集为Error!，由 f(ex)0 得 0，解得 a4.8．已知关于 x 的不等式 ax2＋2 x＋ c0 的解集为 ，则不等式－ cx2＋2 x－ a0 的(－13， 12)解集为________．答案 (－2,3)解析 依题意可知Error!解得： a＝－12， c＝2∴不等式－ cx2＋2 x－ a0，即为－2 x2＋2 x＋120 即 x2－ x－60 或( x－1)· ＝0，x2－ x－ 2 x2－ x－ 2即Error! 或Error!或 x2－ x－2＝0，解得 x2 或 x∈∅或 x＝2 或 x＝－1，综上可知，原不等式的解集为{ x|x≥2 或 x＝－1}．10．[2015·铜陵一模]已知二次函数 f(x)的二次项系数为 a，且不等式 f(x)0 的解集为(1,2)，若 f(x)的最大值小于 1，则 a 的取值范围是________．答案 (－4,0)解析 由题意知 a－4，故－40，且 a≠1)对于任意的 x2 恒成立，则 a 的取值范围为( )A. B.(0，12) (0， 12]C．[2，＋∞) D．(2，＋∞)答案 B解析 不等式 4ax－1 1 时，34 34在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图 1 所示，由图知不满足条件；当 01 时，不等式的解集为[1， a]，此时只要 a≤3 即可，即 10.(1)求 f(x)在[0,1]内的值域；(2)若 ax2＋ bx＋ c≤0 的解集为 R，求实数 c 的取值范围．解 (1)因为当 x∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时， f(x)0，所以－3,2 是方程 ax2＋( b－8) x－ a－ ab＝0 的两根，所以可得Error!所以 a＝－3， b＝5，所以 f(x)＝－3 x2－3 x＋18＝－3 2＋18.75，(x＋12)函数图象关于 x＝－0.5 对称，且抛物线开口向下，5所以在区间[0,1]上 f(x)为减函数，所以函数的最大值为 f(0)＝18，最小值为 f(1)＝12，故 f(x)在[0,1]内的值域为[12,18]．(2)由(1)知，不等式 ax2＋ bx＋ c≤0 化为－3 x2＋5 x＋ c≤0，因为二次函数 y＝－3 x2＋5 x＋ c 的图象开口向下，要使－3 x2＋5 x＋ c≤0 的解集为 R，只需Error!即 25＋12 c≤0⇒ c≤－ ，2512所以实数 c 的取值范围为 .(－ ∞ ， －2512]1第六章 不等式、推理与证明 6.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题练习 理[A 组·基础达标练]1．[2015·重庆模拟]在坐标平面内，不等式组Error!所表示的平面区域的面积为( )A．2 B.283C. D．2223答案 B解析 不等式组Error!⇔ 不等式组 Error!或Error!画出两不等式组的平面区域．如图，M(3,4)， N ， P(1,0)， Q(1,1)，不等式组所表示的平面区域的面积为 ×2×2＋ ×2×(13， 43) 12 12＝ .故选 B.23 832．[2016·长春调研]实数 x， y 满足Error!若实数 z＝ x＋ y 的最大值为 4，则实数 a 的值为( )A．2 B．3C．4 D.322答案 A解析 由约束条件Error!作出可行域为如图所示的阴影部分，当 z＝ x＋ y 过 y＝ x 和 y＝ a 的交点 A(a， a)时， z取得最大值，即 zmax＝ a＋ a＝4，所以 a＝2.故选 A.3．某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原料 1 千克、 B 原料2 千克；生产乙产品 1 桶需耗 A 原料 2 千克、 B 原料 1 千克．每桶甲产品的利润是 300 元，每桶乙产品的利润是 400 元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗 A、 B 原料都不超过 12 千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是( )A．1800 元 B．2400 元C．2800 元 D．3100 元答案 C解析 设每天生产甲种产品 x 桶，乙种产品 y 桶，则根据题意得 x、 y 的约束条件为Error!设获利 z 元，则 z＝300 x＋400 y.画出可行域如图．画直线 l：300 x＋400 y＝0，即 3x＋4 y＝0.平移直线 l，从图中可知，当直线过点 M 时，目标函数取得最大值．由Error! 解得Error!即 M 的坐标为(4,4)，∴ zmax＝300×4＋400×4＝2800(元)．故选 C.4．若实数 x、 y 满足Error!则 z＝ 的取值范围为( )y＋ 2x－ 1A．(－∞，－4]∪ [23， ＋ ∞ )B．(－∞，－2]∪ [23， ＋ ∞ )C.[－ 2，23]3D.[－ 4，23]答案 B解析 作出不等式组对应的平面区域，如图．因为 z＝ ，所以 z 的几何意义是区域内过任意一点( x， y)与点 P(1，－2)的直线的y＋ 2x－ 1斜率．由题意知 C(4,0)，所以 kPO＝－2， kPC＝ ＝ ，－ 2－ 01－ 4 23所以 z＝ 的取值范围为 z≥ 或 z≤－2，y＋ 2x－ 1 23即(－∞，－2]∪ .故选 B.[23， ＋ ∞ )5．[2015·贵阳期末]已知实数 x， y 满足：Error!，则 z＝2 x－2 y－1 的取值范围是( )A. B．[0,5][53， 5]C. D.[53， 5) [－ 53， 5)答案 D解析 画出不等式组所表示的区域如图阴影部分所示，作直线 l：2 x－2 y－1＝0，平移l 可知当 l 过 C 点 和 B(2，－1)时， z 取最小值和最大值.(13， 23)2× －2× －1≤ z0， b0)的最大值为 4，则 ab 的取值范围是( )A．(0,4) B．(0,4]C．[4，＋∞) D．(4，＋∞)答案 B解析 作出不等式组表示的区域如图阴影部分所示，由图可知， z＝ ax＋ by(a0， b0)过点 A(1,1)时取最大值，∴ a＋ b＝4， ab≤ 2＝4，当且仅当 a＝ b 时取(a＋ b2 )“＝” ．∵ a0， b0，∴ ab∈(0,4]，故选 B.3.[2015·衡水中学期中]定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(3)＝1， f(－2)＝3， f′( x)为f(x)的导函数，已知 y＝ f′( x)的图象如图所示，且 f′( x)有且只有一个零点，若非负实数a， b 满足 f(2a＋ b)≤1， f(－ a－2 b)≤3，则 的取值范围为( )b＋ 2a＋ 18A. ∪[3，＋∞) B.(－ ∞ ，45] [45， ＋ ∞ )C．(－∞，3] D.[45， 3]答案 D解析 由 y＝ f′( x)的图象可知，当 x∈(－∞，0)时， y＝ f(x)为减函数，当 x∈(0，＋∞)时， y＝ f(x)为增函数，因为 a， b 为非负实数，所以 f(2a＋ b)≤1 可转化为 f(2a＋ b)≤ f(3)，即 0≤2 a＋ b≤3，同理 f(－ a－2 b)≤3 可转化为 f(－ a－2 b)≤ f(－2)，即－ a－2 b≥－2,0≤ a＋2 b≤2，因此实数 a， b 满足Error!画出所表示的平面区域，如图阴影部分所示，而 表示阴影区域内的任意一点( a， b)与点 M(－1，－2)连线的b＋ 2a＋ 1斜率，由图可知 max＝ kMA＝ ＝3， min＝ kMB＝ ＝ ，故 的取值(b＋ 2a＋ 1) 1－  － 20－  － 1 (b＋ 2a＋ 1) － 2－ 0－ 1－ 32 45 b＋ 2a＋ 1范围为 .故选 D.[45， 3]4．[2014·课标全国卷Ⅰ]设 x， y 满足约束条件Error!且 z＝ x＋ ay 的最小值为 7，则 a 等于( )A．－5 B．3C．－5 或 3 D．5 或－3答案 B9解析 当 a＝－5 时，作出不等式组表示的可行域，如图(1)(阴影部分)．由Error! 得交点 A(－3，－2)，则目标函数 z＝ x－5 y 过 A 点时取得最大值． zmax＝－3－5×(－2)＝7，不满足题意，排除 A，C 选项．当 a＝3 时，作出不等式组表示的可行域，如图(2)(阴影部分)．由Error! 得交点 B(1,2)，则目标函数 z＝ x＋3 y 过 B 点时取得最小值．zmin＝1＋3×2＝7，满足题意．5．[2016·皖南八校联考]已知实数 x， y 满足：Error!，则 z＝ 的取值范围是2x＋ y－ 1x－ 1________．答案 (－∞，1]∪[2 ＋4，＋∞)210解析 由不等式组画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数 z＝ ＝2＋ 的取值2x＋ y－ 1x－ 1 y＋ 1x－ 1范围可转化为点( x， y)与(1，－1)所在直线的斜率加上 2 的取值范围，由图形知， A 点坐标为( ， 1)，则点(1，－1)与 ( ，1)所在直线的斜率为 2 ＋2，点(0,0)与(1，－1)所在直2 2 2线的斜率为－1，所以 z 的取值范围为(－∞，1]∪[2 ＋4，＋∞)．21第六章 不等式、推理与证明 6.4 基本不等式练习 理[A组·基础达标练]1．[2016·孝感调研]“ ab0”是“ abb0⇒a2＋ b22ab充分性成立， ab－1，则函数 y＝ x＋ 的最小值为( )1x＋ 1A．－1 B．0C．1 D．2答案 C解析 由于 x－1，则 x＋10，所以 y＝ x＋ ＝( x＋1)＋ －1≥21x＋ 1 1x＋ 1－1＝1，当且仅当 x＋1＝ ，由于 x－1，即当 x＝0 时，上式取等号， x＋ 1 ·1x＋ 1 1x＋ 1故选 C.3．[2015·黄浦二模]已知 a， b∈R，且 ab≠0，则下列结论恒成立的是( )A． a＋ b≥2 B. ＋ ≥2abab baC. ≥2 D． a2＋ b22ab|ab＋ ba|答案 C解析 当 a， b都为负数时，A 不成立，当 a， b一正一负时，B 不成立；当 a＝ b时，D不成立，因此只有 C正确．4．[2015·绵阳一诊]若正数 a， b满足 ＋ ＝1，则 ＋ 的最小值为( )1a 1b 1a－ 1 9b－ 1A．1 B．6C．9 D．16答案 B解析 解法一：因为 ＋ ＝1，所以 a＋ b＝ ab⇒(a－1)·( b－1)＝1，所以1a 1b＋ ≥2 ＝ 2×3＝6.(当且仅当 a＝ ， b＝4 时取“＝”)1a－ 1 9b－ 1 1a－ 1·9b－ 1 43解法二：因为 ＋ ＝1，所以 a＋ b＝ ab，1a 1b所以＋ ＝ ＝ b＋9 a－10＝( b＋9 a)· －10＝ ＋ ＋1＋9－10≥21a－ 1 9b－ 1 b－ 1＋ 9a－ 9ab－ a－ b＋ 1 (1a＋ 1b) ba 9ab2＝6(当且仅当 a＝ ， b＝4 时取“＝”)．ba·9ab 43解法三：因为 ＋ ＝1，所以 a－1＝ ，1a 1b 1b－ 1所以 ＋ ＝( b－1)＋ ≥2 ＝2×3＝6(当且仅当 b＝4 时取“＝”)．1a－ 1 9b－ 1 9b－ 1 95．若 x4，则函数 y＝ x＋ ( )1x－ 4A．有最大值－6 B．有最小值 6C．有最大值 2 D．没有最小值答案 B解析 ∵ x4，∴ y＝ x＋ ＝( x－4)＋ ＋4≥2 ＋4＝6，当且仅1x－ 4 ( 1x－ 4)  x－ 4 ( 1x－ 4)当 x－4＝ ，此时 x＝5，故选 B.1x－ 46．若正数 x、 y满足 x＋3 y＝5 xy，则 3x＋4 y的最小值是( )A. B.245 285C．5 D．6答案 C解析 由 x＋3 y＝5 xy，得 ＋ ＝5( x0， y0)，3x 1y则 3x＋4 y＝ (3x＋4 y)15 (3x＋ 1y)＝15(13＋ 12yx＋ 3xy)≥15(13＋ 212yx·3xy)＝ (13＋12)＝5.15当且仅当 ＝ ，12yx 3xy即 x＝2 y时，等号成立，此时由Error!解得Error! 故选 C.7．[2016·洛阳月考]设正实数 a， b满足 a＋ b＝2，则 ＋ 的最小值为________．1a a8b答案 1解析 依题意得 ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＋ ≥ ＋2 ＝1，当且仅当Error!即1a a8b a＋ b2a a8b 12 b2a a8b 12 b2a×a8ba＝2 b＝ 时取等号，因此 ＋ 的最小值是 1.43 1a a8b38．[2015·南昌模拟]已知 x0， y0， x＋3 y＋ xy＝9，则 x＋3 y的最小值为________．答案 6解析 9＝ x＋3 y＋ xy＝ x＋3 y＋ ·(x·3y)≤ x＋3 y＋ · 2，13 13 (x＋ 3y2 )所以( x＋3 y)2＋12( x＋3 y)－108≥0.所以 x＋3 y≥6 或 x＋3 y≤－18(舍去)．当且仅当 x＝3 y＝3 时取“＝” ．9．已知直线 ax－2 by＝2( a0， b0)过圆 x2＋ y2－4 x＋2 y＋1＝0 的圆心， ab的最大值为________．答案 14解析 圆的标准方程为( x－2) 2＋( y＋1) 2＝4，所以圆心为(2，－1)，因为直线过圆心，所以 2a＋2 b＝2，即 a＋ b＝1.所以 ab≤ 2＝ ，(a＋ b2 ) 14当且仅当 a＝ b＝ 时取等号，12所以 ab的最大值为 .1410．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间 x(单位：年)的关系为 y＝－ x2＋18 x－25( x∈N *)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．答案 5 8解析 每台机器运转 x年的年平均利润为 ＝18－ ，而 x0，故yx (x＋ 25x)≤18－2 ＝8，当且仅当 x＝5 时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为 8万元．yx 25[B组·能力提升练]1．[2015·青岛一模]在实数集 R中定义一种运算“*” ，对任意 a， b∈R， a*b为唯一确定的实数，且具有性质：(1)对任意 a∈R， a*0＝ a；(2)对任意 a， b∈R， a*b＝ ab＋( a*0)＋( b*0)．则函数 f(x)＝(e x)* 的最小值为( )1exA．2 B．3C．6 D．8答案 B解析 依题意可得 f(x)＝(e x)* ＝e x· ＋e x＋ ＝e x＋ ＋1≥2 ＋1＝3，当1ex 1ex 1ex 1ex ex·1ex4且仅当 x＝0 时“＝”成立，所以函数 f(x)＝(e x)* 的最小值为 3，选 B.1ex2．[2015·唐山二模]若实数 a， b， c满足 a2＋ b2＋ c2＝8，则 a＋ b＋ c的最大值为( )A．9 B．2 3C．3 D．22 6答案 D解析 ( a＋ b＋ c)2＝ a2＋ b2＋ c2＋2 ab＋2 ac＋2 bc＝8＋2 ab＋2 ac＋2 bc.∵ a2＋ b2≥2 ab， a2＋ c2≥2 ac， b2＋ c2≥2 bc，∴8＋2 ab＋2 ac＋2 bc≤2( a2＋ b2＋ c2)＋8＝24，当且仅当 a＝ b＝ c＝ 时取等号，263∴ a＋ b＋ c≤2 .63．已知 ab0， ab＝1，则 的最小值为________．a2＋ b2a－ b答案 2 2解析 ∵ ab0，∴ a－ b0，∴ ＝a2＋ b2a－ b  a－ b 2＋ 2aba－ b＝ a－ b＋ ≥2 ＝2 .2a－ b  a－ b ·2a－ b 2当且仅当 a－ b＝ ，即 a＝ b＋ 时等号成立．2a－ b 24．已知函数 f(x)＝ (a∈R)，若对于任意的 x∈N *， f(x)≥3 恒成立，则 ax2＋ ax＋ 11x＋ 1的取值范围是________．答案 [－83， ＋ ∞ )解析 对任意 x∈N *， f(x)≥3，即 ≥3 恒成立，即 a≥－ ＋3.x2＋ ax＋ 11x＋ 1 (x＋ 8x)设 g(x)＝ x＋ ， x∈N *， g(x)在(0,2 ]上单调递减，在(2 ，＋∞)上单调递增，且8x 2 2g(2)＝6， g(3)＝ .173∵ g(2)g(3)，∴ g(x)min＝ .173∴－ ＋3≤－ ，∴ a≥－ .(x＋8x) 83 83故 a的取值范围是 .[－83， ＋ ∞ )5．某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉 6吨，每吨面粉的价格为 1800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天 3元，购买面粉每次需支付运费 900元．(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？5(2)某提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于 210吨时，其价格可享受 9折优惠，问该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由．解 (1)设该厂应每隔 x天购买一次面粉，其购买量为 6x吨，由题意可知，面粉的保管等其他费用为 3[6x＋6( x－1)＋6( x－2)＋…＋6×1]＝9 x(x＋1)，设平均每天所支付的总费用为 y1元，则 y1＝ ＋1800×6[9x x＋ 1 ＋ 900]x＝ ＋9 x＋10809≥2 ＋10809＝10989，900x 900x·9x当且仅当 9x＝ ，即 x＝10 时取等号．900x即该厂应每隔 10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少．(2)∵不少于 210吨，每天用面粉 6吨，∴至少每隔 35天购买一次面粉．设该厂利用此优惠条件后，每隔 x(x≥35)天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y2元则 y2＝ [9x(x＋1)＋900]＋6×1800×0.91x＝ ＋9 x＋9729( x≥35)．900x令 f(x)＝ x＋ (x≥35)， x2x1≥35，100x则 f(x1)－ f(x2)＝ －(x1＋100x1) (x2＋ 100x2)＝ . x2－ x1  100－ x1x2x1x2∵ x2x1≥35，∴ x2－ x10， x1x20,100－ x1x20，∴ f(x1)－ f(x2)0， f(x1)f(x2)，即 f(x)＝ x＋ ，当 x≥35 时为单调递增函数，100x∴当 x＝35 时， f(x)有最小值，此时( y2)min＝ 10989.704887∴该厂应接受此优惠条件．1第六章 不等式、推理与证明 6.5 合情推理与演绎推理练习 理[A组·基础达标练]1．[2015·鹰潭二模][ x]表示不超过 x的最大整数，例如：[π]＝3.S1＝[ ]＋[ ]＋[ ]＝31 2 3S2＝[ ]＋[ ]＋[ ]＋[ ]＋[ ]＝104 5 6 7 8S3＝[ ]＋[ ]＋[ ]＋[ ]＋[ ]＋[ ]＋[ ]＝21，9 10 11 12 13 14 15…，依此规律，那么 S10等于( )A．210 B．230C．220 D．240答案 A解析 ∵[ x]表示不超过 x的最大整数，∴ S1＝[ ]＋[ ]＋[ ]＝1×3 ＝3，1 2 3S2＝[ ]＋[ ]＋[ ]＋[ ]＋[ ]＝2×5＝10，4 5 6 7 8S3＝[ ]＋[ ]＋[ ]＋[ ]＋[ ]＋[ ]＋[ ]＝3×7＝21，9 10 11 12 13 14 15…，Sn＝[ ]＋[ ]＋[ ]＋…＋[ ]＋[ ]＝ n×(2n＋1)，n2 n2＋ 1 n2＋ 2 n2＋ 2n－ 1 n2＋ 2n∴ S10＝10×21＝210.2．给出下面类比推理命题(其中 Q为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)：①“若 a， b∈R，则 a－ b＝0⇒ a＝ b”类比推出“若 a， b∈C，则 a－ b＝0⇒ a＝ b”；②“若 a， b， c， d∈R，则复数 a＋ bi＝ c＋ di⇒a＝ c， b＝ d”类比推出“若a， b， c， d∈Q，则 a＋ b ＝ c＋ d ⇒a＝ c， b＝ d”；2 2③若“ a， b∈R，则 a－ b0⇒ab”类比推出“若 a， b∈C，则 a－ b0⇒ab”．其中类比结论正确的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3答案 C解析 ①②正确，③错误，因为两个复数如果不是实数，不能比较大小，故选 C.3．[2015·闸北二模]平面内有 n条直线，最多可将平面分成 f(n)个区域，则 f(n)的表达式为( )A． n＋1 B．2 nC. D． n2＋ n＋1n2＋ n＋ 22答案 C解析 1 条直线将平面分成 1＋1 个区域；2 条直线最多可将平面分成 1＋(1＋2)＝4 个区域；3 条直线最多可将平面分成 1＋(1＋2＋3)＝7 个区域；…； n条直线最多可将平面分成 1＋(1＋2＋3＋…＋ n)＝1＋ ＝ 个区域，选 C.n n＋ 12 n2＋ n＋ 224．定义 A*B， B*C， C*D， D*A的运算分别对应图中的(1)(2)(3)(4)，那么如图中(a)(b)2所对应的运算结果可能是( )A． B*D， A*D B． B*D， A*CC． B*C， A*D D． C*D， A*D答案 B解析 观察图形及对应运算分析可知：基本元素为 A→ ， B→ ， C→————， D→ ，从而可知图(a)对应 B*D，图(b)对应 A*C.5．[2015·河南一模]从 1开始的自然数按如图所示的规则排列，现有一个三角形框架在图中上下或左右移动，使每次恰有九个数在此三角形内，则这九个数的和可以为( )A．2097 B．1553C．1517 D．2111答案 C解析 根据如题图所示的规则排列，设最上层的一个数为 a，则第二层的三个数为a＋7， a＋8， a＋9，第三层的五个数为 a＋14， a＋15， a＋16， a＋17， a＋18，这 9个数之和为 a＋3 a＋24＋5 a＋80＝9 a＋104.由 9a＋104＝1517，得 a＝157，是自然数．且 a为表中第 20行第 5个数，符合；若9a＋104＝2097， a≈221.4 不合题意；若 9a＋104＝1553， a＝161， a为表中第 21行第一个数，不合题意；若 9a＋104＝2111， a＝223， a为表中第 28行第 7个数，不合题意．6．[2014·陕西高考]已知 f(x)＝ ， x≥0，若 f1(x)＝ f(x)， fn＋1 (x)＝ f(fn(x))，x1＋ xn∈N ＋ ，则 f2014(x)的表达式为________．答案 f2014(x)＝x1＋ 2014x3解析 由 f1(x)＝ ⇒f2(x)＝ f ＝ ＝ ，又可得 f3(x)＝ f(f2(x))＝11＋ x ( x1＋ x)x1＋ x1＋ x1＋ x x1＋ 2x＝ ，故可猜想： f2014(x)＝ .x1＋ 2x1＋ x1＋ 2x x1＋ 3x x1＋ 2014x7．[2015·咸阳三模]用火柴棒摆“金鱼” ，如图所示：按照下面的规律，第 n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为______．答案 6 n＋2解析 由题意知，图②的火柴棒比图①的多 6根，图③的火柴棒比图②多 6根，而图①的火柴棒的根数为 2＋6＝8，所以第 n条小鱼需要 6n＋2 根．8．[2016·龙岩模拟]代数式 1＋ (“…”表示无限重复)是一个固定的值，可11＋ 11＋ …以令原式＝ t，由 1＋ ＝ t解得其值为 ，用类似的方法可得 1t 5＋ 12＝________.2＋ 2＋ 2＋ …答案 2解析 由已知代数式的求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解(舍去负根)，可得要求的式子的值．令 ＝ m(m0)，2＋ 2＋ 2＋ …则两边平方得，2＋ ＝ m2，2＋ 2＋ 2＋ …即 2＋ m＝ m2，解得 m＝2(－1 舍去)．9．[2015·南昌一模]观察下列等式：(1＋ x＋ x2)1＝1＋ x＋ x2，(1＋ x＋ x2)2＝1＋2 x＋3 x2＋2 x3＋ x4，(1＋ x＋ x2)3＝1＋3 x＋6 x2＋7 x3＋6 x4＋3 x5＋ x6，(1＋ x＋ x2)4＝1＋4 x＋10 x2＋16 x3＋19 x4＋16 x5＋10 x6＋4 x7＋ x8，…由以上等式推测：对于 n∈N *，若(1＋ x＋ x2)n＝ a0＋ a1x＋ a2x2＋…＋ a2nx2n，则a2＝________.4答案 n n＋ 12解析 由已知中的式子，我们观察后分析：等式右边展开式中的第三项系数分别为 1,3,6,10，…，即 ， ， ， ，…根据已知可以推断：1×22 2×32 3×42 4×52第 n(n∈N *)个等式中 a2为 .n n＋ 1210．[2015·江西模拟]有下列各式：1＋ ＋ 12 131,1＋ ＋…＋ ，1＋ ＋ ＋…＋ 2，…则按此规律可猜想此类不等式的一般形式为12 1732 12 13 115________．答案 1＋ ＋ ＋…＋ (n∈N *)12 13 12n＋ 1－ 1n＋ 12解析 观察各式左边为 1、、…、 (n∈N *)的和的形式，项数分别为：3,7,15，故可猜12 1n想第 n个式子中应有 2n＋1 －1 项，不等式右侧分别写成 ，，，故猜想第 n个式子中应为223242，按此规律可猜想此类不等式的一般形式为 1＋ ＋ ＋…＋ (n∈N *)．n＋ 12 12 13 12n＋ 1－ 1n＋ 12[B组·能力提升练]1．[2016·龙泉驿区模拟]对于问题：“已知两个正数 x， y满足 x＋ y＝2，求 ＋ 的最1x 4y小值” ，给出如下一种解法：∵ x＋ y＝2，∴ ＋ ＝ (x＋ y) ＝ ，1x 4y 12 (1x＋ 4y) 12(5＋ yx＋ 4xy)∵ x0， y0，∴ ＋ ≥2 ＝4，yx 4xy yx·4xy∴ ＋ ≥ (5＋4)＝ ，1x 4y 12 92当且仅当Error!即Error! 时， ＋ 取最小值 .1x 4y 92参考上述解法，已知 A， B， C是△ ABC的三个内角，则 ＋ 的最小值为( )1A 9B＋ CA. B.16π 8πC. D.4π 2π答案 A解析 A＋ B＋ C＝π，5设 A＝ α ， B＋ C＝ β ，则 α ＋ β ＝π， ＝1，α ＋ βπ参考题干中解法，则 ＋ ＝ ＋ ＝ (α ＋ β )1A 9B＋ C 1α 9β (1α ＋ 9β )＝ ≥ (10＋6)＝ ，当且仅当 ＝ ，即 3α ＝ β 时等号成立．1π 1π (10＋ βα ＋ 9αβ ) 1π 16π βα 9αβ2．[2015·湖北高考]设 x∈R，[ x]表示不超过 x的最大整数．若存在实数 t，使得[ t]＝1，[ t2]＝2，…，[ tn]＝ n同时成立，则正整数 n的最大值是( )A．3 B．4C．5 D．6答案 B解析 由[ t]＝1，得 1≤ t2.由[ t2]＝2，得 2≤ t23.由[ t4]＝4，得 4≤ t45，所以2≤ t2 .由[ t3]＝3，得 3≤ t34，所以 6≤ t54 .由[ t5]＝5，得 5≤ t56，与 6≤ t545 5矛盾，故正整数 n的最大值是 4.53．[2015·山东高考]观察下列各式：C ＝4 0；01C ＋C ＝4 1；03 13C ＋C ＋C ＝4 2；05 15 25C ＋C ＋C ＋C ＝4 3；07 17 27 37……照此规律，当 n∈N *时，C ＋C ＋C ＋…＋C ＝________.02n－ 1 12n－ 1 22n－ 1 n－ 12－答案 4 n－1解析 第一个等式， n＝1，而右边式子为 40＝4 1－1 ；第二个等式， n＝2，而右边式子为 41＝4 2－1 ；第三个等式， n＝3，而右边式子为 42＝4 3－1 ；第四个等式， n＝4，而右边式子为 43＝4 4－1 ；……归纳可知，第 n个等式的右边为 4n－1 .4．[2015·福建高考]一个二元码是由 0和 1组成的数字串 x1x2…xn(n∈N *)，其中xk(k＝1,2，…， n)称为第 k位码元．二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由 0变为 1，或者由 1变为 0)．已知某种二元码 x1x2…x7的码元满足如下校验方程组：Error!其中运算⊕定义为：0⊕0＝0,0⊕1＝1,1⊕0＝1,1⊕1＝0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第 k位发生码元错误后变成了 1101101，那么利用上述校验方程组可判定 k等于________．答案 5解析 因为 x4⊕ x5⊕ x6⊕ x7＝1⊕1⊕0⊕1＝0⊕0⊕1＝0⊕1＝1≠0，所以二元码 1101101的前 3位码元都是对的；因为 x2⊕ x3⊕ x6⊕ x7＝1⊕0⊕0⊕1＝1⊕0⊕1＝1⊕1＝0，所以二元6码 1101101的第 6、7 位码元也是对的；因为x1⊕ x3⊕ x5⊕ x7＝1⊕0⊕1⊕1＝1⊕1⊕1＝0⊕1＝1≠0，所以二元码 1101101的第 5位码元是错的，所以 k＝5.5．[2015·西安五校联考]已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第 60个“整数对”是________．答案 (5,7)解析 依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知第 n组中每个“整数对”的和均为 n＋1，且第 n组共有 n个“整数对” ，这样的前 n组一共有 个“整数对” ，n n＋ 12注意到 60 ，因此第 60个“整数对”处于第 11组(每个10× 10＋ 12 11× 11＋ 12“整数对”的和为 12的组)的第 5个位置，结合题意可知每个“整数对”的和为 12的组中的各对数依次为：(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，因此第 60个“整数对”是(5,7)．1第六章 不等式、推理与证明 6.6 直接证明与间接证明练习 理[A 组·基础达标练]1．用反证法证明某命题时，对结论“自然数 a， b， c 中恰有一个偶数”正确的反设是( )A．自然数 a， b， c 中至少有两个偶数B．自然数 a， b， c 中至少有两个偶数或都是奇数C．自然数 a， b， c 都是奇数D．自然数 a， b， c 都是偶数答案 B解析 “恰有一个偶数”反面应是“至少有两个偶数或是奇数” ，故选 B.2．设 x， y， z0，则三个数 ＋ ， ＋ ， ＋ ( )yx yz zx zy xz xyA．都大于 2B．至少有一个大于 2C．至少有一个不小于 2D．至少有一个不大于 2答案 C解析 由于 ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ≥2 ＋2＋2＝6，yx yz zx zy xz xy (yx＋ xy) (zx＋ xz) (yz＋ zy)∴ ＋ ， ＋ ， ＋ 中至少有一个不小于 2.故选 C.yx yz zx zy xz xy3．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设 abc，且 a＋ b＋ c＝0，求证 0 B． a－ c0C．( a－ b)(a－ c)0 D．( a－ b)(a－ c)bc，且 a＋ b＋ c＝0 可得 b＝－ a－ c， a0， c0，b2－ ac 3即证 a(a－ c)＋( a＋ c)(a－ c)0，即证 a(a－ c)－ b(a－ c)0，即证( a－ c)(a－ b)0.故求证“ 0.4．[2015·合肥一模]对于函数 f(x)，若∀ a， b， c∈R， f(a)， f(b)， f(c)都是某一三角形的三边长，则称 f(x)为“可构造三角形函数” ．以下说法正确的是( )A． f(x)＝1( x∈R)不是“可构造三角形函数”B． “可构造三角形函数”一定是单调函数C． f(x)＝ (x∈R)是“可构造三角形函数”1x2＋ 1D．若定义在 R 上的函数 f(x)的值域是[ ，e](e 为自然对数的底数)，则 f(x)一定是e2“可构造三角形函数”答案 D解析 对于 A 选项，由题设所给的定义知，∀ a， b， c∈R ， f(a)， f(b)， f(c)都是某一正三角形的三边长，是“可构造三角形函数” ，故 A 选项错误；对于 B 选项，由 A 选项判断过程知，B 选项错误；对于 C 选项，当 a＝0， b＝3， c＝3 时，f(a)＝1 f(b)＋ f(c)＝ ，不构成三角形，故 C 错误；15对于 D 选项，由于 ＋ e，可知，定义在 R 上的函数 f(x)的值域是[ ，e](e 为自e e e然对数的底数)，则 f(x)一定是“可构造三角形函数” ．5．若 a， b∈R，则下面四个式子中恒成立的是( )A．lg(1＋ a2)0 B． a2＋ b2≥2( a－ b－1)C． a2＋3 ab2b2 D. 0， y0，若 ＋ m2＋2 m 恒成立，则实数 m 的取值范围2yx 8xy是( )A． m≥4 或 m≤－2 B． m≥2 或 m≤－4C．－2a2a3…a10，则必是第一题答对，其余题均答错；③有可能 a5＝2 a10.其中正确的个数是________．答案 3 个解析 ①②显然成立，③前 5 个全答对，后 5 个全错，符合题意，故正确的有 3 个．10．[2015·南昌一模]设无穷数列{ an}，如果存在常数 A，对于任意给定的正数 ε (无论多小)，总存在正整数 N，使得 nN 时，恒有| an－ A|N 时，恒有| an－2|1－log2 ε ，即|1＋12＋ 122＋ 123＋ …＋ 12n－ 1－ 2| |1×(1－ 12n)1－ 12 － 2| 22n对于任意给定的正数 ε (无论多小)，总存在正整数 N，使得 nN 时，恒有| an－2| ，即对于任意给定的正数 ε (无论多小)，总存在正整|2n＋ 1n － 2| 1n 1ε数 N，使得 nN 时，恒有| an－2|0，即证 a2＋ c2－ b20，a2＋ c2－ b22ac由于 a2＋ c2－ b2≥2 ac－ b2，∴要证 a2＋ c2－ b20 只需证 2ac－ b20.∵ a、 b、 c 的倒数成等差数列，∴ ＋ ＝ ，即 2ac＝ b(a＋ c)．1a 1c 2b∴要证 2ac－ b20，只需证 b(a＋ c)－ b20即证 b(a＋ c－ b)0，上述不等式显然成立，∴∠ B 为锐角．4．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin 213°＋cos 217°－sin13°cos17°；②sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°；5③sin 218°＋cos 212°－sin18°cos12°；④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)·cos48°；⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)·cos55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．解 (1)选择②式，计算如下：sin215°＋cos 215°－sin15°cos15°＝1－ sin30°＝1－ ＝ .12 14 34(2)三角恒等式为 sin2α ＋cos 2(30°－ α )－sin α cos(30°－ α )＝ .34证法一：sin 2α ＋cos 2(30°－ α )－sin α cos(30°－ α )＝sin 2α ＋(cos30°cos α ＋sin30°sin α )2－sin α (cos30°cosα ＋sin30°sin α )＝sin 2α ＋ cos2α ＋ sinα cosα ＋ sin2α － sinα cosα － sin2α34 32 14 32 12＝ sin2α ＋ cos2α ＝ .34 34 34证法二：sin 2α ＋cos 2(30°－ α )－sin α cos(30°－ α )＝sin 2α ＋cos(30°－ α )[cos(30°－ α )－sin α ]＝sin 2α ＋(cos30°cos α ＋sin30°sin α )[(cos30°cosα ＋sin30°·sin α )－sin α ]＝sin 2α ＋(cos30°cos α ＋sin30°sin α )·(cos30°cosα －sin30°·sin α )＝sin 2α ＋(cos30°cos α )2－(sin30°sin α )2＝sin 2α ＋ cos2α － sin2α34 14＝ sin2α ＋ cos2α34 34＝ .34