1、1,自动控制原理,,2,9.1 引言,9.2状态空间和状态方程,9.3线性系统状态空间表达式的建立,9.4线性定常系统连续状态方程的解,9.5线性定常系统可控性和客观测性分析,第九章 状态空间分析与综合,,3,经典控制理论中常常采用系统输入和输出之间的关系来描述一个控制系统。这称之为控制系统的输入输出描述。微分方程和传递函数就是属于这种系统描述所采用的数学模型。经典控制理论分析和设计控制系统所采用的方法是频率特性法和根轨迹法。这两种方法用来分析和设计线性、定常、单变量系统是很有效的。 但是，对于非线性系统、时变系统、多变量系统等，经典控制理论就显得无能为力了。同时，随着生产过程自动化水平要求的
2、提高，控制系统的任务越来越复杂，控制精度要求也越来越高，因此，建立在状态空间分析方法基础上的现代控制理论便迅速地发展起来。,9.1 引言,,4,9.2 状态空间和状态方程 9.2.1状态空间方法的几个基本概念 状态：所谓状态，是指系统过去、现在和将来的状况。 状态变量： 状态变量是指能确定系统运动状态的最少数目的一组变量。一个用n阶微分方程描述的系统就有n个独立的变量，当这n个独立变量的时间响应都求得时，系统的行为也就完全被确定。因此，由n阶微分方程描述的系统就有n个状态变量。状态变量具有非唯一性，因为不同的状态变量也能表达同一个系统的行为。 状态向量：若以n个状态变量 作为向量x(t)的分量
3、，则x(t)称为状态向量。,,5,状态空间：以状态变量 构成的n维空间，称为状态空间。系统在任意时刻的状态向量x(t)在状 态空间中是一个点。系统随时间的变化过程，使x(t) 在状态 空 间中描绘出一条轨迹。 状态空间表达式：将反映系统动态过程的n微分方程或传递函数 ，转换成一阶微分方程组的形式，并利用矩阵和向量的数学工具，将一阶微分方程组用一个式子来表示，这就是状态方程。状态方程与描述系统状态变量与系统输出变量之间关系的输出方程构成了状态空间表达式。,9.2 状态空间和状态方程,,6,式中, 和 分别为状态向量及其一阶导数, ， 分别为系统的输入变量和输出变量, A, B, C分别为具有一定
4、维数的系统矩阵。,下面就是状态空间表达式的标准描述,(9-1),9.2 状态空间和状态方程,,7,RLC电路的状态空间模型 设有如图9-1所示的 RLC 电路，根据电工学的定理 可以建立RLC电路的动态过程的微分方程为:,设 为输入量，i(t) 为输出量 ，并选择i(t) 和 为RLC电路状态变量，即设,（9-2）,（9-3）,图91,9.2 状态空间和状态方程,,8,可推导一阶微分方程组 写成状态方程，有 再设 ，则相应的输出方程为,(9-4),(9-5),9.2.2 示例,,9,再将式(9-5)、(9-6)写成式(9-1)的形式 其中,(9-6),A=,B=,C=,9.2.2 示例,,10
5、,9.3 线性系统状态空间表达式的建立 9.3.1高阶微分方程到状态空间描述 1. 输入信号不含导数项的n阶微分方程系统的状态空间描述。设单输入/单输出控制系统的动态过程由下列n阶微分方程来描述 式中， 为系统的输出信号（输出量）及其各阶导数，u 为系统的输入信号（输入量）； 为常系数。,(9-7),,11,若已知初始条件 及 时刻的输入信号 ，则系统在任何时刻的行为便可完全确定，所以可选取 及 的各阶导数作为状态变量，即状态变量可取为,9.3 线性系统状态空间表达式的建立,(9-8),,12,则式（9-7）可以改写为,(9-9),9.3 线性系统状态空间表达式的建立,,13,将上式写成向量和
6、矩阵的形式可得 式中， C=1 0 0 0, A =, B =,9.3 线性系统状态空间表达式的建立,,14,2输入信号包含导数项的n阶微分方程系统的状态空间描述 设控制系统由下列n阶微分方程来描述 这时，不能简单地把 选作状态变量，即不能采用上述的方法。因为化成一阶微分方程组,(9-11),(9-12),9.3 线性系统状态空间表达式的建立,,15,这样，最后一个方程中包含了输入信号 的各阶导数，系统将得不到唯一解。在包含输入导数的情况下，选择一组状态变量的原则是，应使导出的一阶微分方程组中，不能出现 的导数项。为此，可选取以下n个变量作为一组状态变量,(9-13),9.3 线性系统状态空间
7、表达式的建立,,16,式（9-13）中,(9-14),9.3 线性系统状态空间表达式的建立,,17,这样，就可以保证系统有唯一解。 式（9-14）可改写成 将上式改写成矩阵向量形式,(9-15),(9-16),9.3 线性系统状态空间表达式的建立,,18,其中 C=1 0 0 0， 式（9-16）即为含有输入信号导数项的控制系统的状态空间描述（包括状态方程和输出方程）., A =, B=,9.3 线性系统状态空间表达式的建立,,19,9.3.2 将传递函数转换成状态空间描述 设控制系统的闭环传递函数为 令上式中 按下式选取 为状态变量，即,(9-17),(9-18),(9-19),,20,上式
8、中，e(t)为E(s)的反拉氏变换，也即变量E(s)的时域表示。将式（9-18）进行反拉氏变换，并将式（9-18）关系代入，则式（9-17）可改写成 由式（9-19）和式（9-20）可得,(9-20),(9-21),9.3.2 将传递函数转换成状态空间描述,,21,由上式和式(9-20)可以得到状态空间描述为,(9-22),(9-23),9.3.2 将传递函数转换成状态空间描述,,22,传递函数的状态空间最小实现问题 对于给定的线性控制系统，维数最小的实现称为最实现。对于单输入/单输出系统的传递函数，存在两种情况，一种是传递函数的零点、极点可以对消（即传递函数的分子和分母多项式有可约去的因子）
9、，另一种是传递函数的零点、极点不可以对消（即传递函数的分子和分母多项式没有可约去的因子）。不可约传递函数的实现就是最小实现，这时系统状态变量的数目最少，状态空间描述的阶次最小。,9.3.2 将传递函数转换成状态空间描述,,23,【例9-1】设给定系统的传递函数为试求该传递函数的状态空间描述实现和最小实现。,(9-24),解：由式（9-24）可以看出，传递函数的分子和分母多项式有可约去的因子 (s+2) ，下面先求出不约去因子 (s+2) 的状态空间描述实现。,9.3.2 将传递函数转换成状态空间描述,,24,9.3.2 将传递函数转换成状态空间描述,由式（9-24）可得,,25,再进一步考察题
10、目所给的传递函数式（9-24），把它化简成不可约的传递函数形式，则有， 应用上述相同的方法，可求得式（9-25）的状态空间描述为,(9-25),9.3.2 将传递函数转换成状态空间描述,,26,图9-2中给出了这三种基本符号的示意图。对于只有这三种图形符号所构成的系统来说，它有一个重要的特点，即每一个积分环节的输出都代表系统的一个状态变量。因此，我们把这种只包含上述三种基本图形符号的系统称为状态变量图。(a)积分环节 (b) 相加点 (c) 比例环节,图9-2 状态变量图的三种基本图形符号,,27,如果一个控制系统主要由比例环节。积分环节、一阶滞后环节（惯性环节）、二阶振荡环节等基本环节所组成
11、，则其组成传递函数方框图要改画成状态变量图是很方便的，只要把其中的一阶惯性环节 和二阶振荡环节 ，按图9-3，9-4的方式改画成局部状态变量图就可以了。,9.3.3由状态变量图求系统的状态空间描述,,28,图9-3 将一阶惯性环节改 图9-4将二阶振荡环节改 画成状态变量图 画成状态变量图,9.3.3由状态变量图求系统的状态空间描述,,29,当画出整个系统的状态变量图以后，只要取每个积分环节的输出作为系统的状态变量，再通过对状态变量图的观察，就可以直接得到系统的状态方程和输出方程（即状态空间描述）。下面通过一个例子来说明状态变量图的绘制方法及由它求出系统的状态空间描述的方法。 【例9-2】设有
12、一空载运行的发电机的励磁控制系统如图9-8所示。试求出该系统的状态变量图，并求出系统的状态空间描述。 解:利用图9-3将励磁装置和发电机的传递函数均为一阶惯性环节，改画成局部状态变量图，则系统的状态变量图如图9-6所示。取状态变量为,9.3.3由状态变量图求系统的状态空间描述,,30,9.3.3由状态变量图求系统的状态空间描述,图9-5 发电机励磁控制系统传递函数方框图,图9-6 由图9-5改画成的系统状态变量图,,31,由图9-6可得到 对上式进行反拉氏变换得,(9-26),9.3.3由状态变量图求系统的状态空间描述,,32,将式（9-27）写成矩阵向量形式，即得状态空间描述为,(9-27)
13、,9.3.3由状态变量图求系统的状态空间描述,,33,输出方程为 用上式方法绘制状态变量图的特点是，其中状态变量的物理意义比较明确。例如在上例中，两个状态变量分别表示发电机的端电压和励磁电压。 【例9-3】 系统如例9-5，即系统的闭环传递函数为,9.3.3由状态变量图求系统的状态空间描述,,34,试用绘制状态变量图的方法，列写系统的状态空间描述。 解 将系统的闭环传递函数改写成 令上式中 将式（9-29）改写成 由（9-28），（9-30）可画出系统的状态变量图，如图9-7所示。,(9-28),(9-29),(9-30),9.3.3由状态变量图求系统的状态空间描述,,35,由图9-7可以方便
14、地直接列出系统的状态空间描述。状态方程为 输出方程为,图9-7 例9-5的系统状态变量图,9.3.3由状态变量图求系统的状态空间描述,,36,前面已阐述过，给定系统的状态变量组不是唯一的。例如对前面例9-1的RLC电路的状态空间描述，是以 和 作为一组状态变量，状态空间表达式为式（9-5）,（9-6）。如果以 和 作为一组状态变量，同样是图9-1的RLC电路，其状态空间描述可求之如下： 令 输出信号 此时可得 将上式写成矩阵向量形式，即得到状态空间描述如下，,(9-31),9.3.3由状态变量图求系统的状态空间描述,,37,(9-32),(9-33),显然，式（9-32）,（9-33）与式（9
15、-5）,（9-6）不同，但两者都是描述图9-1 RLC电路的状态方程。本例说明同一系统选用的状态变量不是唯一的，因此对应的状态方程也不是唯一的。,9.3.4 状态变量组的非唯一性,,38,一般地，设 是一组状态变量，可取任意一组函数, 作为系统的另一组状态变量，这里假设对每一组变量 都对应于唯一的一组 的值。反之亦然。因此，如果x是一个状态向量，则,(9-34),(9-35),9.3.4 状态变量组的非唯一性,,39,也是一个状态向量，这里假设变换矩阵P是非奇异的。显然，这两个不同的状态向量都能表达同一系统之动态行为的同一信息。假定对应于原系统的状态空间描述为,(9-36),变换后系统的状态空
16、间描述将为 式中， .,(9-37),9.3.4 状态变量组的非唯一性,,40,维系统矩阵A的特征值是下列特征方程的根： 这些特征值也为称特征根。 展开得， 例如，考虑下列矩阵A：,(9-38),(9-39),9.3.5 维系统矩阵A的特征方程和特征值,,41,特征方程为： 这里A的特征值就是特征方程的根，即1、2和3。,9.3.5 维系统矩阵A的特征方程和特征值,,42,9.4 线性定常系统连续状态方程的解 在讨论了状态方程的描述和模型转换后，本节将讨论线性定常系统的运动分析，即线性状态方程的求解。对于线性定常系统，为保证状态方程解的存在性和唯一性，系统矩阵A和输入矩阵B中各元必须有界。一般
17、来说，在实际工程中，这个条件是一定满足的。 9.4.1 线性系统状态方程的解 给定线性定常系统非齐次状态方程为 ： 其中 且初始条件为 . 将方程改写为,,43,在上式两边左乘 ，可得,将上式由0积分到t，得 故可求出其解为 或,(9-40a),(9-40b),式中 为系统的状态转移矩阵。,9.4 线性定常系统连续状态方程的解,,44,定义9.4.1 时变系统状态转移矩阵 是满足如下矩阵微分方程和初始条件,(9-41),的解。 下面不加证明地给出线性时变系统状态转移矩阵的几个重要性质： 1. 2. 3. 4.当A给定后， 唯一,,45,【例9-14】 试求如下线性定常系统 的状态转移矩阵(t)
18、和状态转移矩阵的逆 . 解 对于该系统， 其状态转移矩阵由下式确定,9.4.2状态转移矩阵,,46,由于其逆矩阵为 因此 =,9.4.2状态转移矩阵,,47,由于 ,故可求得状态转移矩阵的逆为,【例9-4】 求下列系统的时间响应： 式中， 为t = 0时作用于系统的单位阶跃函数，即 =,9.4.2状态转移矩阵,,48,状态转移矩阵已在例9-14中求得，即 因此，系统对单位阶跃输入的响应为：,9.4.2状态转移矩阵,解 对该系统,,49,或 如果初始状态为零，即x(0)=0,可将x(t)简化为,9.4.2状态转移矩阵,,50,9.4.3 向量矩阵分析中的若干结果 1.凯莱-哈密尔顿(Caley-
19、Hamilton)定理 考虑nn维矩阵A及其特征方程 凯莱-哈密尔顿定理指出，矩阵A满足其自身的特征方程，即 2 最小多项式 按照凯莱-哈密尔顿定理，任一nn维矩阵A满足其自身的特征方程，然而特征方程不一定是A满足的最小阶次的纯量方程。我们将矩阵A为其根的最小阶次多项式称为最小多项式，也就是说，定义nn维矩阵A的最小多项式为最小阶次的多项式()，即,,51,使得(A)= 0，或者 最小多项式在nn维矩阵多项式的计算中起着重要作用。 假设的多项式d()是(I-A)的伴随矩阵 的所有元素的最高公约式。可以证明，如果将d()的最高阶次的系数选为1，则最小多项式()由下式给出：,(9-43),9.4.
20、3 向量矩阵分析中的若干结果,,52,注意，nn维矩阵A的最小多项式()可按下列步骤求出： 1. 根据伴随矩阵 ，写出作为的因式分解多项式的 的各元素； 2.确定作为伴随矩阵 各元素的最高公约式d()。选取d()的最高阶次系数为1。如果不存在公约式，则d()=1； 3.最小多项式()可由|IA |除以d()得到。,9.4.3 向量矩阵分析中的若干结果,,53,9.4.4矩阵指数函数 的计算,1 方法一：直接计算法(矩阵指数函数)可以证明，对所有常数矩阵A和有限的t值来说，这个无穷级数都是收敛的。 2 方法二：对角线标准形与Jordan标准形法 若可将矩阵A变换为对角线标准形，那么 可由下式给出
21、,(9-44),,54,式中，P是将A对角线化的非奇异线性变换矩阵。 类似地，若矩阵A可变换为Jordan标准形，则 可由下式确定出,(9-45),(9-46),9.4.4矩阵指数函数 的计算,为了求出 ，关键是必须首先求出 sI- A 的逆。一般来说，当系统矩阵A的阶次较高时，可采用递推算法。,,55,【例9-6】 考虑如下矩阵A 试用前面介绍的两种方法计算 。 解 方法一：对角矩阵法 由于A的特征值为0和-2（ ），故可求得所需的变换矩阵P为 因此,可得,9.4.4矩阵指数函数 的计算,,56,方法二：拉氏变换法 由于 可得,(9-47),9.4.4矩阵指数函数 的计算,,57,方法三：化
22、 为A的有限项法(凯莱-哈密尔顿定理法) 第四种是利用凯莱-哈密尔顿定理，化 为A的有限项，然后通过求待定时间函数获得 的方法。这种方法相当系统，而且计算过程简单。 设A的最小多项式阶数为m。可以证明，采用赛尔维斯特内插公式，通过求解行列式,9.4.4矩阵指数函数 的计算,,58,(9-48),即可求出 。利用式(9-48）求解时，所得 是以 (k=0,1,2,m-1)和 (i=1,2,3,，m)的形式表示的。,9.4.4矩阵指数函数 的计算,,59,从而通过求解下列方程组： 可确定出 (k=0,1,2，m-1)，进而代入式(9-50)即可求得 .,(9-49),(9-50),9.4.4矩阵指
23、数函数 的计算,此外，也可采用如下等价的方法。将式(9-48)按最后一行展开，容易得到,,60,如果A为nn维矩阵，且具有相异特征值，则所需确定的 的个数为m=n，即有 如果A含有相重待征值，但其最小多项式有单根，则所需确定的 的个数小于n，这里将不再进一步介绍。 【例9-7】 考虑如下矩阵A 试用化 为A的有限项法计算 。,(9-51),9.4.4矩阵指数函数 的计算,,61,可得相异特征值为 由式 (9-51），可得 即将上述行列式展开，可得,9.4.4矩阵指数函数 的计算,解 矩阵A的特征方程为,,62,另一种可选用的方法:首先，由 确定待定时间函数 和 。由于 ，上述两式变为,9.4.
24、4矩阵指数函数 的计算,,63,求解此方程组，可得 因此，,9.4.4矩阵指数函数 的计算,,64,9.4.5 线性离散系统状态空间表达式的建立及其解 9.4.5.1由差分方程建立状态空间表达式 当离散系统用差分方程或脉冲传递函数描述时，单输入单输出线性系统定常差分方程的一般形式为,(9-52),式中，k表示 时刻，T 为采样周期； , 分别为 时刻的输出、输入量 , 是系统特性常数。考虑零初始条件的z变换关系有,,65,式中，G(z)称为脉冲传递函数，式（9-53）与（9-19）在形式上相同，故连续系统状态空间表达式的建立方法同样适用于离散系统。下面，我们介绍一种采用中间变量的方法建立离散状
25、态空间表达式。 在N(z)/D(z)串联分解中，引入中间变量Q(z)，则有,(9-53),9.4.5 线性离散系统状态空间表达式的建立及其解,,66,现定义下列一组状态变量则 利用z反变换关系,9.4.5 线性离散系统状态空间表达式的建立及其解,,67,状态方程为其矩阵向量形式为,9.4.5 线性离散系统状态空间表达式的建立及其解,,68,(9-54),式中G 为友矩阵，G，h是可控标准形。可以看出，离散系统状态方程描述了(k+1)T时刻的状态与kT时刻的状态及输入量之间的关系；其输出方程描述了kT时刻的输出量与kT时刻的状态及输入量之间的关系。 线性定常多输入多输出离散系统状态空间表达式为,
26、9.4.5 线性离散系统状态空间表达式的建立及其解,,69,离散系统一般结构图如图9-8所示。图中 为单位时滞，其输入为（k+1）T时刻的状态，其输出为延迟一个采样周期的kT时刻的状态。 图9-8 离散系统状态空间结构图,9.4.5 线性离散系统状态空间表达式的建立及其解,,70,9.4.5 .2 连续系统状态空间表达式的离散化 已知定常连续系统状态方程 在及u(t)作用下的解为 令t0 =kT, 则x(t0)=x(kT)=x(k);令t=(k+1)T,则 x(k+1)T=x(k+1); 在tk,k+1区间内，u(k)= u(k-1) 常数，于是其解化为 记 为了便于计算G(T)，引入下列变量
27、代换，令 ，则 (9-55) 上一页 下一页,,71,故离散系统状态方程为 式中(T)与连续系统状态转移矩阵(t)的关系为 离散化系统的输出方程仍然为 上一页 下一页,(9-55),(9-56),(9-57),(9-58),9.4.5 .2 连续系统状态空间表达式的离散化,,72,这里只介绍常用的递推方法，利用z变换的求解方法可以参考有关书籍。下面以解离散化状态方程为例说明。令式(9-58)中的k=0,1, , k-1可得到T, 2T,kT时刻的状态，即,,73,(9-59),式(9-59)为离散的解，又称离散状态转移方程。当u(i)=0, i=0, 1, , k-1,有 (k)称为离散化系统
28、状态转移矩阵。 输出方程为：,9.4.5.3. 定常离散系统动态方程的解,,74,对于离散状态方程式（9-58），其解为,(9-60),(9-61),(9-62),9.4.5.3. 定常离散系统动态方程的解,,75,9.5 线性定常系统的可控性 9.5.1 线性连续系统的可控性 （1）可控性定义 考虑线性连续时间系统 其中， （单输入），且初始条件为 ，如果施加一个无约束的控制信号，在有限的时间间隔 内，使初始状态转移到任一终止状态，则称系统在 时为状态(完全)可控的。如果每一个状态都可控，则称该系统为状态(完全)可控的。,(2) 定常系统状态可近代性的代数判据 可将状态可控性的代数判据归纳为
29、：当且仅当nn维矩阵Q满秩，即,,76,时，系统才是状态可控的。 上述结论也可推广到控制向量u为r维的情况。此时，如果系统的状态方程为 式中 ，那么可以证明，状态可控性的条件为nnr维矩阵 的秩为n，或者说其中的n个列向量时线性无关的。通常，我们称矩阵为可控性矩阵。,9.5 线性定常系统的可控性与可观测性分析,9.5 线性定常系统的可控性,,77,【例9-8】 考虑由下式确定的系统： 由于 即Q为奇异，所以该系统是状态不可控的。 【例9-9】 考虑由下式确定的系统： 对于该情况，,9.5 线性定常系统的可控性与可观测性分析,,78,即Q为非奇异，因此系统是状态可控的。 (3) 用传递函数矩阵表达的状态可控性条件 状态可控的条件也可用传递函数或传递矩阵描述。状态可控性的充要条件是在传递函数或传递函数矩阵中不出现相约现象。如果发生相约，那么在被约去的模态中，系统不可控。 【例9-9】 考虑下列传递函数：,9.5 线性定常系统的可控性与可观测性分析,,79,显然，在此传递函数的分子和分母中存在可约的因子（s+2.5）(因此少了一阶)。由于有相约因子，所以该系统状态不可控。 当然，将该传递函数写为状态方程，可得到同样的结论。状态方程为,
