1、1第 18 讲 勾股定理题一： 如图所示，这是美国第 20 任总统加菲尔德证明勾股定理时所采用的图形，是用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三解形拼出一个梯形借助这个图形，你能用面积法来验证勾股定理吗？题二： 勾股定理的证明多达 200 多种，有一位总统利用两个全等的 Rt纸片，给出如下的一种摆法（ C， E， D 在同一直线上） ，再添上一条线，便可利用面积法证得 a2+b2=c2请你试着添一条线，并给出证明题三： 勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法（1）请你根据图 1 填空；勾股定理成立的条件是 三角形，结论是 （三边关系）（2）以图 1 中的直角三角形为基础，可以构造出以
2、a、 b 为底，以 a+b 为高的直角梯形（如图 2），请你利用图 2，验证勾股定理；题四： 你能根据图形所给的信息验证勾股定理吗？请写出证明过程2题五： 如图 ABC中， 90， 12， 1.5CD， 2.B，求 AC的长 21 EDC BA题六： 已知 BC中， 13Acm， 10Ccm， B边上的中线 12ADcm，求证： ABC题七： 我们发现，用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法请你用等面积法来探究下列两个问题：（1）如图 1 是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，请你用它来验证勾股定理；（2）如图 2
3、，在 RtABC 中，ACB=90，CD 是 AB 边上的高，AC=4，BC=3，求 CD 的长度 题八： 如图，B=D=90，AB=CD=b，BC=DE=a，AC=c，（1）请问ACE 是否为等腰直角三角形？请说明理由（2）请你通过两种不同方法计算梯形 ABDE 的面积，并利用计算的结果验证勾股定理 a2+b2=c2DCBA34第 18 讲 勾股定理题一： a2+b2=c2详解：此图可以这样理解，有三个 Rt其面积分别为 12ab， ab 和 12c2 还有一个直角梯形，其面积为 12(a+b)(a+b) 由图形可知：（ a+b) (a+b）= ab+ ab+ c2 整理得( a+b)2=2
4、ab+c2， a2+b2+2ab=2ab+c2， a2+b2=c2 由此验证勾股定理题二： a2+b2=c2详解：连接 AN，依题意，图中的四边形 ACDN 为直角梯形， ENA 为等腰直角三角形，Rt AEC 和 Rt NED 的形状和大小完全一样设梯形 ACDN 的面积为 S，则 S= 12（ a+b）（ a+b）= 12（ a2+b2）+ ab，又 S=SRt ENA+2SRt ACE= c2+2 ab= c2+ab， 12（ a2+b2）+ ab = c 2+ ab因此， a2+b2=c2题三： 直角； a2+b2=c2； a2+b2=c2详解：（1）勾股定理指的是在直角三角形中，两直
5、角边的平方的和等于斜边的平方故答案是：直角； a2+b2=c2；（2）Rt ABERt ECD， AEB= EDC，又 EDC+ DEC=90， AEB+ DEC=90， AED=90 S 梯形 ABCD=SRt ABE+SRt DEC+SRt AED， 12(a+b)(a+b)= 12ab + ab + 12c2整理，得 a2+b2=c2题四： 直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和.详解：根据题意，中间小正方形的面积 c2=（a+b） 2-4 1ab=a2+b2；即在直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和题五： 3AC.详解：作 DEB于 ，512， 90C.5DE在 B中2,BD
6、ERtAt在 C中， 9022B， 22()4AC3A题六：详解： D为中线， 5BDcm在 A中， 2169， 216922DB，90， 2， 3c， AC.题七： （1）c 2=a2+b2；（2） .详解：（1）大正方形面积为 c2，直角三角形面积为 12ab，小正方形面积为：（b-a）2，c 2=4 ab+（a-b） 2=2ab+a2-2ab+b2即 c2=a2+b2（2）在 RtABC 中，ACB=90，由勾股定理，得：AB= 2ACB= 243=5CDAB，S ABC = 12ACBC= ABCDCD= 435= 题八： （1）ACE 是等腰直角三角形；（2）a 2+b2=c2详解：（1）在 RtABC 与 RtCDE 中，AB=CD，B=D=90，BC=DERtABCRtCDE（SAS） ，ACB=CED，AC=CE=c，CED+ECD=90，ACB+ECD=90，ACE=90，ACE 是等腰直角三角形；（2）S 梯形 = 12（a+b） （a+b）= 12（a+b） 2，S 梯形 =2 1ab+ 2c2， （a+b） 2=2 ab+ c2，整理得，a 2+b2=c2.
