1、2018 年浙江省高中数学竞赛试卷一、填空题1.已知 为正实数，且 是奇函数，则 的值域为 a1()xfa()fx2.设数列 满足 ， ，则 n115(1,2n2018na3.已知 ， ， ，则 3,44cos()sin3cos44.在八个数字 ， ， ， ， ， ， ， 中任取两个组成分数.这些分数中有 267812个既约分数5.已知虚数 满足 ，则 z3020182018zz6.设 ，若平面上点 满足，对于任意 ，有 ，则 的最1ABPtR3APtBPAB小值为 ，此时 AB7.在 中， ，且三角形的面积为 ，则 的最小值为 C74sin8.设 ，则 有 个不同的解()12fxx()10f
2、x9.设 满足 ，则 的取值范围为 ,yR64y10.四面体 ， ， ， ，则该四面体PABC68PBAC10PAB外接球的半径为 二、解答题11.已知动直线 与圆 ： 相切，与椭圆 相交于不同的两点 ， .求lO21xy219xyAB原点到 的中垂线的最大距离.AB12.设 ，且对任意实数 均有 ，求 的取值范围.aRb20,1maxba13.设实数 ， ， 满足 和 ，证明：1x2201822(,016)nn2018nx.10914.将 个不同整数分成两组 ， ， ； ， ， .证明2()n1a2na1b2nb.11()ijjijiinijnjabab15.如图所示将同心圆环均匀分成 格.
3、在内环中固定数字 .问能否将数字 填(3)n1n:1n:入外环格内，使得外环旋转任意格后有且仅有一个格中内外环的数字相同？2018 年浙江省高中数学竞赛试卷参考答案一、填空题1. 2. 3. 4. 5. 1(,)220195876563616. ； 7. 8. 9. 10. 6314242x3二、解答题11.解：依题意可设 ： .l(0)ykxm因为直线 与圆 相切，所以， 到直线 的距离为 ，即 .lOl121mk原点到 的中垂线的最大距离为 .AB4312.解 1：设 ，对于 ，2()fxab1(0)f所以只要考虑 .b（1）当 时，即 .此时函数 的最值在抛物线的左右端点取得，对任意02
4、a()fx有 ，所以 ，()1(0)ffb11ab解得 .a（2）当 时，即 ，此时函数 的最值在抛物线的顶点和右端点取得，02a()fx而对 有 ， .b(1)f2()14f（3）当 时，即 ，此时函数 的最值在抛物线的顶点和左端点取2a2a()fx得，而对 有 ， .0b()1fb2()14af（4）当 时，即 ，此时函数 的最值在抛物线的左右端点取得，对任意12a2fx有 ，所以 ，解得 .b(0)fb(1)1fab3a综上 或 .a3解 2：设 ，则有20,1maxb， 依题意， ，或b1ab112a.3a13.证明：由条件 ， 同号.反证法，假设 .nx2109x（1）若 ， 同为正
5、数，由 ， 同号可知 ， ， 同号.10910n222018x由 2 2121nnxx091018xx，1091080同理 .912101070870xxx1072x类似可证明： ， ， .16315041208因此 ，矛盾.2018nx（2）若 ， 同为负数，由 ， 同号可知 ， ， 均为负数，仍然有10910nx21x22018x，类似（1）可证得.212nnxx14.证明：令 ，下面用归纳法证明 .11()nijjijii ijnjTababnT当 时，不妨设 ， ， .212122，12Tbaba121ab当 ；1212当 .122假设对正整数 成立，对正整数 ，不妨设nn， ， .再
6、设 ，则有121aa21b1nab1knkab，111nni iiTbab111nni innabaT下证 .11nni ii110nni i由（1） ，得到1(,2)knkba11ninii b11nni iab；112()0ninikba（2）若 ，则1n11nni iibab11nni iab.11()0iniba15.解：设对应于内环 ， ， 的外环数字为 ， ， ，它是数字 ， ，2n1i2ni12的一个排列.对 ，记外环数字 在按顺时针方向转动 格时，和内环数字相同，n1,kk kj即 ， .modkkijn,根据题意， ， ， 应是 ， ， ， 的排列.求和12nj0121n.11()odnnkkij()mod (1)od2n于是 必须是奇数.对于奇数 ，我们取 ， ， ，可以验证nnimi(1,)，odkkij， ， ， ，0nj12n4nj12nj， ， ， ，1 36j符合题目要求！
