1、2018 年湖南省高中数学联赛（B）卷试题第卷（共 70 分）一、填空题（本大题共 10 小题，每小题 7 分，满分 70 分，将答案填在答题纸上）1.设集合 ， ，若 ，则实数2310Ax12xmAB的取值范围为m2.如果函数 的图像关于点 中心对称,那么 的最小值为 3cos2yx4033. 如图， 与 分别是单位圆 上的定点与动点，角 的始边为射线 ，终边为射线APOxOA，过点 作直线 的垂线，垂足为 ，将点 到直线 的距离表示为 的函数OMPx，则 fxf4. 已知二面角 为 ，动点 ， 分别在面 ， 内， 到 的距离为 ，l60PQP3到 的距离为 ，则 ， 两点之间距离的最小值为
2、 Q235. 如图，将一个边长为 的正三角形分成四个全等的正三角形，第一次挖去中间的一个小三1角形，将剩下的三个小正三角形，再分别从中间挖去一个小三角形，保留它们的边，重复操作以上做法，得到的集合为谢尔宾斯基缕垫设 是第 次挖去的小三角形面积之和（如 是第 次挖去的中间小三角形面积， 是第nA1A2A次挖去的三个小三角形面积之和）.则前 次挖去的所有小三角形面积之和的值为 2n6.若 ，则 的值为 33sincox20182018sicosx7.如图放置的边长为 的正方形 沿 轴正向滚动，即先以 为中心顺时针旋转，当ABCDA落在 轴上时，再以 为中心顺时针旋转，如此继续，当正方形 的某个顶点
3、落在B BCD轴上时，则以该顶点为中心顺时针旋转.设顶点 滚动时的曲线为 ，则 在x yfxf上的表达式为 2017,88.四个半径都为 的球放在水平桌面上，且相邻的球都相切（球心的连线构成正方形）.有一1个正方体,其下底与桌面重合,上底的四个顶点都分别与四个球刚好接触,则该正方体的棱长为 9.设 ， ， ，则 的最小值为 1ab0a21ab10.设 ， 函数 （其中 表示对于 ，当,RmxatgRmaxtbR时表达式 的最大值） ，则 的最小值为 ,tabxt第卷（共 80 分）三、解答题 （本大题共 4 小题，共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 11. 如图，四棱锥
4、中， 底面 ， ， ，SABCDSABCD/ADC， ， 为棱 上的一点，平面 平面 .1AB2EESB（）证明： ；2SEB（）求二面角 的大小.ADC12. 棋盘上标有第 站，棋子开始时位于第 站，棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏.若0,1, 0掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到跳到第 站（胜利大9本营）或第 站（失败集中营）时，游戏结束.设棋子跳到第 站的概率为 .nnP（1）求 的值；3P（2）证明： ；1129nnP（3）求 ， 的值.9013. （1）已知 是矩形 所在平面上的一点，则有ABCD.22PACP试证明该命题；（2）将上述命题推广到 为空间上任一点
5、的情形，写出这个推广后的命题并加以证明；（3）将矩形 进一步推广到长方体 ，并利用（2）得到的命题建立BD1ABCD并证明一个新命题.14. 设曲线 所围成的封闭区域为 .2:165Cxyy（1）求区域 的面积；（2）设过点 的直线与曲线 交于两点 ， ，求 的最大值.0,MCPQ试卷答案一、填空题1. 2. 3. 4. 3m6sincox235. 6. 7.14n12504.2061fxfxx8. 9. 10.231ba二、解答题11.解：以 为坐标原点，射线 ， ， 分别为 轴， 轴， 轴，建立直角坐标DDACSxyz系 ，xyz设 ，则 ， ， .1,0A1,0B,20,2（1）证明：
6、， ，设平面 的法向量为 ，由2SC1SBC,nabc， ，n得到 ， ，故 ， ，取 ，则 ，0nB0bcab1abc,1又设，则SE， ,2,12,1DE0,2DC设平面 的法向量为 ，由 ， ，得到 ，C,mxyzEm0E，故0mD， ，令 ，则 ，由平面 平面2011xyzy2x,0mDEC，得到 ，SBCmn所以 ， ， ，故 .022SEB（2）解：由（1）知 ，取 的中点 ，则 ，,3DEDF1,3，故 ， ，又 ，故 ，1,3FA0FAE24,CECD因此向量 与 的夹角等于二面角 的平面角，于是EC，所以二面角 的大小为 .1cos, 2FAAD12012.解：（1）棋子跳到
7、第 站有以下三种途径：连续三次掷出正面，其概率为 ；第一次掷3 8出反面，第二次掷出正面，其概率为 ；第一次掷出正面，第二次掷出反面，其概率为 ，14 14因此 .358P（2）易知棋子先跳到第 站，再掷出反面，其概率为 ；棋子先跳到第 站，再2n21nP1n掷出正面，其概率为 ，因此有 ，即1P12nn，12nnP或即 .19n（3）由（2）知数列 为首项为 ，公比为 的等比数P1012P2列，因此有.由此得到110122nnnP.9989 10=32由于若跳到第 站时，自动停止游戏，故有 .10989132P13. （1）证明：如图 ，设在直角坐标平面中，矩形 的顶点坐标为1ABCD， ，
8、 ， ，点 是直角坐标平面上的任意一点，,Aab,B,Cab,D,Pxy则，22222 22Pxyxbab，BDabayxy故 .22ACP（2）推广命题：若棱锥 的底面 是矩形，则有ABCD.22P证明：如图 ，设棱锥 的底面 在空间直角坐标系的 平面上,矩形PxOy的顶点坐标为 ， ， ， ，设 点坐标ABCD,0Aab,0Bab,Ca0DabP为 ，则,Pxyz2222222yzxyzxyabz2222222 00PBDyzxaybz，xyz故 .22ACP（3）再推广命题：设 是长方体， 是空间上任意一点，则1ABDCP.22221 1PA证明：如图 ，由（2）中定理可得和 ，22AC
9、BP2211CPBD所以 .21 1DA14. 解：（1）由题设，有 ，因此 .25610y16y若 ，则当 时， ，226xy22561xy，此时5，图像是两条直线段；10xy当 ， ， ，对应于一段二62216561xyy283xy次函数的图像；若 ，则当 时，类似于前面的推导得 ，对应于二次2216xyx016y283xy函数图像的一段： ；283当 ， ，得到 ，无解.160y2216561xyxy256x综上所述，区域 的集合为： ，由区域 上D2,83yD函数图像性质，知区域 的面积为 .32165S（2）设过点 的直线为 ，为了求 的最大值，由区域 的对称性，只需考虑0,16Ml
10、PQ直线 与 在 轴右侧图像相交部分即可.设过点 的直线 方程为 ，lDy 0,Ml16ykx易知此时 与 相交时有 .k当 时， 与 分别相交于二次函数 以及 ，两个交点分别为2kl283xy283xy，2216,161Pkk2263,1631Qkk因此， ，为关于 的递减函数.23Q当 时，直线 与 分别相交于二次函数 以及直线 ，从图形性质12klD283xy16y容易看出，随着 从 变到 ， 的值逐步减少.1PQ综上，当 经过直线 与二次函数 曲线交点 时， 的值最大，l6x283xy16,QP此时直线 方程为： , ， 的值为l21y,3.当 落在 轴上时，216363610Py，因此 的最大值为 . 2401PQPQ3
