1、二次曲线与线段有交点时参数范围的简捷求法2003 年第 5 期中学教研(数学)?13?2(口 2 一 2 一 Y2)=(2 十+口 2)-4a22,将 y2=(口一 x2)代入整理得=1+54 十 2.2f12:+X2aa),()口口一,一 Z,而口 2+口 2 一工 2,则1,故() 改写成不等式得4-享?+54+筝=44 享+,得到 3P+4P240,解得 P普, P1.注:如果设 8(aosO,bsinO),利用 tanLAOA=喾及 si 埘的有界性来求 e 的范围会更好?策略 8 巧用圆锥曲线定义例 8 在平面直角坐标系中,若方程 m(十+2+1)=(一 2+3)表示的曲线为椭圆 ,
2、则 m的取值范围是()A.(0,1)B.(1,+co)C.(0,5)D.(5,+oo)解已知方程可变形为,此式可看成动点(,)到定点(o,一 1)与到直线一 2y+3=0 的距离之比为常数,由椭圆定义 9 田1,故 m5,故选 D.策略 9 利用“排中律“有些问题如果直接找出满足某种条件的参数的范围比较困难时,可先找出不符合条件的参数值,排除这些值,余下的即为所求的参数值.例 9 若椭圆+=n(no)与连结两点A(1,2),B(3,4)所成的线段没有公共点 ,求 a 的取值范围.解若椭圆与线段 AB 有公共点时,A,B 与椭圆的位置关系必然是 A 在椭圆内(或椭圆上),B 在椭圆外(或椭圆上)
3、, 于是I1+2口 2,I32+4口 2,.肾 q9j 口 2J41,又口0,.?.学,因此,椭圆与线段 AB 没有公共点时 n 的范围为 0口学或口.一方法与技巧曩方法与技巧.-一方法与技巧.-解一方法与技巧?解题方法与技巧?解一方告与技巧?方盛与技巧 ?解方莹与技巧 .-解方击与技巧二次曲线与线段有交点时参数范围的简捷求法耋宋建挺(浙江奉化市武岭中学 315502)柏方法与技巧解一方法与技巧 一方告与技巧.方法与技巧-? 解一方法与技巧? 解一方法与技巧?柚方盛与簋巧 -解方盛与簋巧?解一方盛与技巧二次曲线与线段有交点时,求参数的取值范围是解析几何中一类常见的题型,学生常采用解方程组,从而
4、转化为讨论二次方程解的情况,由于忽略了限制条件而导致错误,下面举例说明这类问题的一种简捷解法.1 问题的提出题目抛物线:+2 与线段=+1(O2) 有交点时 ,求参数 a 的取值范围.解 1 由已知得 z+2=+1,依题意方程+(a 一 1)+1=0 在O,2 上有实根 ,即厂():+(a 一 1)x+1 与轴在0,2 上有交点.(1)有两个交点的条件是f=(a 一 1)4O,j,lf(O)=I0,I,f(2)=2a+3O.r 口一 1 或口3,一号 n_1, 【n一寻 ,zB 口 n- 号,一.土 t 曩爵.中学蕞爵.中学曩爵.?14?中学教研 (数学)2003 年第 5 期(2)有一个交点
5、的条件是:f(o)?,(2)O,2a+,130,口一号,即口(一 oo,一号 1.综上所述 a 的取值范围是以上两个集合的并集为(一 oo.一 1.有否简捷方法能求口的范围?事实上,a 取什么值时 0,2有解,相当于当【0,2 时 a 取到什么值, 即把问题转化为:视 a是的函数,当0,2 时,求函数 a 的值域.解 2 由题设+2=+1,显然=0 不是此方程的解,故0,则 a=专=-一(+),.0,2,.?.+t2,一(+)一 2,口121,即口(一 CO,一 1时原抛物线与线段有交点.比较以上两种解法,不难看出:解 2 的思路更简便,计算量更少,方法更合理.2 应用举例2.1 二次曲线与线
6、段有交点时求参数范围例 1 椭圆+.),2=口(口0)与连接 A(1,2),B(3,4)两点的线段有公共点时,求 a 的取值范围.解线段 AB 的方程是:.),=+1,1,3 代入椭圆方程得:+(+1)z=口 2,一即 22 卫 l=号 (+?.El1,3,93(+了 2X,2 十了 1-41,即.,口0,口,.?.a学,2.例 2 若双曲线:等一.),=正 (正0)与连接A(1,2),B(3,4)两点的线段有公共点时 ,求是的取值范围.解线段 AB 的方程:=z+1,z【1,3代入双曲线方程得正=-3-一(z+1)z= 一 x-“一2z 一 1=一(+2)+1,o.o1,3,.?.一萼一 7
7、,.?.五一 23,一例 3 已知抛物线 C:.),=一+mx 一 1 及点A(3,0),B(0,3),求 C 与线段 AB 有交点的充要条件.解线段 AB 方程为+=3(0x3)代入=一+,盯一 1,得一(m+1)z+4=0,原问题转化为 f(x)=z 一(m+1)x+4,在0,3上有交点的充要条件,也即 0【O,3时求?lrt=g()的值域.由一(m+1)x+4=0,知0,.眦=z 一 z+4,m=z+一 1,xE0,3.mt241=3, 即 C 与线段 AB 有交点的充要条件是 m3,+oo.2.2 两个二次曲线有交点时求参数范围例 4 若椭圆 2+3y=6x 与圆+.),+2=r(r一
8、 1)有交点,求 r 的取值范围.解 3y=一 2+6a:O,03,把.),=二 2 墨;代入圆方程化简得r=了:r2=一12,.O3,O,.15,.rf15.侈 l5 砉 I 椭圆 2x-63y26 与双曲线(一 1)23y=正(五O)有交点,求参数是的最大值与最小值.解由椭圆方程得:3y2=6x 一 2xO,043,代入双曲线方程得五=(一 1)+2x26:3x28+1=一号)一.03.?.当=号时 ,正量小值 =一拿当时 ,正量大值=4.3 方程在区间内有解时求参数窕圈例 6 方程一警=正在一 l,1上有实根,求实数正的取值范围.2003 年第 5 期中学教研(数学)?15?解视足为的函
9、数,是=(一号)2 一,.一 1,1,.?.一(一号 )2964.06=导,一忌5,IPkE一 916,2时,原方程在 一 1,1“1I“71例 7 已知关于的方程 lg(x 一 1)+lg(3 一)=lg(a)其中口R, 试求 n 的取值范围,并讨论何时有解,何时无解.解原方程等价 T_x-lO,一 ,1 口:一 25 一 3.=一(一号)+ 竽,.?.一号一( 一专)0,-一(一号)+ ,即 l口,故当 l口时,方程有解.当口1 或口竽时方程无解.把所求参数看作是自变量的函数,通过求函数值域的方法解决二次曲线与线段有交点问题,可以避免分情况讨论,减少计算量,提高准确性.参考文献1 张奠宙主
10、编.中学教学全书(数学卷).上海;上海教育出版社,19982 邬云德.论辩交往模式.的理论构建J.兰州:数学教学研究,2001(8).方法与技巧-矗方法与技巧? 方蠡与技巧一 匿方法与技巧? 墨方法与技巧?方盛与技巧一 方甚与拉巧? 方莹巧?方磕与技巧求导数法在高考题中的应用分类简析耋李锦昱李锦旭(山东临沭第一中学 276700)方法与技巧?矗方法与技巧 ?方珐与技巧 ?方法与技巧?墨方法与技巧?方珐与技巧 ?方法与拉巧?匿方法与技巧-曩方盛与技巧近几年来新课程改革的高考试卷体现了以下命题特点与趋势:向新增内容倾斜,如向量,导数,概率等内容占到 44%左右;对新增内容的考查,主要是以方法的形式
11、出现 ,重在考查运用数学思想的意识与能力;强化代数推理,淡化几何证明;降低应用题的难度 .以上 4 点均与导数的教学与考查密切相关,且看近 3年新课程高考卷对导数的考查细目表(理科):年份题型题量分值考查内容20o0 年解答题 112 求体积最大值(导数的实际应用)2001 年选择题,解答题 1+15+12 求极值,证明单调性2002 年选择题,解答题 1+15+12 求单调区间,切线方程从上表可以清楚地看到:这 3 年对导数的考查基本保持 “1+1模式,即一道选择题和一道解答题,分值大约为 17 分,主要考查点在:与函数的单调性有关的问题 ,如求单调区间,证明单调性,求最值;或切线方程等.从导数观点审视分析,运用求导数的方法来解决一些与函数单调性有关的问题(如证明单调性确定单调区闻,求最值,证明不等式),以及研究求曲线的切线方程等,与传统的常规方法相比,筒捷踢快,具有明显的优势.1 研究单调性.-.1.1 确定单调区间,或证明单调性结论 1 在区间 J 上若厂()0,则 J 为,()的增区间;若/()0,则 J 为,()的减区间.中|卜 t.中学教研.中学渡研
