1、一次函数的知识归纳一 、变量：自变量：自己变化的量；在一个变化的过程中，我们称数值变化的量是自变量常量：有些量的数值是始终不变的量叫常量函数：被变量是自变量的函数函数值：当自变量确定一个值，被变量随之确定的一个值被变量：自变量的变化引起另一个量的变化，另一个量是被变量二 、一次函数和正比例函数的概念1概念： 若两个变量 x，y 间的关系式可以表示成 y=kx+b（k，b 为常数，k0）的形式，则称 y 是 x 的一次函数（x 为自变量） ，特别地，当 b=0 时，称 y 是 x 的正比例函数.（1）一次函数的自变量的取值范围是一切实数，但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定.（2）一次函数
2、y=kx+b（k，b 为常数，k0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意义相同，即自变量 x 的次数为 1，一次项系数 k 必须是不为零的常数，b 可为任意常数.判断一个等式是否是一次函数先要化简（3）当 b=0，k0 时，y= kx 仍是一次函数.(正比例函数)（4）当 b=0，k=0 时，它不是一次函数.2. 函数的表示方法： 1）解析法，2）列表法，3）图象法列表法直观但不完全解析法准确完全但不直观图象法直观形象但不够准确也不太完全图象的画法：一列表二描点三连线（顺次用平滑的曲线）解析式的列法：一）实际问题，确定自变量的取值 二）符合题意三、 函数的图象把一个函数的自
3、变量 x 与所对应的 y 的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象画函数图象一般分为三步：列表、描点、连线一次函数的图象由于一次函数 y=kx+b（k，b 为常数，k0）的图象是一条直线，所以一次函数y=kx+b 的图象也称为直线 y=kx+b由于两点确定一条直线，描出适合关系式的两点，再连成直线，一般选取两个特殊点：直线与 y 轴的交点（0，b） ，直线与 x 轴的交点（- kb，0）.画正比例函数 y=kx 的图象时，只要描出点（0，0） ， （1，k）即可.四 、一次函数性质1. 一次函数 y=kx+b（k，b 为常数，k0）的性质
4、（1）k 的正、负决定直线的倾斜方向；k0 时，y 的值随 x 值的增大而增大；kO 时，y 的值随 x 值的增大而减小（2）|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与 x 轴相交的锐角度数越大（直线陡），|k|越小，直线与 x 轴相交的锐角度数越小（直线缓） ；（3）b 的正、负决定直线与 y 轴交点的位置；当 b0 时，直线与 y 轴交于正半轴上；当 b0 时，直线与 y 轴交于负半轴上；当 b=0 时，直线经过原点，是正比例函数（4）由于 k，b 的符号不同，直线所经过的象限也不同；函数 k b 经过的象限 Y 随 x 的变化 图象y=kx+b(b0)k 0 b 0 一 ,二三
5、Y 随 x 的增大而增大y=kx+b(b0)k 0 b 0 一三四 Y 随 x 的增大而增大y=kx+b(b0)k 0 b 0 一二四 Y 随 x 的增大而减小y=kx+b(b0)k 0 b 0 二三四 Y 随 x 的增大而减小（5）由于|k|决定直线与 x 轴相交的锐角的大小，k 相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此，它们是平行的另外，从平移的角度也可以分析，例如：直线y=x1 可以看作是正比例函数 y=x 向上平移一个单位得到的2. 正比例函数 y=kx（k0）的性质（1）正比例函数 y=kx 的图象必经过原点；（2）当 k0 时，图象经过第一、三象限,y 随 x 的增大而
6、增大； （3）当 k0 时，图象经过第二、四象限,y 随 x 的增大而减小 点 P（x 0，y 0）与直线 y=kx+b 的图象的关系（1）如果点 P（x 0，y 0）在直线 y=kx+b 的图象上，那么 x0,y0的值必满足解析式 y=kx+b；（2）如果 x0，y 0是满足函数解析式的一对对应值，那么以 x0，y 0为坐标的点 P（1，2）必在函数的图象上例如：点 P（1，2）满足直线 y=x+1，即 x=1 时，y=2，则点 P（1，2）在直线 y=x+l 的图象上；点 P（2，1）不满足解析式 y=x+1，因为当 x=2 时，y=3，所以点 P（2，1）不在直线 y=x+l 的图象上确
7、定正比例函数及一次函数表达式的条件（1）由于正比例函数 y=kx（k0）中只有一个待定系数 k，故只需一个条件（如一对x，y 的值或一个点）就可求得 k 的值（2）由于一次函数 y=kx+b（k0）中有两个待定系数 k，b，需要两个独立的条件确定两个关于 k，b 的方程，求得 k，b 的值，这两个条件通常是两个点或两对 x，y 的值五 、一次函数与方程1. 一元一次方程、一元一次不等式及一次函数的关系一次函数及其图像与一元一次方程及一元一次不等式有着密切的关系，函数y=ax+b（a0，a，b 为常数）中，函数的值等于 0 时自变量 x 的值就是一元一次方程ax+b=0（a0）的解，所对应的坐标
8、（ ba，0）是直线 y=ax+b 与 x 轴的交点坐标，反过来也成立；直线 y=ax+b 在 x 轴的上方，也就是函数的值大于零，x 的值是不等式ax+b0（a0）的解；在 x 轴的下方也就是函数的值小于零，x 的值是不等式ax+b0)y=kx (k0)一般地，每个二元一次方程组，都对应着两个一次函数，于是也就是对应着两条直线，从“数”的角度看，解方程相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这两函数值是何值；从形的角度考虑，解方程组相当于确定两条直线的交点坐标，所以一次函数及其图像与二元一次方程组有着密切的联系4. 两条直线的位置关系与二元一次方程组的解（1）二元一次方程组 12ykx
9、b有唯一的解 直线 y=k1x+b1不平行于直线y=k2x+b2 k1k 2（2）二元一次方程组 12ykxb无解 直线 y=k1x+b1直线 y=k2x+b2 k1=k2，b 1b 2（3）二元一次方程组 12ykxb有无数多个解 直线 y=k1x+b1与 y=k2x+b2重合k1=k2，b 1=b25. 待定系数法先设待求函数关系式（其中含有未知常数系数） ，再根据条件列出方程（或方程组） ，求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法其中未知系数也叫待定系数例如：函数 y=kx+b 中，k，b 就是待定系数用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤：一设，二代，三解，四代入（1）设
10、函数表达式为 y=kx+b；（2）将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（组） ；（3）求出 k 与 b 的值；（4）将 k、b 的之带入 y=kx+b，得到函数表达式。例如：已知一次函数的图象经过点（2，1）和（-1，-3）求此一次函数的关系式解：设一次函数的关系式为 ykx+b（k0） ，由题意可知，,321bk解 .35,4bk此函数的关系式为 y= 354x六 、知识规律小结 1常数 k，b 对直线 y=kx+b(k0）位置的影响当 b0 时，直线与 y 轴的正半轴相交；当 b=0 时，直线经过原点；当 b0 时，直线与 y 轴的负半轴相交当 k，b 异号时，即- kb0 时，直线与 x
11、 轴正半轴相交；当 b=0 时，即- =0 时，直线经过原点；当 k，b 同号时，即- k0 时，直线与 x 轴负半轴相交当 k0，b0 时，图象经过第一、二、三象限；当 k0，b=0 时，图象经过第一、三象限；当 b0，b0 时，图象经过第一、三、四象限；当 k0，b0 时，图象经过第一、二、四象限；当 k0，b=0 时，图象经过第二、四象限；当 k0，b0 时，图象经过第二、三、四象限2 直线 y=kx+b（k0）与直线 y=kx(k0)的位置关系直线 y=kx+b(k0)平行于直线 y=kx(k0)当 b0 时，把直线 y=kx 向上平移 b 个单位，可得直线 y=kx+b；当 b0 时，把直线 y=kx 向下平移|b|个单位，可得直线 y=kx+b3 直线 y1=k1x+b1与直线 y2=k2x+b2（k10 ，k20）的位置关系k 1k 2y1与 y2相交； 21bky1与 y2相交于 y 轴上同一点（0，b 1）或（0，b 2） ； 21,y1与 y2平行； 21,ky1与 y2重合.
