2015-2016学年高中数学 第二章 推理与证明（课时作业+章末总结）（打包6套）新人教A版选修1-2.zip

- 1 -第二章 推理与证明章末课时作业 新人教 A 版选修 1-2题型一 合情推理与演绎推理1．归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明．2．演绎推理与合情推理不同，它是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式，也是公理化体系所采用的推理形式．另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性．例 1 (1)有一个奇数列 1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组含一个数{1}；第二组含两个数{3,5}；第三组含三个数{7,9,11}；第四组含四个数{13,15,17,19}；…试观察每组内各数之和 f(n)(n∈N *)与组的编号数 n 的关系式为________．(2)在平面几何中，对于 Rt△ ABC， AC⊥ BC，设 AB＝ c， AC＝ b， BC＝ a，则① a2＋ b2＝ c2；②cos 2A＋cos 2B＝1；③Rt△ ABC 的外接圆半径为 r＝ .a2＋ b22把上面的结论类比到空间写出相类似的结论；如果你能证明，写出证明过程；如果在直角三- 2 -角形中你还发现了异于上面的结论，试试看能否类比到空间？(1)答案 f(n)＝ n3解析 由于 1＝1 3,3＋5＝8＝2 3，7＋9＋11＝27＝3 3,13＋15＋17＋19＝64＝4 3，…，猜想第 n 组内各数之和 f(n)与组的编号数 n 的关系式为 f(n)＝ n3.(2)解 选取 3 个侧面两两垂直的四面体作为直角三角形的类比对象．①设 3 个两两垂直的侧面的面积分别为 S1， S2， S3，底面面积为 S，则 S ＋ S ＋ S ＝ S2.21 2 23②设 3 个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为 α ， β ， γ ，则cos2α ＋cos 2β ＋cos 2γ ＝1.③设 3 个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为 a， b， c，则这个四面体的外接球的半径为R＝ .a2＋ b2＋ c22反思与感悟 (1)归纳推理中有很大一部分题目是数列内容，通过观察给定的规律，得到一些简单数列的通项公式是数列中的常见方法．(2)类比推理重在考查观察和比较的能力，题目一般情况下较为新颖，也有一定的探索性．跟踪训练 1 (1)下列推理是归纳推理的是________，是类比推理的是________．① A、 B 为定点，若动点 P 满足| PA|＋| PB|＝2 a|AB|，则点 P 的轨迹是椭圆；②由 a1＝1， an＋1 ＝3 an－1，求出 S1， S2， S3，猜想出数列的通项 an和 Sn的表达式；③由圆 x2＋ y2＝1 的面积 S＝π r2，猜想出椭圆的面积 S＝π ab；④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇．答案 ② ③④(2)设等差数列{ an}的前 n 项和为 Sn，则 S4， S8－ S4， S12－ S8， S16－ S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{ bn}的前 n 项积为 Tn, 则 T4，______，______， 成等比数列．T16T12答案 T8T4 T12T8解析 等差数列类比于等比数列时，和类比于积，减法类比于除法，可得类比结论为：设等比数列{ bn}的前 n 项积为 Tn，则 T4， ， ， 成等比数列．T8T4T12T8 T16T12题型二 综合法与分析法综合法和分析法是直接证明中的两种最基本的证明方法，但两种证明方法思路截然相反，分析法既可用于寻找解题思路，也可以是完整的证明过程，分析法与综合法可相互转换，相互- 3 -渗透，要充分利用这一辩证关系，在解题中综合法和分析法联合运用，转换解题思路，增加解题途径．一般以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表示证明过程．例 2 用综合法和分析法证明．已知 α ∈(0，π)，求证：2sin 2 α ≤ .sin α1－ cos α证明 (分析法)要证明 2sin 2α ≤ 成立．sin α1－ cos α只要证明 4sin α cos α ≤ .sin α1－ cos α∵ α ∈(0，π)，∴sin α 0.只要证明 4cos α ≤ .11－ cos α上式可变形为 4≤ ＋4(1－cos α )．11－ cos α∵1－cos α 0，∴ ＋4(1－cos α )≥2 ＝4，11－ cos α 11－ cos α ·41－ cos α 当且仅当 cos α ＝ ，即 α ＝ 时取等号．12 π 3∴4≤ ＋4(1－cos α )成立．11－ cos α∴不等式 2sin 2α ≤ 成立．sin α1－ cos α(综合法)∵ ＋4(1－cos α )≥4，11－ cos α(1－cos α 0，当且仅当 cos α ＝ ，即 α ＝ 时取等号)12 π 3∴4cos α ≤ .∵ α ∈(0，π)，∴sin α 0.11－ cos α∴4sin α cos α ≤ .∴2sin 2 α ≤ .sin α1－ cos α sin α1－ cos α跟踪训练 2 求证： －2cos( α ＋ β )＝ .sin2α ＋ β sin α sin βsin α证明 ∵sin(2 α ＋ β )－2cos( α ＋ β )sin α＝sin[( α ＋ β )＋ α ]－2cos( α ＋ β )sin α＝sin( α ＋ β )cos α ＋cos( α ＋ β )sin α －2cos( α ＋ β )sin α- 4 -＝sin( α ＋ β )cos α －cos( α ＋ β )sin α＝sin[( α ＋ β )－ α ]＝sin β ，两边同除以 sin α 得－2cos( α ＋ β )＝ .sin2α ＋ β sin α sin βsin α题型三 反证法反证法是一种间接证明命题的方法，它从命题结论的反面出发引出矛盾，从而肯定命题的结论．反证法的理论基础是互为逆否命题的等价性，从逻辑角度看，命题：“若 p 则 q”的否定是“若 p 则綈 q”，由此进行推理，如果发生矛盾，那么就说明“若 p 则綈 q”为假，从而可以导出“若 p 则 q”为真，从而达到证明的目的．例 3 若 x， y 都是正实数，且 x＋ y2，求证： 0 且 y0，所以 1＋ x≥2 y 且 1＋ y≥2 x，两式相加，得 2＋ x＋ y≥2 x＋2 y，所以 x＋ y≤2.这与已知 x＋ y2 矛盾．故 2ac，即 ac2(b＋ d)，与已知矛盾，故原命题成立．- 1 -2.2.2 反证法明目标、知重点 1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．1．定义：假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这种证明方法叫做反证法．2．反证法常见的矛盾类型：反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等．[情境导学]王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动，等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的． ”这就是著名的“道旁苦李”的故事．王戎的论述，运用的方法即是本节课所要学的方法——反证法．探究点一 反证法的概念思考 1 通过情境导学得上述方法的一般模式是什么？答 (1)假设原命题不成立(提出原命题的否定，即“李子苦”)，(2)以此为条件，经过正确的推理，最后得出一个结论(“早被路人摘光了”)，(3)判定该结论与事实(“树上结满李子”)矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法称为反证法．思考 2 反证法证明的关键是经过推理论证，得出矛盾．反证法引出的矛盾有几种情况？答 (1)与原题中的条件矛盾；(2)与定义、公理、定理、公式等矛盾；(3)与假设矛盾．思考 3 反证法主要适用于什么情形？答 ①要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；②如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或- 2 -很少的几种情形．探究点二 用反证法证明定理、性质等一些事实结论例 1 已知直线 a， b 和平面 α ，如果 a⊄α ， b⊂α ，且 a∥ b，求证： a∥ α .证明 因为 a∥ b，所以经过直线 a， b 确定一个平面 β .因为 a⊄α ，而 a⊂β ，所以 α 与 β 是两个不同的平面．因为 b⊂α ，且 b⊂β ，所以 α ∩ β ＝ b.下面用反证法证明直线 a 与平面 α 没有公共点．假设直线 a 与平面 α 有公共点 P，如图所示，则 P∈ α ∩ β ＝ b，即点 P 是直线 a 与 b 的公共点，这与 a∥ b 矛盾．所以 a∥ α .反思与感悟 数学中的一些基础命题都是数学中我们经常用到的明显事实，它们的判定方法极少，宜用反证法证明．正难则反是运用反证法的常见思路，即一个命题的结论如果难以直接证明时，可考虑用反证法．跟踪训练 1 如图，已知 a∥ b， a∩平面 α ＝ A.求证：直线 b 与平面 α 必相交．证明 假设 b 与平面 α 不相交，即 b⊂α 或 b∥ α .①若 b⊂α ，因为 b∥ a， a⊄α ，所以 a∥ α ，这与 a∩ α ＝ A 相矛盾；- 3 -②如图所示，如果 b∥ α ，则 a， b 确定平面 β .显然 α 与 β 相交，设 α ∩ β ＝ c，因为 b∥ α ，所以 b∥ c.又 a∥ b，从而 a∥ c，且 a⊄α ， c⊂α ，则 a∥ α ，这与 a∩ α ＝ A 相矛盾．由①②知，假设不成立，故直线 b 与平面 α 必相交．探究点三 用反证法证明否定性命题例 2 求证： 不是有理数．2证明 假设 是有理数．于是，存在互质的正整数 m， n，2使得 ＝ ，从而有 m＝ n，因此 m2＝2 n2，2mn 2所以 m 为偶数．于是可设 m＝2 k(k 是正整数)，从而有4k2＝2 n2，即 n2＝2 k2，所以 n 也为偶数．这与 m， n 互质矛盾．由上述矛盾可知假设错误，从而 不是有理数．2反思与感悟 当结论中含有“不” 、 “不是、 “不可能” 、 “不存在”等否定形式的命题时，由于此类问题的反面比较具体，适于应用反证法．跟踪训练 2 已知三个正数 a， b， c 成等比数列，但不成等差数列，求证： ， ， 不成等a b c差数列．证明 假设 ， ， 成等差数列，则a b c＋ ＝ 2 ，即 a＋ c＋2 ＝4 b，a c b ac而 b2＝ ac，即 b＝ ，∴ a＋ c＋2 ＝4 ，ac ac ac∴( － )2＝0.即 ＝ ，a c a c从而 a＝ b＝ c，与 a， b， c 不成等差数列矛盾，故 ， ， 不成等差数列．a b c- 4 -探究点四 含至多、至少、唯一型命题的证明例 3 若函数 f(x)在区间[ a， b]上是增函数，那么方程 f(x)＝0 在区间[ a， b]上至多有一个实根．证明 假设方程 f(x)＝0 在区间[ a， b]上至少有两个实根，设 α 、 β 为其中的两个实根．因为 α ≠ β ，不妨设 α 0，这与 a＋ b＋ c≤0 矛盾，故 a、 b、 c 中至少有一个大于 0.1．证明“在△ ABC 中至多有一个直角或钝角” ，第一步应假设( )A．三角形中至少有一个直角或钝角B．三角形中至少有两个直角或钝角C．三角形中没有直角或钝角D．三角形中三个角都是直角或钝角答案 B2．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于 60°”，应先假设这个三角形中( )A．有一个内角小于 60° B．每一个内角都小于 60°C．有一个内角大于 60° D．每一个内角都大于 60°答案 B3． “ab- 5 -C． a＝ b D． a＝ b 或 ab答案 D4．用反证法证明“在同一平面内，若 a⊥ c， b⊥ c，则 a∥ b”时，应假设( )A． a 不垂直于 c B． a， b 都不垂直于 cC． a⊥ b D． a 与 b 相交答案 D5．已知 a≠0，证明：关于 x 的方程 ax＝ b 有且只有一个根．证明 由于 a≠0，因此方程至少有一个根 x＝ .ba如果方程不止一个根，不妨设 x1， x2是它的两个不同的根，即 ax1＝ b， ①ax2＝ b. ②①－②，得 a(x1－ x2)＝0.因为 x1≠ x2，所以 x1－ x2≠0，所以应有 a＝0，这与已知矛盾，故假设错误．所以，当 a≠0 时，方程 ax＝ b 有且只有一个根．[呈重点、现规律]1．反证法证明的基本步骤是什么？(1)假设命题结论的反面是正确的；(反设)(2)从这个假设出发，经过逻辑推理，推出与已知条件、公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾；(推谬)(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论是正确的．(结论)2．反证法证题与“逆否命题法”是否相同？反证法的理论基础是逆否命题的等价性，但其证明思路不完全是证明一个命题的逆否命题．反证法在否定结论后，只要找到矛盾即可，可以与题设矛盾，也可以与假设矛盾，与定义、定理、公式、事实矛盾．因此，反证法与证明逆否命题是不同的．一、基础过关1．反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是( )①与已知条件矛盾 ②与假设矛盾 ③与定义、公理、定理矛盾 ④与事实矛盾A．①② B．①③C．①③④ D．①②③④答案 D- 6 -2．否定：“自然数 a， b， c 中恰有一个偶数”时正确的反设为( )A． a， b， c 都是偶数B． a， b， c 都是奇数C． a， b， c 中至少有两个偶数D． a， b， c 中都是奇数或至少有两个偶数答案 D解析 自然数 a， b， c 的奇偶性共有四种情形：3 个都是奇数，1 个偶数 2 个奇数，2 个偶数1 个奇数，3 个都是偶数，所以否定“自然数 a， b， c 中恰有一个偶数”时正确的反设为“a， b， c”中都是奇数或至少有两个偶数．3．有下列叙述：①“ ab”的反面是“ ay 或 x0， x1≠1 且 xn＋1 ＝ (n＝1,2，…) ，试证：“数列{ xn}对任意的正整数xn·x2n＋ 33x2n＋ 1n 都满足 xnxn＋1 ”，当此题用反证法否定结论时应为( )A．对任意的正整数 n，有 xn＝ xn＋1B．存在正整数 n，使 xn＝ xn＋1C．存在正整数 n，使 xn≥ xn＋1D．存在正整数 n，使 xn≤ xn＋1答案 D解析 “任意”的反语是“存在一个” ．9.设 a， b， c 都是正数，则三个数 a＋ ， b＋ ， c＋ ( )1b 1c 1aA．都大于 2B．至少有一个大于 2C．至少有一个不小于 2D．至少有一个不大于 2答案 C解析 假设 a＋ .13Δ 2＝(2 a)2＋8 a＝4 a(a＋2)0， ab＋ bc＋ ca0， abc0.求证： a0， b0， c0.证明 用反证法：假设 a， b， c 不都是正数，由 abc0 可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数，不妨设 a0，则由 a＋ b＋ c0，可得 c－( a＋ b)，又 a＋ b0， ab0， b20，∴－ a2－ ab－ b2＝－( a2＋ ab＋ b2)0 矛盾，所以假设不成立．因此 a0， b0， c0 成立．12．已知 a， b， c∈(0,1)，求证：(1－ a)b，(1－ b)c，(1－ c)a 不可能都大于 .14证明 假设三个式子同时大于 ，14- 9 -即(1－ a)b ，(1－ b)c ，(1－ c)a ，14 14 14三式相乘得(1－ a)a·(1－ b)b·(1－ c)c ，①143又因为 0a1，所以 0a(1－ a)≤( )2＝ .a＋ 1－ a2 14同理 0b(1－ b)≤ ，0 c(1－ c)≤ ，14 14所以(1－ a)a·(1－ b)b·(1－ c)c≤ ②143①与②矛盾，所以假设不成立，故原命题成立．三、探究与拓展13.已知 f(x)是 R 上的增函数， a， b∈R.证明下面两个命题：(1)若 a＋ b＞0，则 f(a)＋ f(b)＞ f(－ a)＋ f(－ b)；(2)若 f(a)＋ f(b)＞ f(－ a)＋ f(－ b)，则 a＋ b＞0.证明 (1)因为 a＋ b＞0，所以 a＞－ b， b＞－ a，又因为 f(x)是 R 上的增函数，所以 f(a)＞ f(－ b)， f(b)＞ f(－ a)，由不等式的性质可知 f(a)＋ f(b)＞ f(－ a)＋ f(－ b)．(2)假设 a＋ b≤0，则 a≤－ b， b≤－ a，因为 f(x)是 R 上的增函数，所以 f(a)≤ f(－ b)， f(b)≤ f(－ a)，所以 f(a)＋ f(b)≤ f(－ a)＋ f(－ b)，这与已知 f(a)＋ f(b)＞ f(－ a)＋ f(－ b)矛盾，所以假设不正确，所以原命题成立．- 1 -2.2.1 综合法和分析法明目标、知重点 1.了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法.2.理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题．1．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方式．2．一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．3．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止．[情境导学]证明对我们来说并不陌生，我们在上一节学习的合情推理，所得的结论的正确性就是要证明的，并且我们在以前的学习中，积累了较多的证明数学问题的经验，但这些经验是零散的、不系统的，这一节我们将通过熟悉的数学实例，对证明数学问题的方法形成较完整的认识．探究点一 综合法思考 1 请同学们证明下面的问题，总结证明方法有什么特点？已知 a， b0，求证： a(b2＋ c2)＋ b(c2＋ a2)≥4 abc.证明 因为 b2＋ c2≥2 bc， a0，所以 a(b2＋ c2)≥2 abc.又因为 c2＋ a2≥2 ac， b0，所以 b(c2＋ a2)≥2 abc.因此 a(b2＋ c2)＋ b(c2＋ a2)≥4 abc.总结：此证明过程运用了综合法．综合法的定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．思考 2 综合法又叫由因导果法，其推理过程是合情推理还是演绎推理？答 因为综合法的每一步推理都是严密的逻辑推理，因此所得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想” ，所以综合法是演绎推理．例 1 在△ ABC 中，三个内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 A， B， C 成等差数列，a， b， c 成等比数列，求证：△ ABC 为等边三角形．证明 由 A， B， C 成等差数列，有 2B＝ A＋ C，①- 2 -由于 A， B， C 为△ ABC 的三个内角，所以 A＋ B＋ C＝π.②由①②，得 B＝ ，③π 3由 a， b， c 成等比数列，有 b2＝ ac，④由余弦定理及③，可得 b2＝ a2＋ c2－2 accos B＝ a2＋ c2－ ac，再由④，得 a2＋ c2－ ac＝ ac，即( a－ c)2＝0，从而 a＝ c，所以 A＝ C.⑤由②③⑤，得 A＝ B＝ C＝ ，π 3所以△ ABC 为等边三角形．反思与感悟 综合法的证明步骤如下：(1)分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等；(2)转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程．跟踪训练 1 在△ ABC 中， ＝ ，证明： B＝ C.ACAB cos Bcos C证明 在△ ABC 中，由正弦定理及已知得 ＝ .sin Bsin C cos Bcos C于是 sin Bcos C－cos Bsin C＝0，即 sin(B－ C)＝0，因为－π0， b0)是怎样证明的？a＋ b2 ab答 要证 ≥ ，a＋ b2 ab只需证 a＋ b≥2 ，ab只需证 a＋ b－2 ≥0，ab只需证( － )2≥0，a b因为( － )2≥0 显然成立，所以原不等式成立．a b思考 2 证明过程有何特点？答 从结论出发开始证明，寻找使证明结论成立的条件，最终把要证明的结论变成一个显然成立的条件．- 3 -小结 分析法定义：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理)为止，这种证明方法叫做分析法．思考 3 综合法和分析法的区别是什么？答 综合法是从已知条件出发，逐步推向未知，每步寻找的是必要条件；分析法是从待求结论出发，逐步靠拢已知，每步寻找的是充分条件．例 2 求证： ＋ ＋ ，a a－ 1 a－ 2 a－ 3∴ x0，且 x＋ y＝1，那么( )A． xx0，且 x＋ y＝1，∴设 y＝ ， x＝ ，34 14则 ＝ ，2 xy＝ ，∴ xb0 时，才有 a2b2，∴只需证： ＋ b，则 ac2bc2B．若 ，则 abacbcC．若 a3b3且 ab1a1bD．若 a2b2且 ab0，则 b3且 ab ，故 C 对；对于 D：若Error! ，则 D 不成立．1a1b2． A、 B 为△ ABC 的内角， AB 是 sin Asin B 的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案 C解析 由正弦定理 ＝ ＝2 R，又 A、 B 为三角形的内角，∴sin A0，sin asin A bsin BB0，∴sin Asin B⇔2Rsin A2Rsin B⇔ab⇔AB.3．已知直线 l， m，平面 α ， β ，且 l⊥ α ， m⊂β ，给出下列四个命题：①若 α ∥ β ，则l⊥ m；②若 l⊥ m，则 α ∥ β ；③若 α ⊥ β ，则 l⊥ m；④若 l∥ m，则 α ⊥ β .其中正确命题的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4答案 B解析 若 l⊥ α ， m⊂β ， α ∥ β ，则 l⊥ β ，所以 l⊥ m，①正确；若 l⊥ α ， m⊂β ， l⊥ m， α 与 β 可能相交，②不正确；- 7 -若 l⊥ α ， m⊂β ， α ⊥ β ， l 与 m 可能平行或异面，③不正确；若 l⊥ α ， m⊂β ， l∥ m，则 m⊥ α ，所以 α ⊥ β ，④正确．4．设 a， b∈R ＋ ，且 a≠ b， a＋ b＝2，则必有( )A．1≤ ab≤ B． abab.a2＋ b22又因为 a＋ b＝22 ，ab故 ab1，a2＋ b22 a＋ b2－ 2ab2即 1ab.a2＋ b225．已知 a， b 为非零实数，则使不等式： ＋ ≤－2 成立的一个充分不必要条件是( )ab baA． ab0 B． ab0， b0， b0答案 C解析 ∵ 与 同号，由 ＋ ≤－2，知 0， b0，求证：3 a3＋2 b3≥3 a2b＋2 ab2.证明 方法一 3 a3＋2 b3－(3 a2b＋2 ab2)＝3 a2(a－ b)＋2 b2(b－ a)＝(3 a2－2 b2)(a－ b)．因为 a≥ b0，所以 a－ b≥0,3 a2－2 b20，- 8 -从而(3 a2－2 b2)(a－ b)≥0，所以 3a3＋2 b3≥3 a2b＋2 ab2.方法二 要证 3a3＋2 b3≥3 a2b＋2 ab2，只需证 3a2(a－ b)－2 b2(a－ b)≥0，只需证(3 a2－2 b2)(a－ b)≥0，∵ a≥ b0，∴ a－ b≥0,3 a2－2 b22a2－2 b2≥0，∴上式成立．二、能力提升8.已知 a、 b、 c∈R，且 a＋ b＋ c＝0， abc0，则 ＋ ＋ 的值( )1a 1b 1cA．一定是正数 B．一定是负数C．可能是 0 D．正、负不能确定答案 B解析 ∵( a＋ b＋ c)2＝ a2＋ b2＋ c2＋2( ab＋ bc＋ ca)＝0，又 abc0，∴ a， b， c 均不为 0，∴ a2＋ b2＋ c20.∴ ab＋ bc＋ cacb解析 ∵ a2－ c2＝2－(8－4 )3＝4 －6＝ － 0，∴ ac.∵ ＝ ＝ 1，∴ cb.3 48 36cb 6－ 27－ 3 7＋ 36＋ 210.已知 p＝ a＋ (a2)， q＝2－ a2＋4 a－2( a2)，则 p、 q 的大小关系为________．1a－ 2答案 pq解析 p＝ a－2＋ ＋2≥2· ＋2＝4，－ a2＋4 a－2＝2－( a－2)1a－ 2 a－ 2·1a－ 220(*)因为－10)，以过焦点的弦为直径的圆必与 x＝－ 相切．p2证明 (如图)作 AA′、 BB′垂直于准线，取 AB 的中点 M，作 MM′垂直于准线．只需证| MM′|＝ |AB|.12由抛物线的定义：|AA′|＝| AF|，| BB′|＝| BF|，所以| AB|＝| AA′|＋| BB′|.因此只需证| MM′|＝ (|AA′|＋| BB′|)，12根据梯形的中位线定理可知上式是成立的．所以以过焦点的弦为直径的圆必与 x＝－ 相切．p2三、探究与拓展14.已知 a、 b、 c 是不全相等的正数，且 0abc.a＋ b2 b＋ c2 a＋ c2由公式 ≥ 0， ≥ 0，a＋ b2 ab b＋ c2 bc≥ 0.a＋ c2 ac又∵ a， b， c 是不全相等的正数，∴ · · ＝ abc.a＋ b2 b＋ c2 a＋ c2 a2b2c2即 · · abc 成立．a＋ b2 b＋ c2 a＋ c2∴log x ＋log x ＋log x logxa＋log xb＋log xc 成立．a＋ b2 b＋ c2 a＋ c2- 1 -第二章 推理与证明 2.2.1 习题课课时作业 新人教 A 版选修 1-2明目标、知重点 加深对综合法、分析法的理解，应用两种方法证明数学问题．1．综合法综合法是中学数学证明中最常用的方法，它是从已知到未知，从题设到结论的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断出发，经过一系列的中间推理，最后导出所要求证的命题．综合法是一种由因导果的证明方法．综合法的证明步骤用符号表示是： P0(已知)⇒ P1⇒P2⇒…⇒Pn(结论)2．分析法分析法是指从需证的问题出发，分析出使这个问题成立的充分条件，使问题转化为判定那些条件是否具备，其特点可以描述为“执果索因” ，即从未知看需知，逐步靠拢已知．分析法的书写形式一般为“因为……，为了证明……，只需证明……，即……，因此，只需证明……，因为……成立，所以……，结论成立” ．分析法的证明步骤用符号表示是： P0(已知)⇐…⇐ Pn－2 ⇐Pn－1 ⇐Pn(结论)分析法属逻辑方法范畴，它的严谨体现在分析过程步步可逆．题型一 选择恰当的方法证明不等式例 1 设 a， b， c 为任意三角形三边长， I＝ a＋ b＋ c， S＝ ab＋ bc＋ ca，试证：3 S≤ I20，ab＋ ≥2 0，∴( a＋ b)( ＋ )≥4.1a 1b 1ab 1a 1b又 a＋ b＝1，∴ ＋ ≥4.1a 1b方法三 ＋ ＝ ＋ ＝1＋ ＋ ＋1≥2＋2 ＝4.当且仅当 a＝ b 时，取“＝” ．1a 1b a＋ ba a＋ bb ba ab ba·ab题型二 选择恰当的方法证明等式例 2 已知△ ABC 的三个内角 A， B， C 成等差数列，对应的三边为 a， b， c，求证： ＋1a＋ b＝ .1b＋ c 3a＋ b＋ c证明 要证原式，只需证 ＋ ＝3，a＋ b＋ ca＋ b a＋ b＋ cb＋ c即证 ＋ ＝1，即只需证 ＝1，ca＋ b ab＋ c bc＋ c2＋ a2＋ abab＋ b2＋ ac＋ bc而由题意知 A＋ C＝2 B，∴ B＝ ，∴ b2＝ a2＋ c2－ ac，π 3∴ ＝bc＋ c2＋ a2＋ abab＋ b2＋ ac＋ bc bc＋ c2＋ a2＋ abab＋ a2＋ c2－ ac＋ ac＋ bc- 3 -＝ ＝1，bc＋ c2＋ a2＋ abab＋ a2＋ c2＋ bc∴原等式成立，即 ＋ ＝ .1a＋ b 1b＋ c 3a＋ b＋ c反思与感悟 综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手易于寻找解题思路．在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论 Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P；若由 P 可推出 Q，即可得证．跟踪训练 2 设实数 a， b， c 成等比数列，非零实数 x， y 分别为 a 与 b， b 与 c 的等差中项，试证： ＋ ＝2.ax cy证明 由已知条件得 b2＝ ac，①2x＝ a＋ b,2y＝ b＋ c.②要证 ＋ ＝2，只要证 ay＋ cx＝2 xy，ax cy只要证 2ay＋2 cx＝4 xy.由①②得 2ay＋2 cx＝ a(b＋ c)＋ c(a＋ b)＝ ab＋2 ac＋ bc，4xy＝( a＋ b)(b＋ c)＝ ab＋ b2＋ ac＋ bc＝ ab＋2 ac＋ bc，所以 2ay＋2 cx＝4 xy.命题得证．题型三 立体几何中位置关系的证明例 3 如图，在四棱锥 P－ ABCD 中， PA⊥底面 ABCD， AB⊥ AD， AC⊥ CD，∠ ABC＝60°，PA＝ AB＝ BC， E 是 PC 的中点．(1)证明： CD⊥ AE；(2)证明： PD⊥平面 ABE.证明 (1)在四棱锥 P－ ABCD 中，∵ PA⊥底面 ABCD， CD⊂底面 ABCD，- 4 -∴ PA⊥ CD.∵ AC⊥ CD， PA∩ AC＝ A，∴ CD⊥平面 PAC，而 AE⊂平面 PAC，∴ CD⊥ AE.(2)由 PA＝ AB＝ BC，∠ ABC＝60°，可得 AC＝ PA，∵ E 是 PC 的中点，∴ AE⊥ PC.由(1)知， AE⊥ CD，且 PC∩ CD＝ C，所以 AE⊥平面 PCD.而 PD⊂平面 PCD，∴ AE⊥ PD.∵ PA⊥底面 ABCD，∴ PA⊥ AB，又 AB⊥ AD，∴ AB⊥平面 PAD，∴ AB⊥ PD，又 AB∩ AE＝ A，综上得 PD⊥平面 ABE.反思与感悟 综合法证明线面之间的垂直关系是高考考查的重点，利用垂直的判定定理和性质定理可以进行线线、线面以及面面之间垂直关系的转化．另外，利用一些常见的结论还常常可以将线面间的垂直与平行进行转化．比如：两条平行线中一条垂直于平面 α ，则另外一条也垂直于平面 α ；垂直于同一条直线的两个平面相互平行等．跟踪训练 3 如图，正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直，EF∥ AC， AB＝ ， CE＝ EF＝1.2(1)求证： AF∥平面 BDE；(2)求证： CF⊥平面 BDE.证明 (1)如图，设 AC 与 BD 交于点 G.因为 EF∥ AG，且 EF＝1，AG＝ AC＝1，12所以四边形 AGEF 为平行四边形．所以 AF∥ EG.因为 EG⊂平面 BDE，- 5 -AF⊄平面 BDE，所以 AF∥平面 BDE.(2)连接 FG.因为 EF∥ CG， EF＝ CG＝1，且 CE＝1，所以四边形 CEFG 为菱形．所以 CF⊥ EG.因为四边形 ABCD 为正方形，所以 BD⊥ AC.又因为平面 ACEF⊥平面 ABCD，且平面 ACEF∩平面 ABCD＝ AC，所以 BD⊥平面 ACEF.所以 CF⊥ BD.又 BD∩ EG＝ G，所以 CF⊥平面 BDE.[呈重点、现规律]1．综合法的特点是：从已知看可知，逐步推出未知．2．分析法的特点是：从未知看需知，逐步靠拢已知．3．分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来．一、基础过关1．已知 a≥0， b≥0，且 a＋ b＝2，则( )A． a≤ B． ab≥12 12C． a2＋ b2≥2 D． a2＋ b2≤3答案 C解析 ∵ a＋ b＝2≥2 ，∴ ab≤1.ab∵ a2＋ b2＝4－2 ab，∴ a2＋ b2≥2.2．已知 a、 b、 c、 d∈{正实数}，且 2 ，∴2 ab ＝ ，a＋ b22 12又∵0bc解析 a＝ ， b＝ ， c＝ .∴ abc.13＋ 2 16＋ 5 17＋ 66．如图所示， SA⊥平面 ABC， AB⊥ BC，过 A 作 SB 的垂线，垂足为 E，过 E 作 SC 的垂线，垂足为 F.求证： AF⊥ SC.证明：要证 AF⊥ SC，只需证 SC⊥平面 AEF，只需证 AE⊥ SC(因为______)，只需证______，只需证 AE⊥ BC(因为________)，只需证 BC⊥平面 SAB，只需证 BC⊥ SA(因为______)．由SA⊥平面 ABC 可知，上式成立．答案 EF⊥ SC AE⊥平面 SBC AE⊥ SB AB⊥ BC解析 要证线线垂直，可先证线面垂直，要证线面垂直，还需线线垂直，通过证明 BC⊥平面SAB，可得 AE⊥ BC，进而 AE⊥平面 SBC， SC⊥平面 AEF，问题得证．7．如果 a， b 都是正数，且 a≠ b，求证： ＋ ＋ .ab ba a b证明 方法一 用综合法＋ － － ＝ab ba a b aa＋ bb－ ab－ baab＝ ＝ 0，a－ ba－ bab a－ b2a＋ bab∴ ＋ ＋ .ab ba a b方法二 用分析法要证 ＋ ＋ ，ab ba a b只要证 ＋ ＋2 a＋ b＋2 ，a2b b2a ab ab- 8 -即要证 a3＋ b3a2b＋ ab2，只需证( a＋ b)(a2－ ab＋ b2)ab(a＋ b)，即需证 a2－ ab＋ b2ab，只需证( a－ b)20，因为 a≠ b，所以( a－ b)20 恒成立，所以 ＋ ＋ 成立．ab ba a b二、能力提升8.命题甲：( )x、2 － x、2 x－4 成等比数列；命题乙：lg x、lg( x＋2)、lg(2 x＋1)成等差数列，14则甲是乙的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案 C解析 由( )x、2 － x、2 x－4 成等比数列可得：(2 － x)2＝( )x·2x－4 ，解得 x＝4；由 lg 14 14x、lg( x＋2)、lg(2 x＋1)成等差数列得：2lg( x＋2)＝lg x＋lg(2 x＋1)，可解得x＝4( x＝－1 舍去)，所以甲是乙的充要条件. 9．若 ab1， P＝ ， Q＝ (lg a＋lg b)， R＝lg( )，则( )lg a·lg b12 a＋ b2A． Rb1⇒lg a0，lg b0， Q＝ (lg a＋lg b) ＝ P，12 lg a·lg bRlg ＝ (lg a＋lg b)＝ Q⇒RQP.ab1210．已知 α 、 β 为实数，给出下列三个论断：① αβ 0；②| α ＋ β |5；③| α |2 ，| β |2 .以其中的两个论断为条件，另一个论断2 2为结论，你认为正确的命题是________．答案 ①③⇒②解析 ∵ αβ 0，| α |2 ，| β |2 .2 2∴| α ＋ β |2＝ α 2＋ β 2＋2 αβ 8＋8＋2×8＝3225.∴| α ＋ β |5.- 9 -11．已知 a0，求证： － ≥ a＋ －2.a2＋ 1a2 2 1a证明 要证 － ≥ a＋ －2，a2＋ 1a2 2 1a只要证 ＋2≥ a＋ ＋ .a2＋ 1a2 1a 2∵ a0，故只要证 2≥ 2，(a2＋ 1a2＋ 2) (a＋ 1a＋ 2)即 a2＋ ＋4 ＋4≥ a2＋2＋ ＋2 ＋2，1a2 a2＋ 1a2 1a2 2(a＋ 1a)从而只要证 2 ≥ ，a2＋ 1a2 2(a＋ 1a)只要证 4 ≥2 ，(a2＋1a2) (a2＋ 2＋ 1a2)即 a2＋ ≥2，1a2而该不等式显然成立，故原不等式成立．12．已知 a、 b、 c∈R，且 a＋ b＋ c＝1，求证：( －1)( －1)·( －1)≥8.1a 1b 1c证明 方法一 (分析法)要证( －1)( －1)( －1)≥8 成立，1a 1b 1c只需证 · · ≥8 成立．1－ aa 1－ bb 1－ cc因为 a＋ b＋ c＝1，所以只需证 · · ≥8 成立，a＋ b＋ c－ aa a＋ b＋ c－ bb a＋ b＋ c－ cc即证 · · ≥8 成立．b＋ ca a＋ cb a＋ bc而 · · ≥ · · ＝8 成立．b＋ ca a＋ cb a＋ bc 2bca 2acb 2abc∴( －1)( －1)( －1)≥8 成立．1a 1b 1c方法二 (综合法)( －1)( －1)( －1)1a 1b 1c＝( －1)( －1)( －1)a＋ b＋ ca a＋ b＋ cb a＋ b＋ cc- 10 -＝ · · ＝b＋ ca a＋ cb a＋ bc b＋ ca＋ ca＋ babc≥ ＝8，2bc·2ac·2ababc当且仅当 a＝ b＝ c 时取等号，所以原不等式成立．13.设数列{ an}的前 n 项和为 Sn，已知 a1＝1， ＝ an＋1 － n2－ n－ ， n∈N *.2Snn 13 23(1)求 a2的值；(2)求数列{ an}的通项公式；(3)证明：对一切正整数 n，有 ＋ ＋…＋ 0 时，欲证原不等式成立，只需证(ac＋ bd)2≤( a2＋ b2)(c2＋ d2)．即证 a2c2＋2 abcd＋ b2d2≤ a2c2＋ a2d2＋ b2c2＋ b2d2.即证 2abcd≤ b2c2＋ a2d2即证 0≤( bc－ ad)2.因为 a， b， c， d∈R，所以上式恒成立．故原不等式成立，综合①②知，命题得证．方法二 (用综合法)(a2＋ b2)(c2＋ d2)＝ a2c2＋ a2d2＋ b2c2＋ b2d2＝( a2c2＋2 acbd＋ b2d2)＋( b2c2－2 bcad＋ a2d2)＝( ac＋ bd)2＋( bc－ ad)2≥( ac＋ bd)2.∴ ≥| ac＋ bd|≥ ac＋ bd.a2＋ b2c2＋ d2方法三 (用比较法)∵( a2＋ b2)(c2＋ d2)－( ac＋ bd)2＝( bc－ ad)2≥0，∴( a2＋ b2)(c2＋ d2)≥( ac＋ bd)2，∴ ≥| ac＋ bd|≥ ac＋ bd.a2＋ b2c2＋ d2方法四 (用放缩法)为了避免讨论，由 ac＋ bd≤| ac＋ bd|，可以试证( ac＋ bd)2≤ (a2＋ b2)(c2＋ d2)．由方法一知上式成立，从而方法四可行．方法五 (构造向量法)设 m＝( a， b)， n＝( c， d)，∴ m·n＝ ac＋ bd，|m|＝ ，| n|＝ .a2＋ b2 c2＋ d2∵ m·n≤| m|·|n|＝ · .a2＋ b2 c2＋ d2故 ac＋ bd≤ .a2＋ b2c2＋ d2