2015-2016学年高中数学 第二章 基本初等函数（Ⅰ）教案（打包8套）新人教A版必修1.zip

1课题：§2.1.1 指数教学目的：（1）掌握根式的概念；（2）规定分数指数幂的意义；（3）学会根式与分数指数幂之间的相互转化；（4）理解有理指数幂的含义及其运算性质；（5）了解无理数指数幂的意义教学重点：分数指数幂的意义，根式与分数指数幂之间的相互转化，有理指数幂的运算性质教学难点：根式的概念，根式与分数指数幂之间的相互转化，了解无理数指数幂． 教学过程：一、引入课题1． 以折纸问题引入，激发学生的求知欲望和学习指数概念的积极性2． 由实例引入，了解指数指数概念提出的背景，体会引入指数的必要性；3． 复习初中整数指数幂的运算性质； nmnba)(4． 初中根式的概念；如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做 a 的立方根；二、新课教学（一）指数与指数幂的运算1．根式的概念一般地，如果 ，那么 叫做 的 次方根（n th root） ，其中 1，且axnxan∈ *．nN当 是奇数时，正数的 次方根是一个正数，负数的 次方根是一个负数．此时，的 次方根用符号 表示．an式子 叫做根式（radical） ，这里 叫做根指数（radical exponent） ， 叫做被开n na方数（radicand） ．当 是偶数时，正数的 次方根有两个，这两个数互为相反数．此时，正数 的正的次方根用符号 表示，负的 次方根用符号－ 表示．正的 次方根与负的 次方根nnanann可以合并成± （ 0） ．由此可得：负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是 0，记作 ．0n思考：（课本 P58探究问题） = 一定成立吗？． （学生活动）na2结论：当 是奇数时，nan当 是偶数时， )0(|例 1． （教材 P58例 1） ．解：（略）巩固练习：（教材 P58例 1）2．分数指数幂正数的分数指数幂的意义规定： )1,,0(*nNmanm ,1*n0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂没有意义指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．3．有理指数幂的运算性质（1） · ；rasr),0(Qsra（2） ；rsr)(（3） ．srb),(rb引导学生解决本课开头实例问题例 2． （教材 P60例 2、例 3、例 4、例 5）说明：让学生熟练掌握根式与分数指数幂的互化和有理指数幂的运算性质运用．巩固练习：（教材 P63练习 1-3）4． 无理指数幂结合教材 P62实例利用逼近的思想理解无理指数幂的意义．指出：一般地，无理数指数幂 是一个确定的实数．有理数指数),0(是 无 理 数a幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．思考：（教材 P63练习 4）巩固练习思考：：（教材 P62思考题）例 3． （新题讲解）从盛满 1 升纯酒精的容器中倒出 升，然后用水填满，再倒出 升，3131又用水填满，这样进行 5 次，则容器中剩下的纯酒精的升数为多少？解：（略）点评：本题还可以进一步推广，说明可以用指数的运算来解决生活中的实际问题．三、归纳小结，强化思想本节主要学习了根式与分数指数幂以及指数幂的运算，分数指数幂是根式的另一种表3示形式，根式与分数指数幂可以进行互化．在进行指数幂的运算时，一般地，化指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的，对含有指数式或根式的乘除运算，还要善于利用幂的运算法则．四、作业布置1． 必做题：教材 P69习题 2．1（A 组） 第 1－4 题．2． 选做题：教材 P70习题 2．1（B 组） 第 2 题．1课题：§2.1.2 指数函数及其性质教学任务：（1）使学生了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系；（2）理解指数函数的的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性和特殊点；（3）在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法，如具体到一般的过程、数形结合的方法等．教学重点：指数函数的的概念和性质．教学难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质． 教学过程：一、引入课题（备选引例）1． （合作讨论）人口问题是全球性问题，由于全球人口迅猛增加，已引起全世界关注．世界人口 2000 年大约是 60 亿，而且以每年 1.3%的增长率增长，按照这种增长速度，到 2050 年世界人口将达到 100 多亿，大有“人口爆炸”的趋势．为此，全球范围内敲起了人口警钟，并把每年的 7 月 11 日定为“世界人口日” ，呼吁各国要控制人口增长．为了控制人口过快增长，许多国家都实行了计划生育．我国人口问题更为突出，在耕地面积只占世界 7%的国土上，却养育着 22%的世界人口．因此，中国的人口问题是公认的社会问题．2000 年第五次人口普查，中国人口已达到 13 亿，年增长率约为 1%．为了有效地控制人口过快增长，实行计划生育成为我国一项基本国策．按照上述材料中的 1%的增长率，从 2000 年起，x 年后我国的人口将达到○ 12000 年的多少倍？到 2050 年我国的人口将达到多少？○ 2你认为人口的过快增长会给社会的发展带来什么样的影响？○ 32． 上一节中 GDP 问题中时间 x 与 GDP 值 y 的对应关系 y=1.073x（x∈N *，x≤20）能否构成函数？3． 一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的 84%，那么以时间 x 年为自变量，残留量 y 的函数关系式是什么？4． 上面的几个函数有什么共同特征？二、新课教学（一）指数函数的概念一般地，函数 叫做指数函数（exponential function） ，其中)1a,0(ayx且x 是自变量，函数的定义域为 R．注意： 指数函数的定义是一个形式定义，要引导学生辨析；○ 1注意指数函数的底数的取值范围，引导学生分析底数为什么不能是负数、零○ 2和 1．巩固练习：利用指数函数的定义解决（教材 P68例 2、3）（二）指数函数的图象和性质问题：你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质．2研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性．探索研究：1．在同一坐标系中画出下列函数的图象：（1） x)3(y（2）（3） x（4） y（5） x2．从画出的图象中你能发现函数 的图象和函数 的图象有什么关系？x2yx)21(y可否利用 的图象画出 的图象？xy)1(3．从画出的图象（ 、 和 ）中，你能发现函数的图象与其底数之xx3x5间有什么样的规律？4．你能根据指数函数的图象的特征归纳出指数函数的性质吗？图象特征 函数性质1a1a01a1a0向 x、y 轴正负方向无限延伸 函数的定义域为 R图象关于原点和 y 轴不对称 非奇非偶函数函数图象都在 x 轴上方 函数的值域为 R+函数图象都过定点（0，1） 1a0自左向右看，图象逐渐上升自左向右看，图象逐渐下降 增函数 减函数在第一象限内的图象纵坐标都大于 1在第一象限内的图象纵坐标都小于 1 a,0x1a,0x在第二象限内的图象纵坐标都小于 1在第二象限内的图象纵坐标都大于 1 1图象上升趋势是越来越陡图象上升趋势是越来越缓函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快；函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢；5． 利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在[a，b]上， 值域是 或 ；)1a0()xf且 )]b(f,a[)]a(f,[（2）若 ，则 ； 取遍所有正数当且仅当 ；01()f Rx（3）对于指数函数 ，总有 ；)a()fx且 a)(f3（4）当 时，若 ，则 ；1a21x)x(f21（三）典型例题例 1． （教材 P66例 6） ．解：（略）问题：你能根据本例说出确定一个指数函数需要几个条件吗？例 2． （教材 P66例 7）解：（略）问题：你能根据本例说明怎样利用指数函数的性质判断两个幂的大小？说明：规范利用指数函数的性质判断两个幂的大小方法、步骤与格式．巩固练习：（教材 P69习题 A 组第 7 题）三、归纳小结，强化思想本节主要学习了指数函数的图象，及利用图象研究函数性质的方法．四、作业布置1． 必做题：教材 P69习题 2．1（A 组） 第 5、6、8、12 题．2． 选做题：教材 P70习题 2．1（B 组） 第 1 题．1课题：§2.2.1 对数教学目的：（1）理解对数的概念；（2）能够说明对数与指数的关系；（3）掌握对数式与指数式的相互转化．教学重点：对数的概念，对数式与指数式的相互转化教学难点：对数概念的理解．教学过程：一、引入课题1． （对数的起源）价绍对数产生的历史背景与概念的形成过程，体会引入对数的必要性；设计意图：激发学生学习对数的兴趣，培养对数学习的科学研究精神．2． 尝试解决本小节开始提出的问题．二、新课教学1．对数的概念一般地，如果 ，那么数 叫做以 为底 的对数（Logarithm） ，Nax)1,0(axaN记作： alog— 底数， — 真数， — 对数式al说明： 注意底数的限制 ，且 ；○ 1 01a；○ 2 xNaxlog注意对数的书写格式．○ 3思考： 为什么对数的定义中要求底数 ，且 ；○ 1是否是所有的实数都有对数呢？○ 2设计意图：正确理解对数定义中底数的限制，为以后对数型函数定义域的确定作准备．两个重要对数：常用对数（common logarithm）：以 10 为底的对数 ；○ 1 Nlg自然对数（natural logarithm）：以无理数 为底的对数的对○ 2 7182.e数 ．Nln2． 对数式与指数式的互化 xalogNax对数式 指数式对数底数 ← → 幂底数对数 ← → 指数真数 ← → 幂例 1． （教材 P73例 1）巩固练习：（教材 P74练习 1、2）Nalog2设计意图：熟练对数式与指数式的相互转化，加深理解对数概念．说明：本例题和练习均让学生独立阅读思考完成，并指出对数式与指数式的互化中应注意哪些问题．3． 对数的性质（学生活动）阅读教材 P73例 2，指出其中求 的依据；○ 1 x独立思考完成教材 P74练习 3、4，指出其中蕴含的结论○ 2对数的性质（1）负数和零没有对数； （2）1 的对数是零： ；01loga（3）底数的对数是 1： ；（4）对数恒等式： ；Nalog（5） ．nalog三、归纳小结，强化思想引入对数的必要性；○ 1指数与对数的关系；○ 2对数的基本性质．○ 3四、作业布置教材 P86习题 2．2（A 组） 第 1、2 题， （B 组） 第 1 题．1课题：§2.2.1 对数的运算性质教学目的：（1）理解对数的运算性质；（2）知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；（3）通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用．教学重点：对数的运算性质，用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数教学难点：对数的运算性质和换底公式的熟练运用．教学过程：一、引入课题1． 对数的定义： ；bNaablog2． 对数恒等式： ；Na,log二、新课教学1．对数的运算性质提出问题：根据对数的定义及对数与指数的关系解答下列问题：设 ， ，求 ；○ 1 ma2logna3lognm设 ， ，试利用 、 表示 · ．○ 2 MNMa(log)N（学生独立思考完成解答，教师组织学生讨论评析，进行归纳总结概括得出对数的运算性质１，并引导学生仿此推导其余运算性质）运算性质：如果 ，且 ， ， ，那么：0a10· ＋ ；○ 1 (log)NalogNal－ ；○ 2 Ma．○ 3 nlal)(Rn（引导学生用自然语言叙述上面的三个运算性质）学生活动：阅读教材Ｐ 75例 3、4， ；○ 1设计意图：在应用过程中进一步理解和掌握对数的运算性质．完成教材Ｐ 79练习 1~3○ 2设计意图：在练习中反馈学生对对数运算性质掌握的情况，巩固所学知识．2． 利用科学计算器求常用对数和自然对数的值设计意图：学会利用计算器、计算机求常用对数值和自然对数值的方法．思考：对于本小节开始的问题中，可否利用计算器求解 的值？从而引入换底138log0.公式．3． 换底公式2（ ，且 ； ，且 ； ） ．abcalogl01a0c10b学生活动根据对数的定义推导对数的换底公式．○ 1设计意图：了解换底公式的推导过程与思想方法，深刻理解指数与对数的关系．思考完成教材 P76问题（即本小节开始提出的问题） ；○ 2利用换底公式推导下面的结论○ 3（1） ；bmnaaloglog（2） ．bl1l设计意图：进一步体会并熟练掌握换底公式的应用．说明：利用换底公式解题时常常换成常用对数，但有时还要根据具体题目确定底数．4． 课堂练习教材Ｐ 79练习 4○ 1已知○ 2 的 值 。试 求 ： 12lg,7.03lg,1.0lg试求： 的值。 （对换 5 与 2，再试一试）○ 3 52○ 4 的 值 。， 试 求 ： 33ll baba 设 , ，试用 、 表示○ 5 lgba1log5三、归纳小结，强化思想本节主要学习了对数的运算性质和换底公式的推导与应用，在教学中应用多给学生创造尝试、思考、交流、讨论、表达的机会，更应注重渗透转化的思想方法．四、作业布置1． 基础题：教材 P86习题 2．2（A 组） 第 3 ~5、11 题；2． 提高题：设 , ，试用 、 表示 ；○ 1 a3log8b5l3a5lg设 , ，试用 、 表示 ；○ 2 714 28o3设 、 、 为正数，且 ，求证： ．○ 3 bccba64ba13． 课外思考题：设正整数 、 、 （ ≤ ≤ ）和实数 、 、 、 满足：axyz， ，30zyxcb1zyx求 、 、 的值． a1课题：§2.2.2 对数函数（一）教学任务：（1）通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；（2）能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；（3）通过比较、对照的方法，引导学生结合图象类比指数函数，探索研究对数函数的性质，培养学生数形结合的思想方法，学会研究函数性质的方法．教学重点：掌握对数函数的图象和性质．教学难点：对数函数的定义，对数函数的图象和性质及应用． 教学过程：一、引入课题1． （知识方法准备）学习指数函数时，对其性质研究了哪些内容，采取怎样的方法？○ 1设计意图：结合指数函数，让学生熟知对于函数性质的研究内容，熟练研究函数性质的方法——借助图象研究性质．对数的定义及其对底数的限制．○ 2设计意图：为讲解对数函数时对底数的限制做准备．2． （引例）教材 P81引例处理建议：在教学时，可以让学生利用计算器填写下表：碳 14 的含量 P 0.5 0.3 0.1 0.01 0.001生物死亡年数 t然后引导学生观察上表，体会“对每一个碳 14 的含量 P 的取值，通过对应关系 ，生物死亡年数 t 都有唯一的值与之对应，从而 t 是 P 的函数” t215730log． （进而引入对数函数的概念）二、新课教学（一）对数函数的概念1．定义：函数 ，且 叫做对数函数（logarithmic function）0(logaxy)1其中 是自变量，函数的定义域是（0，+∞） ．注意： 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如：○ 1， 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．xy2log5ly对数函数对底数的限制： ，且 ．○ 2 0(a)1巩固练习：（教材 P68例 2、3）（二）对数函数的图象和性质问题：你能类比前面讨论指数函数性质的思路，提出研究对数函数性质的内容和方法吗？研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质．研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性．2探索研究：在同一坐标系中画出下列对数函数的图象；（可用描点法，也可借助科学计算○ 1器或计算机）（1） xy2log（2） 1（3） xy3l（4） 1og类比指数函数图象和性质的研究，研究对数函数的性质并填写如下表格：○ 2图象特征 函数性质1aa01a1a0函数图象都在 y 轴右侧 函数的定义域为（0，＋∞）图象关于原点和 y 轴不对称 非奇非偶函数向 y 轴正负方向无限延伸 函数的值域为 R函数图象都过定点（1，1） 1自左向右看，图象逐渐上升自左向右看，图象逐渐下降 增函数 减函数第一象限的图象纵坐标都大于 0第一象限的图象纵坐标都大于 0 0log,1xa 0log,xa第二象限的图象纵坐标都小于 0第二象限的图象纵坐标都小于 0 1x思考底数 是如何影响函数 的． （学生独立思考，师生共同总结）○ 3 axyal规律：在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大．（三）典型例题例 1． （教材 P83例 7） ．解：（略）说明：本例主要考察学生对对数函数定义中底数和定义域的限制，加深对对数函数的理解． 巩固练习：（教材 P85练习 2） ．例 2． （教材 P83例 8）解：（略）说明：本例主要考察学生利用对数函数的单调性“比较两个数的大小”的方法，熟悉对数函数的性质，渗透应用函数的观点解决问题的思想方法．注意：本例应着重强调利用对数函数的单调性比较两个对数值的大小的方法，规范解题格式．巩固练习：（教材 P85练习 3） ．例 2． （教材 P83例 9）解：（略）说明：本例主要考察学生对实际问题题意的理解，把具体的实际问题化归为数学问题．3注意：本例在教学中，还应特别启发学生用所获得的结果去解释实际现象．巩固练习：（教材 P86习题 2．2 A 组第 6 题） ．三、归纳小结，强化思想本小节的目的要求是掌握对数函数的概念、图象和性质．在理解对数函数的定义的基础上，掌握对数函数的图象和性质是本小节的重点．四、作业布置1． 必做题：教材 P86习题 2．2（A 组） 第 7、8、9、12 题．2． 选做题：教材 P86习题 2．2（B 组） 第 5 题．1课题：§2.2.2 对数函数（二） 教学任务：（1）进一步理解对数函数的图象和性质；（2）熟练应用对数函数的图象和性质，解决一些综合问题；（3）通过例题和练习的讲解与演练，培养学生分析问题和解决问题的能力．教学重点：对数函数的图象和性质．教学难点：对对数函数的性质的综合运用． 教学过程：一、回顾与总结1． 函数 xyxylg,lo,lg52的图象如图所示，回答下列问题．（1）说明哪个函数对应于哪个图象， 并解释为什么？（2）函数 与xyalogxya1l且 有什么关系？图象之间,0(a) 又有什么特殊的关系？（3）以 的图象为基础，在同一坐标系中画出xyxylg,lo,lg52的图象．xy105121o,lg（4）已知函数 的图象，则底数xyxyaaaa 4321 log,l,log,l 之间的关系：．教○ 1○ 2○ 31logyx23al422． 完成下表（对数函数 且 的图象和性质）xyalog,0()101a图象定义域值域性质3． 根据对数函数的图象和性质填空．已知函数 ，则当 时， ；当 时， ○ 1 xy2log0y1xy；当 时， ；当 时， ．0x4x已知函数 ，则当 时， ；当 时， ○ 1 xy31l1yxy；当 时， ；当 时， ；当 时，5x 20x2．二、应用举例例 1． 比较大小： ， 且 ；○ 1 alogeal,()0， ．○ 2 12(Ra解：（略）例 2．已知 恒为正数，求 的取值范围．)13(loga解：（略）[总结点评]：（由学生独立思考，师生共同归纳概括） ． ．例 3．求函数 的定义域及值域． )78lg()2xxf解：（略）3注意：函数值域的求法．例 4． （1）函数 在[2，4]上的最大值比最小值大 1，求 的值；xyalog a（2）求函数 的最小值． )106(23解：（略）注意：利用函数单调性求函数最值的方法，复合函数最值的求法．例 5． （2003 年上海高考题）已知函数 ，求函数 的定义域，xxf1log)(2)(xf并讨论它的奇偶性和单调性． 解：（略）注意：判断函数奇偶性和单调性的方法，规范判断函数奇偶性和单调性的步骤．例 6．求函数 的单调区间．)54(log)(2.0xyxf解：（略）注意：复合函数单调性的求法及规律：“同增异减” ．练习：求函数 的单调区间．)23(log1xy三、作业布置考试卷一套课题：§2.2.2 对数函数（三）教学目标：知识与技能 理解指数函数与对数函数的依赖关系，了解反函数的概念，加深对函数的模型化思想的理解．过程与方法 通过作图，体会两种函数的单调性的异同．情感、态度、价值观 对体会指数函数与对数函数内在的对称统一．教学重点：重点 难两种函数的内在联系，反函数的概念．难点 反函数的概念．教学程序与环节设计：创设情境组织探究尝试练习巩固反思作业回馈课外活动由函数的观点分析例题，引出反函数的概念．两种函数的内在联系，图象关系．简单的反函数问题，单调性问题．从宏观性、关联性角度试着给指数函数、对数函数的定义、图象、性质作一小结．简单的反函数问题，单调性问题．互为反函数的函数图象的关系．教学过程与操作设计：环节 呈现教学材料 师生互动设计创设情境材料一：当生物死亡后，它机体内原有的碳 14 会按确定的规律衰减，大约每经过 5730 年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期” ．根据些规律，人们获得了生物体碳 14 含量 P 与生物死亡年数 t 之间的关系．回答下列问题：（1）求生物死亡 t 年后它机体内的碳 14 的含量 P，并用函数的观点来解释 P 和 t 之间的关系，指出是我们所学过的何种函数？（2）已知一生物体内碳 14 的残留量为 P，试求该生物死亡的年数 t，并用函数的观点来解释 P和 t 之间的关系，指出是我们所学过的何种函数？（3）这两个函数有什么特殊的关系？（4）用映射的观点来解释 P 和 t 之间的对应关系是何种对应关系？（5）由此你能获得怎样的启示？生：独立思考完成，讨论展示并分析自己的结果．师：引导学生分析归纳，总结概括得出结论：（1）P 和 t 之间的对应关系是一一对应；（2）P 关于 t 是指数函数 ；x)21(5730t 关于 P 是对数函数，它们573021log的底数相同，所描述的都是碳 14 的衰变过程中，碳 14 含量 P 与死亡年数 t 之间的对应关系；（3）本问题中的同底数的指数函数和对数函数，是描述同一种关系（碳 14 含量 P 与死亡年数 t 之间的对应关系）的不同数学模型．材料二：由对数函数的定义可知，对数函数是把指数函数 中的自变量与因变xy2logxy2量对调位置而得出的，在列表画 的图象2log时，也是把指数函数 的对应值表里的 和xyx的数值对换，而得到对数函数 的对应y 2l值表，如下：表一 ．xy2环节 呈现教学材料 师生互动设计x… -3 -2 -1 0 1 2 3 …y… 8141 2 4 8 …表二 ．x2log在同一坐标系中，用描点法画出图象．x… -3 -2 -1 0 1 2 3 …y… 8141 2 4 8 …生：仿照材料一分析：与xy2的关系．log师：引导学生分析，讲评得出结论，进而引出反函数的概念．组织探究材料一：反函数的概念：当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数互为反函数．由反函数的概念可知，同底数的指数函数和对数函数互为反函数．材料二：以 与 为例研究互xy2x2log为反函数的两个函数的图象和性质有什么特殊的联系？师：说明：（1）互为反函数的两个函数是定义域、值域相互交换，对应法则互逆的两个函数；（2）由反函数的概念可知“单调函数一定有反函数” ；（3）互为反函数的两个函数是描述同一变化过程中两个变量关系的不同数学模型．师：引导学生探索研究材料二．生：分组讨论材料二，选出代表阐述各自的结论，师生共同评析归纳．尝试练习求下列函数的反函数：（1） ； （2）xy3xy6log生：独立完成．巩固反思从宏观性、关联性角度试着给指数函数、对数函数的定义、图象、性质作一小结．作业反馈1． 求下列函数的反函数：x1 2 3 4y3 5 7 9环节 呈现教学材料 师生互动设计1 2 3 43 5 7 92． （1）试着举几个满足“对定义域内任意实数 a、b，都有 f (a·b) = f ( a ) + f ( b ) ． ”的函数实例，你能说出这些函数具有哪些共同性质吗？（2）试着举几个满足“对定义域内任意实数a、b，都有 f (a + b) = f ( a )·f ( b ) ． ”的函数实例，你能说出这些函数具有哪些共同性质吗？答案：1．互换 、 的数xy值．2．略．课外活动我们知道，指数函数 ，且0(yx与对数函数 ，且 互)1aloga)1为反函数，那么，它们的图象有什么关系呢？运用所学的数学知识，探索下面几个问题，亲自发现其中的奥秘吧！问题 1 在同一平面直角坐标系中，画出指数函数 及其反函数 的图象，你能发xy2xy2log现这两个函数的图象有什么特殊的对称性吗？问题 2 取 图象上的几个点，说出它们x关于直线 的对称点的坐标，并判断它们是否y在 的图象上，为什么？2log 结论： 互为反函数的两个函数的图象关于直线 对称．xy问题 3 如果 P0（x 0，y 0）在函数 的图xy2象上，那么 P0关于直线 的对称点在函数的图象上吗，为什么？y2log问题 4 由上述探究过程可以得到什么结论？问题 5 上述结论对于指数函数 xay，且 及其反函数0(a)1，且 也成立吗？为什么？logxya课题：§2.3 幂函数教学目标：知识与技能 通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行简单的应用．过程与方法 能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，来研究幂函数的图象和性质．情感、态度、价值观 体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性．教学重点：重点 从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质．难点 画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质，体会图象的变化规律．教学程序与环节设计：创设情境组织探究尝试练习巩固反思作业回馈课外活动问题引入．幂函数的图象和性质．幂函数性质的初步应用．复述幂函数的图象规律及性质．幂函数性质的初步应用．利用图形计算器或计算机探索一般幂函数的图象规律．教学过程与操作设计：环节 教学内容设计 师生双边互动创设情境阅读教材 P90的具体实例（1）~（5） ，思考下列问题：1．它们的对应法则分别是什么？2．以上问题中的函数有什么共同特征？（答案）1． （1）乘以 1；（2）求平方；（3）求立方；（4）开方；（5）取倒数（或求－1 次方） ．2．上述问题中涉及到的函数，都是形如的函数，其中 是自变量，是 常数．xyx生：独立思考完成引例．师：引导学生分析归纳概括得出结论．师生：共同辨析这种新函数与指数函数的异同．组织探究材料一：幂函数定义及其图象．一般地，形如 xy)(Ra的函数称为幂函数，其中 为常数．下面我们举例学习这类函数的一些性质．作出下列函数的图象：（1） ；（2） ；（3） ；xy21xy2xy（4） ；（5） ． 1[解] 列表（略）○ 1图象○ 2师：说明：幂函数的定义来自于实践，它同指数函数、对数函数一样，也是基本初等函数，同样也是一种“形式定义”的函数，引导学生注意辨析．生：利用所学知识和方法尝试作出五个具体幂函数的图象，观察所图象，体会幂函数的变化规律．师：引导学生应用画函数的性质画图象，如：定义域、奇偶性．师生共同分析，强调画图象易犯的错误．环节 教学内容设计 师生双边互动材料二：幂函数性质归纳．（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1） ；（2） 时，幂函数的图象通过原点，并且在区间 上是增函数．特别地，当 时，),[1幂函数的图象下凸；当 时，幂函数的图10象上凸；（3） 时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当 从右边),0(x趋向原点时，图象在 轴右方无限地逼近 轴正半yy轴，当 趋于 时，图象在 轴上方无限地逼近x轴正半轴．材料三：观察与思考观察图象，总结填写下表： xy23xy21xy定义域值域奇偶性单调性定点师：引导学生观察图象，归纳概括幂函数的的性质及图象变化规律．生：观察图象，分组讨论，探究幂函数的性质和图象的变化规律，并展示各自的结论进行交流评析，并填表．组织探究材料五：例题[例 1]（教材 P92例题）[例 2]比较下列两个代数值的大小：（1） ，5.1)(a.（2） ，32[例 3] 讨论函数 的定义域、奇偶性，32xy作出它的图象，并根据图象说明函数的单调性．师：引导学生回顾讨论函数性质的方法，规范解题格式与步骤．并指出函数单调性是判别大小的重要工具，幂函数的图象可以在单调性、奇偶性基础上较快描出．生：独立思考，给出解答，共同讨论、评析．环节 呈现教学材料 师生互动设计尝试练习1．利用幂函数的性质，比较下列各题中两个幂的值的大小：（1） ， ；43.2.（2） ， ；56056（3） ， ；23)(23)(（4） ， ．1.19.2．作出函数 的图象，根据图象讨论这23xy个函数有哪些性质，并给出证明．3．作出函数 和函数 的图22)3(xy象，求这两个函数的定义域和单调区间．4．用图象法解方程：（1） ； （2） ．1x23x探究与发现1．如图所示，曲线是幂函数 在第一象限内的xy图象，已知 分别取四个值，则相应图2,1象依次为： ．2．在同一坐标系内，作出下列函数的图象，你能发现什么规律？（1） 和 ；3xy31（2） 和 ．4554规律 1：在第一象限，作直线 ，)(ax它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．规律 2：幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线对称．xy作业回馈1．在函数中，幂函数的1,,2,2yxxy个数为：A．0 B．1 C．2 D．3环节 呈现教学材料 师生互动设计2．已知幂函数 的图象过点 ，)(xfy)2,(试求出这个函数的解析式．3．在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量速率 R 与管道半径 r 的四次方成正比．（1）写出函数解析式；（2）若气体在半径为 3cm 的管道中，流量速率为 400cm3/s，求该气体通过半径为 r 的管道时，其流量速率 R 的表达式；（3）已知（2）中的气体通过的管道半径为5cm，计算该气体的流量速率．4．1992 年底世界人口达到 54．8 亿，若人口的平均增长率为 x%，2008 年底世界人口数为 y（亿），写出：（1）1993 年底、1994 年底、2000 年底的世界人口数；（2）2008 年底的世界人口数 y 与 x 的函数解析式．课外活动利用图形计算器探索一般幂函数 的图象随 的变化规律．收获与体会1．谈谈五个基本幂函数的定义域与对应幂函数的奇偶性、单调性之间的关系？2．幂函数与指数函数的不同点主要表现在哪些方面？