1、第 1 页 共 6 页重庆邮电大学 2011-2012 学年度第一学期实变函数期末试题（A）（闭卷，120 分钟）一、选择题(共 10 题, 每题 3 分，共 30 分)1. 设 Q 是 R 中有理数的全体，则 Q 在 R 中的导集是 (A) Q (B) R (C) 空集 (D) RQ2. 设 是一列闭集， , 则 一定是 nF1nF(A) 开集 (B) 闭集 (C) 型集 (D) 型集GF3. 设点集 E 是区间0,2中有理数的全体，则 m(E)= (A) 0 (B) 1 (C) (D) 24. 设 K 是通常的 Cantor 集合，则 (A) K 与 对等, K 的测度为 0 (B) K
2、与 对等,K 的测度为 1nRnR(C) K 与 不对等,K 的测度为 0 (D) K 与 不对等,K 的测度为 1 5. 设 和 在 上可测，则 是 ()fxgE()fg(A) 可测集 (B) 不可测集 (C) 空集 (D)无法确定6. 设 定义在 上, ,则 是 ()f()max()nffn()nfx(A) 单调递增函数列 (B) 单调递减函数列(C) 可积函数列 (D) 连续函数列7. 设 E 是任一可测集，则 (A) E 是开集 (B) E 是 闭集 (C) 完备集 (D) 0,G开 集 使 ()8. 设函数 ，则 2sin3,0,11()xQf0,1()fxd(A) 1 (B) 2
3、(C) 3 (D) 49. 下列命题不正确的是 A开集、闭集都是可测集 B外测度为零的集都是可测集C可测集都是 Borel 集 D 型集, 型集都是可测集GF题号 一 二 三 四 总分 复核人得分 密封线年级： 专业： 班级： 姓名： 学号：第 2 页 共 6 页10. 设 是 E 上一列几乎处处有限的可测函数，若对任意 ，有下面条()nfx 0件成立，则 以测度收敛于 . ()fx(A) (B) lim(|)(|0nnfxflim(|)(|)nnEfxf(C) (D) |)E|0二、简要叙述题(共 2 题, 每题 5 分，共 10 分)1叙述鲁津（Lusin）定理的基本内容和意义2叙述 Le
4、besgue 控制收敛定理的基本内容和意义第 3 页 共 6 页三、解答题(共 3 题, 每题 8 分，共 24 分)1计算积分 .01xIde2. 计算积分 20lim(1).nxJed3.设 且 , 若 是可测集，求证,nABR()mA() ()B 第 4 页 共 6 页四、证明题(共 3 题, 每题 12 分，共 36 分)1设 是 上一列几乎处处有限的可测函数， 几乎处处收敛于有nfEnf限函数 . 试证明：对任意的 ，存在常数 和可测集 , 0C0E而且00,(),m|()|,1,2.nfxCE第 5 页 共 6 页2求证 1 201ln(1).()pnxdp第 6 页 共 6 页3.设在0, 1中有 个 Lebesgue 可测集 ，如果0, 1中每一点至n12,.nE少属于上述 个中的 个集，则 中至少有一个集合的测度不小q12,.n于 .qn
