1、1发散 直觉 横向 逆向-思维能力培养的 实践与思考厦门一中 郑辉龙 华东师大版数学课本九年级下册 P82 习题 5：一组对边相等、一组对角相等的四边形是否一定是平行四边形？如果一定是，请给出证明；如果不一定是，请举出反例初中课本习题还有难度吗？读者朋友，您不烦试试难在哪里？难在构造一个漂亮的反例构造反例需要创造性思维，而这种思维正是学生十分薄弱的 义务教育数学课程标准指出：使学生获得对数学理解的同时，在思维能力等方面得到进步与发展；数学在提高人的推理能力、抽象能力、想象力和创造力等方面有着独特的作用；要提高学生的创新意识等为新课程理念而教，为创造而教，数学教师义不容辞就创造性思维能力的培养，
2、笔者谈谈自己的实践与思考一、培养发散思维发散思维又称为求异思维，具有多向性、变异性、独特性的特点，即思考问题时，注意多途径、多方案由于它不因循传统的、一般化的思维模式，而是另辟蹊径，所以常能有新的发现或创造数学上的新思想、新方法、新发现往往来源于发散思维按现代心理学家的观点，一个人创造能力的大小与其发散思维能力成正比例 1：写出一个有两个相等实数根的一元二次方程是_分析：不按习惯模式设问，此类开放性题目可以训练学生的发散思维例 2：已知，如图ABC 中，D 是 AB 边上一点，BDAD，A=ACD，过 D 作CDB 的平分线交 CB 于 F，若线段 AC 沿着 AB 方向平移，当点 A 移到点
3、 D 时，判断线段 AC 的中点 E 能否移动到线段DF 上，并说明理由分析：厦门市中考题本人为当年中考评卷组该题题组长，从试卷中有幸见识了丰富多彩的解法，充分感受到学生活跃的发散性思维，限于篇幅仅介绍几种思路思路一：不作辅助线，由 得 ，BDAD，BACDFDF，DFAE，故点 E 能移动到线段 DF 上212ABEDF思路二：取 AB 中点 M，过 M 作 MNAC 交 BC 于 N思路三：取 AB、BC 中点 M、N，连结 MNECA BDF2思路四：过 F 作 FGAB 交 AC 于 G思路五：过 C 作 CGAB 交 DF 延长线于 G若对本题条件“BDAD”进行改编，会有更多精彩的
4、变化我们可以对命题进行条件开放、结论开放、或条件结论都开放等方式进行发散思维的训练，一题多解、一题多变都有利于培养学生的发散性思维能力例 3：已知，如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，ABC 的三个顶点坐标分别是A（1，2 ） 、B（-3，0） 、C（3，0） 在直线 AC 上，是否存在一点 P，使BPO 的周长 L取得最小值分析：由于 BO 为定值，故只要 y=PO+PB 最小，那么 L就最小了本题用原本求最值常用的代数方法有困难，启动求异思维改由几何法来求：法一：取 B 点关于直线 AC 的对称点 ，连 ，交BOAC 于点 P，根据两点之间线段最短可知，此时 y= 最小法二：设 P（
5、 ） ，则3,x222 )3()()3( xxy= ，显然这222 )9x是两个“勾股定理中已知两直角边求斜边”的结构形式，故构造图形：如图，ADDE 于 D，CEDE 于 E，点 B 在线段 DE 上，且 AD=3 ，EC= ，DB= ，BE=323x，那么 y=AB+BCAC，当 A、B、C 三点共线时等号成立，这时由29x可求得 x1=2，x 2=3，对应 y1=3 ，y 2=6+ ，由 y2 y1得 ymin=3 CBEAD77二、培养直觉思维直觉思维不受固定的逻辑思维约束，是对事物的敏锐洞察，直接的本质理解和综合的整体判断，是一种直接领悟的思维或认知直觉思维没有严格的步骤和规则，可以
6、突破思维的常规定势， “跳跃”过某些思维阶段，具有直接性与快速性，直觉思维是创造性思维的重要组成部分1910 年魏格纳在查阅地图时发现格陵兰岛附近一个小岛的位置 46 年间相PyxO CBAEDCBA3差了四分之一英里，他马上感觉到这不是误差造成的，而是大陆漂移形成的，这就是大陆漂移说理论的最初产生例 4：已知 a、b、c 是三个互不相等的实数，且关于 x 的两个方程ax2+bx+c=0、bx 2+cx+a=0 恰有一个公共根，那么抛物线 y=cx2-ax+b 必过定点_分析：这是 07 年全国初中数学竞赛改编题观察两个已知方程，凭直觉思维，x=1 就是其公共根，所以抛物线必过定点（-1，0）
7、 例 5：已知方程： ，求 的值21xx分析：该题可以通过解分式方程先求出 x 再求代数式的值，但若能根据这个方程的整体结构，立即得出 =0，这就是直觉判断的结果1x没有伟大的猜想就没有伟大的发现波利亚说：“我要向各年级所有对数学有兴趣的学生提出：的确，我们应该学习证明法，但我们也要学习猜测法 ”例 6：如图，在等边三角形 ABC 外接圆劣弧 BC 上任取一点 P，连接PA、PB、PC，请判断 PB+PC 与 PA 的大小，并说明理由分析：尽管 P 是动点，凭直觉思维辅以度量、极端值（P 与 B、C 重合时）等方法，大胆猜测相等关系三、培养横向思维横向思维是指突破问题的结构范围，从其他领域的事
8、物、事实中得到启示而产生新思路的思维活动而人们比较习惯的纵向思维是在本领域本系统本章节内思考问题的横向思维一改解决问题的一般思路，试图从别的方面、方向入手，所以它的思维面大大增加，有可能从其他领域或另一个侧面去解决问题，因此横向思维常常在创造活动中起着巨大的作用阿基米德检测王冠真假的方法就是横向思维的典型例证我国古代的曹冲称象，也有异曲同工之妙例 7：已知点 A、B 的坐标分别为（1，0） （2，0） ，若二次函数 y=x2+(a-3)x+3 的图象与线段 AB 只有一个交点求 a 的取值范围分析：07 年全国初中数学竞赛题本题按纵向思维的一般思路是求交点，令 y=0 得 x2+(a-3)x+
9、3=0，用求根公式求得 x1,x2，代入 1x12 或 1x22 中解这个不等式（组） ，该思路又难又繁用横向思维，跳出一元二次方程根的常规解法，令 y=f(x)= x2+(a-3)x+3，结合PAB C4形象思维，抛物线开口向上，只要使 ，从而解得 ，再单独考0)2(1f 21a查判别式 =0 及抛物线过 A、B 点的特殊情况即可解决本题例 8：解方程： 52x分析：按常规思路就是零点讨论法，分三种情况进行讨论，显然比较繁换一个角度认识问题，用绝对值的几何意义来思考：在数轴上， “ ”就是表示“点 x 到-512x2 与 1 两点间的距离和为 5”，我们在数轴上很容易找到 x1=-3，x 2
10、=2 这两个点，满足题意四、培养逆向思维正向思维一般是指传统的、逻辑的、习惯的的思维方向，而逆向思维是一种反向思维，把一些“原来一直如此”的问题颠倒过来思考，是为了认识问题的相反方向，揭示不同的现象，获得不同的效果，从中发现新的原理，新的方法，新的结构，新的思路法国科学家巴斯德发明了高温消毒法，英国科学家汤姆逊采用相反的思路，紧接着发明了低温消毒法法拉第从电产生磁的现象中得到启示，提出磁能不能产生电的疑问，经过十年的艰苦努力，终于发现了电磁感应原理初三教材中介绍的反证法就是典型的逆向思维例 9：将分数 按从小到大的顺序排列好9160,325,170,6分析：分子的最小公倍数为较小的数 60，故
11、本题“不通分母通分子”就可以很容易地比出大小例 10：求使得方程 ax2+2(2a-1)x+4a-7=0 至少有一个整数解的正整数 a 的值分析：不求主元求辅元a= ，由正整数 a1 得 -3x1，整数 x=-3,-1,0,1，2)(7x所以正整数 a=1 或 5例 11：如图，已知 PA、PB 为O 的两条切线，A、B 为切点，点 C、D 分别在 PA、PB 上，连接 OA、OB、OC、OD、CD，设PCD 的周长为 L，若 L=2PA，判断直线 CD 与O 的位置关系，并说明理由分析：厦门市中考题本题通过直觉思维猜想位置关系是相切怎样论证呢？用逆向思维中的“分析法”：过 O 作 OECD 于 E，只要证 OE=半径 OB 即可，由切线长定理及 L=2PA，得 CD=AC+BD，由截长补短法知，延长 DB 至 F，使 BF=AC，那么易得 OF=OC，然后只要证FEDCBO PA1即可，事实上由“边边边”公理即可完成论证这里探索解题的思维过OFDC程是“执果索因”从结论入手的逆向思维的过程
