1、5.2 平行关系的性 质学习目标 1.能应用文字语言、符号语言、图形语言准确描述直线与平面平行，两平面平行的性质定理 (重点 )； 2.能用两个性质定理，证明一些空间线面平行关系的简单问题 (重、难点 )【 预习评价 】(1)如图，直线 l 平面 ，直线 a 平面，直线 l与直线 a一定平行吗？为什么？提示 不一定，因为还可能是异面直线(2)如图，直线 a 平面 ，直线 a 平面 ，平面 平面 直线 b，满足以上条件的平面 有多少个？直线 a， b有什么位置关系？提示 无数个， a b.知识点二 平面与平面平行的性质定理文字 语 言 如果两个平行平面同 时 与第三个平面相交，那么它 们的交 线
2、 平行符号 语 言 ， a， b a b图 形 语 言【 预习评价 】观察长方体 ABCD A1B1C1D1的两个面：平面 ABCD及平面A1B1C1D1.(1)平面 A1B1C1D1中的所有直线都平行于平面 ABCD吗？提示 是的(2)若 m 平面 ABCD， n 平面 A1B1C1D1，则 m n吗？提示 不一定，也可能异面(3)过 BC的平面交平面 A1B1C1D1于 B1C1， B1C1与 BC是什么关系？提示 平行题型一 线面平行性质定理的应用【 例 1】 如 图 所示，四面体 A BCD被一平面所截，截面 EFGH是一个矩形(1)求 证 ： CD 平面 EFGH；(2)求异面直 线
3、 AB、 CD所成的角(1)证明 截面 EFGH是矩形， EF GH.又 GH 平面 BCD， EF 平面 BCD， EF 平面 BCD.而 EF 平面 ACD.平面 ACD平面 BCD CD， EF CD.又 EF 平面 EFGH， CD 平面 EFGH， CD 平面 EFGH.(2)解 由 (1)知 CD EF，同理 AB FG，由异面直线所成角的定义知， EFG或其补角即为所求又因为 EFG 90，故 AB、 CD所成的角为 90.规律方法 利用线面平行的性质定理解题的步骤：(1)确定 (或寻找 )一条直线平行于一个平面(2)确定 (或寻找 )过这条直线且与这个平行平面相交的平面(3)确
4、定交线(4)由性质定理得出结论【 训练 1】 如 图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中， E是 BB1上不同于 B、 B1的任一点，AB1A1E F， B1CC1E G.求证：AC FG.证明 AC A1C1， A1C1 平面 A1EC1，AC 平面 A1EC1， AC 平面 A1EC1.又 平面 A1EC1平面 AB1C FG， AC FG.题型二 面面平行性质定理的应用【 例 2】 已 知 AB、 CD是夹在两个平行平面 、 之间的线段， M、 N分别为 AB、 CD的中点，求证： MN 平面 .证明 若 AB、 CD在同一平面内，则平面 ABDC与 、 的交线为 BD、 AC. ，
5、 AC BD.又 M、 N为 AB、 CD的中点， MN BD.又 BD 平面 ， MN 平面 ， MN 平面 . 若 AB、 CD异面，如图，过 A作 AE CD交 于 E，取 AE的中点 P，连接 MP、 PN、 BE、 ED. AE CD. AE、 CD确定平面 AEDC.则平面 AEDC与 、 的交线分别为 ED、 AC， ， ED AC.又 P、 N分别为 AE、 CD的中点， PN ED，又 ED 平面 ， PN 平面 ， PN 平面 .同理可证 MP BE， MP 平面 ， AB、 CD异面， MP、 NP相交 平面 MPN 平面 .又 MN 平面 MPN， MN 平面 .规律方
6、法 (1)利用面面平行的性质定理证明线线平行的关键是把要证明的直线看作是平面的交线，往往需要有三个平面，即有两平面平行，再构造第三个面与两平行平面都相交(2)面面平行 线线平行，体现了转化思想与判定定理的交替使用，可实现线线、线面及面面平行的相互转化【 例 3】 如 图 ，在矩形 ABCD和矩形 ABEF中，AF AD， AM DN，矩形 ABEF可沿 AB任意翻折求 证 ：当 F、 A、 D不共 线时 ， 线 段 MN总 平行于平面 FAD.典例迁移 题型三 平行关系的综合应用证明 在平面图形中，连接 MN，设 MN与 AB交于点 G.由于 ABCD和 ABEF都是矩形，且 AD BE. 四
7、边形 ADBE是平行四边形又 AM DN， 四边形 AMND为平行四边形， MN AD.折叠之后， MG BE AF， NG AD，且 MGNG G，ADAF A，如图， 平面 ADF 平面 GNM.又 MN 平面 GNM， MN 平面 ADF. 当 F、 A、 D不共线时， MN总平行于平面 ADF.【 迁移 】 上 题 条件不 变 ， 问 “ 不管怎 样 翻折矩形 ABEF，线 段 MN总 和 线 段 FD平行 ” 这 个 结论对吗 ？如果 对请证 明；如果不 对 ， 请说 明能否改 变 个 别 已知条件使上述结论 成立解 这个结论不对要使上述结论成立， M、 N应为 AE和 DB的中点由
8、于平面 MNG 平面 FDA，可知要使 MN FD总成立，根据面面平行的性质定理，只要 FD与 MN共面即可若要使 FD与 MN共面，连接 FM，只要 FM与 DN相交即可由图形知，若要 DN和 FM共面，应有 DN与 FM相交于点 B，折叠后的图形如右图 FMDN B，可知它们确定一个平面，即 F、 D、 N、 M四点共面又平面 FDNM平面 MNG MN，平面 FDNM平面 FDA FD， MN FD.规律方法 (1)如果把一个数学问题看作是由条件、依据、方法和结论四个要素组成的一个系统，那么把这四个要素中有两个是未知的数学问题称之为探索性问题，条件不完备和结论不确定是探索性问题的基本特征
9、(2)探索性问题一般都可以采取代入一些简单的数值去尝试观察、分析、归纳、猜想，然后再予以证明或解答(3)在立体几何平行关系问题中，随着点的移动，图形的形状和大小都要发生变化，探讨其中的规律是经常见到的问题课堂达标1 如 图 ，已知平面 平面 a，平面平面 b，平面 平面 c，若 a b， 则 c与 a， b的位置关系是 ( )A c与 a， b都异面B c与 a， b都相交C c至少与 a， b中的一条相交D c与 a， b都平行解析 a b， a ， b ， a .又 a ， c， a c， a b c.答案 D2如 图 ，平面 平面 ， 过 平面 、 外一点 P引直 线 l1分 别 交平面 、平面 于 A、 B两点， PA 6， AB 2，引直 线l2分 别 交平面 、平面 于 C、 D两点，已知 BD 12， 则 AC的 长 等于 ( )A 10 B 9 C 8 D 7答案 B3如 图 ， 过 正方体 ABCD A1B1C1D1的三个 顶 点 A1、 C1、 B的平面与底面 ABCD的交 线为 l， 则 l与 A1C1的位置关系是_答案 平 行4如 图 ，在正方体 ABCD A1B1C1D1中， AB 2，点 E为 AD的中点，点 F在 CD上若 EF 平面 AB1C， 则线 段 EF的 长度等于 _
