1、基础模块第三章 一元函数导数与微分教学目的：1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。3、了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n阶导数。4、会求分段函数的导数。5、会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。6、理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。7、理解函数的极值
2、概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。8、会用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。9、掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。10、知道曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。11、知道方程近似解的二分法及切线性。教学重点： 1、导数和微分的概念与微分的关系； 2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则； 3、基本初等函数的导数公式；4、 高阶导数；5、 隐函数和由参数方程确定的函数的导数；6、罗尔定理、拉格朗日中值定理；7、函数的极值 ，判断函数的单调性和求函数极值的方法；8、函数
3、图形的凹凸性；9、洛必达法则。教学难点： 1、复合函数的求导法则； 2、分段函数的导数； 3、反函数的导数；4、隐函数和由参数方程确定的导数；5、罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用； 6、极值的判断方法； 7、图形的凹凸性及函数的图形描绘；8、洛必达法则的灵活运用。3.1 导数的引入3.1.1 导数定义问题引入：一. 直线运动的速度，切线问题1.直线运动的速度先建立坐标系：设某点沿直线运动，在直线上引入原点和单位点（即表示实数1的点），使直线成为数轴.此外，再取定一个时刻作为测量时间的零点，设动点于时刻在直线上的位置的坐标为（简称位置），运动完全由位置函数所确定.位置函数： （1）从时刻到时刻的
4、一个时间间隔，有平均速度为： （2）时间间隔较短，比值在实践中可用来说明动点在时刻的速度，但动点在时刻的速度的精确概念还得让，即： （3）极限值叫做动点在时刻的（瞬时）速度，给出了求瞬时速度的方法.2.曲线的切线建立直角坐标系，函数的图形为曲线，分析切线的定义，就得曲线上任一点处的切线的斜率为： （4）如图3-1,割线斜率的极限就是切线的斜率.图3-1二. 导数的定义 1.函数在一点处的导数与导函数非匀速直线运动的速度和切线的斜率都可以归为一般数学形式： （5） 此处的和的分别是函数的自变量的增量和函数的增量,式（5）写成： （6） 由它们在数量关系上的共性，就得出函数的导数的概念. 2.导数
5、的定义 定义3.1 设函数在点的某个邻域内有定义，当自变量在处取得增量（点仍在该邻域内）时，相应地函数取得增量；如果与之比当时的极限存在，则称函数在点处可导，并称这个极限为函数在点处的导数 ，记为，或者记为即 （7）函数在点处可导有时也说成在点具有导数或导数存在.导数的定义也可取不同的形式，常见的有： （8） （9）在实际中，需要讨论有不同意义的变量的变化“快慢”问题，在数学上就是所谓函数的变化率问题.导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述. 3. 函数在一点处不可导的定义 定义3.2 如果式（7）的极限不存在，就说函数在点处不可导. 如果，当时，比值 时，就说函数在点处的导数为无穷大（此时
6、函数不可导）,如函数在点处不可导. 4.导函数的定义 定义3.3 如果函数在区间内的每点处都可导，就称函数在区间内可导.对任意都对应着的一个确定的导数值，这样就构成了一个新的函数，这个函数叫做函数的导函数，记作： （10） 由式（7）、式（8）得 （11）导函数简称导数，而是在处的导数或导数在点处的值.三. 函数求导的一般步骤 1. 函数求导的步骤第一步 根据定义3.3写出式（11）的形式.第二步 把具体函数带入进行计算. 2.一些简单函数的求导.例1 求的导数. 解 . 例2 求的导数.解 . 例3 求函数f(x)=sin x 的导数. 解 f (x) . 即 (sin x)=cos x .
7、 用类似的方法, 可求得 (cos x )=-sin x .3.1.2导数的几何意义由切线问题的讨论知，函数在点处的导数在几何上表示曲线在点处的切线的斜率，即 曲线在点处的切线方程为 曲线在点处的法线方程为 例4 求等边双曲线在点处的切线的斜率，并写出在该点处的切线方程和法线方程. 解 根据导数的几何意义，得切线的斜率为 切线方程为 法线的斜率为 法线方程为 例5 求曲线的通过点的切线方程. 解 设切点的横坐标为则切线的斜率为 . 于是所求切线的方程可设为 . 根据题目要求, 点(0, -4)在切线上, 因此 , 解之得x0=4. 于是所求切线的方程为 , 即3x-y-4=0. 注：(1).
8、如果，则曲线在点处有垂直于轴的切线；(2). 如果，则曲线在点处有平行于轴的切线.3.1.3 导数存在性判定一. 单侧导数根据函数在点处的导数的定义，导数是一个极限， . 而极限存在的充分必要条件是左、右极限都存在且相等.由函数在点处的左、右极限得左、右导数的定义左导数的定义.右导数的定义 .例6 求函数在处的导数解 ,.所以不存在,即在点不可导.函数在点处可导的充分必要条件是左导数和右导数存在且相等.函数在开区间的内可导，及的都存在，就说在闭区间上可导.二. 函数的可导性与连续性的关系设函数在点处可导, 即存在. 则. 这就是说, 函数在点 处是连续的. 所以, 如果函数在点处可导, 则函数
9、在该点连续. 但是一个函数在某点连续却不一定在该点处可导.例7 函数在区间(-, +)内连续, 但在点x=0处不可导. 这是因为函数在点x=0处导数为无穷大， . 3.1.4 基本初等函数导数公式基本初等函数的导数公式在初等函数的求导运算中起着重要的作用，前面我们通过定义已经得到了一些公式，在这里我们再计算两个，还有的需要后面的知识推导，为了熟练地掌握它们，现将这些公式给出.例8求函数f(x)= a x(a0, a 1) 的导数. 解 f (x) . 特别地有(e x )=e x . 例9 求函数f(x)=log a x (a0, a 1) 的导数. 解 . 即 . : 特殊地 . , 基本初
10、等函数的导数公式(1)； (2)；(3),(4)；(5)；(6)；(7)；(8)；(9)；(10)；(11)；(12)；(13)；(14)；(15)；(16).3.2 导数的计算由于初等函数是由基本初等函数通过有限次四则运算和复合得到的，所以要想解决初等函数的求导问题就必须建立求导运算的基本法则和方法.3.2.1 求导法则一.求导四则运算法则 定理3.1 如果函数及在点处具有导数, 那么它们的和、差、积、商(除分母为零的点外)都在点处具有导数, 并且 , (1) , (2) . (3) 证 仅证明公式（2） =. 法则(2)可简单地表示为 . 注:法则(1)、(2)可推广到有限可导函数的情形.
11、 例1 , 求及. 解 , . 例2 , 求.解 .即 .例3 , 求.解 =sec x tan x . 即 . 用类似方法, 还可求得余切函数及余割函数的导数公式: , .二. 反函数求导法则 定理3.2 如果函数在某区间内单调、可导且,那么它的反函数在对应区间内也可导, 并且 . 或. 简要证明: 由于在内单调、可导(从而连续), 所以)的反函数存在, 且在内也单调、连续. 任取,给x以增量,由的单调性可知,于是 . 因为连续, 故 从而 .上述结论可简单地说成: 反函数的导数等于直接函数导数的倒数. 例4 设为直接函数, 则是它的反函数. 函数在开区间内单调、可导, 且 .因此, 由反函
12、数的求导法则, 在对应区间内有 . 类似地有: . 例5 设为直接函数, 则是它的反函数. 函数在区间内单调、可导, 且 因此, 由反函数的求导法则, 在对应区间内有 . 类似地有: . 例6 设为直接函数, 则是它的反函数. 函数在区间内单调、可导, 且 . 因此, 由反函数的求导法则, 在对应区间内有 . 到目前为止, 基本初等函数的导数我们基本都求出来了, 那么由基本初等函数构成的较复杂的初等函数的导数如可求呢？如函数、的导数怎样求？三. 复合函数求导法则数 定理3.3 如果u=g(x)在点x可导, 函数y=f(u)在点u=g(x)可导, 则复合函数y=fg(x)在点x可导, 且其导数为
13、 或. 证 当u=g(x)在x的某邻域内为常数时, y=fj(x)也是常数, 此时导数为零, 结论自然成立. 当u=g(x)在x的某邻域内不等于常数时, Du0, 此时有 , = f (u)g (x ).简要证明: . 例7 已知, 求.解 函数可看作是由y=e u, u=x3复合而成的, 因此.例8 已知, 求.解 函数是由y=sin u , 复合而成的, 因此 . 对复合函数的导数比较熟练后, 就不必再写出中间变量,例9 已知, 求. 解 . 例10 已知, 求. 解 . 复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形. 例如, 设y=f(u), u=j(v), v=y(x), 则. 例1
14、1 已知, 求. 解 . 例12 已知, 求. 解 . 例13 设, 证明幂函数的导数公式. 解 因为, 所以. 例14 求双曲正弦函数的导数.解 因为, 所以, 即 . 类似地, 有.3.2.2 含参变量函数与隐函数求导一. 含参变量函数求导设与的函数关系是由参数方程确定的. 则称此函数关系所表达的函数为由参数方程所确定的函数. 在实际问题中, 需要计算由参数方程所确定的函数的导数. 但从参数方程中消去参数有时会有困难. 因此, 我们希望有一种方法能直接由参数方程算出它所确定的函数的导数. 设具有单调连续反函数, 且此反函数能与函数构成复合函数, 若和都可导, 则 , 即 或. 若和都可导,
15、 则.例15 求椭圆在相应于点处的切线方程. 解 . 所求切线的斜率为. 切点的坐标为, . 切线方程为, 即 . 例16 抛体运动轨迹的参数方程为,求抛体在时刻的运动速度的大小和方向.解 先求速度的大小. 速度的水平分量与铅直分量分别为 , 所以抛射体在时刻的运动速度的大小为 . 再求速度的方向, 设是切线的倾角, 则轨道的切线方向为 . 二. 隐函数求导基本方法 1. 显函数与隐函数 形如的函数称为显函数. 例如. 由方程所确定的函数称为隐函数，例如, 方程确定的隐函数为,. 如果在方程中, 当取某区间内的任一值时, 相应地总有满足这方程的唯一的值存在, 那么就说方程在该区间内确定了一个隐
16、函数. 把一个隐函数化成显函数, 叫做隐函数的显化. 隐函数的显化有时是有困难的, 甚至是不可能的. 2. 隐函数求导在实际问题中, 有时需要计算隐函数的导数, 因此, 我们希望有一种方法, 不管隐函数能否显化, 都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来. 例17 求由方程e y+xy-e=0所确定的隐函数y的导数. 解 把方程两边的每一项对x求导可得(e y)+(xy)-(e)=(0), 即 e y y+y+xy=0, 从而 (x+e y0). 例18 求由方程y5+2y-x-3x7=0所确定的隐函数y=f(x)在x=0处的导数y|x=0. 解 把方程两边分别对x求导可得 5yy+2y-1
17、-21x 6=0,由此得 . 因为当x=0时, 从原方程得y=0, 所以. 例19 求椭圆在处的切线方程. 解 把椭圆方程的两边分别对x求导, 得 . 从而 . 当x=2时, , 代入上式得所求切线的斜率 . 所求的切线方程为 , 即. 三. 对数求导法为了解决幂指函数或复杂的积、商函数求导问题，我们引人对数求导方法.所谓对数求导法是先在的两边取对数, 然后再求出的导数. 设, 两边取对数, 得, 方程两边对求导, 得, . 例20 求的导数. 解1 两边取对数, 得, 上式两边对 求导, 得, 于是. 解2 这种幂指函数的导数也可按下面的方法求: y=x sin x=e sin xln x
18、, . 例21 求函数的导数. 解 先在两边取对数, 得 ln yln(x-1)+ln(x-2)-ln(x-3)-ln(x-4), 上式两边对x求导, 得,于是.3.2.3 高阶导数的计算一.高阶导数基本概念在物理学上变速直线运动的速度是位置函数对时间的导数，即：，而加速度又是速度对时间的变化率，即速度对时间的导数：，或,这种导数的导数叫做对的二阶导数.下面我们给出它的数学定义：函数的导数仍然是的函数.我们把的导数叫做函数的二阶导数，记作或，即：或.类似地，二阶导数的导数，叫做三阶导数，三阶导数的导数，叫做四阶导数，一般地(n-1)阶导数的导数叫做n阶导数.分别记作：，或，,这样我们给出了高阶
19、导数的定义.二. 高阶导数的计算 1. 高阶导数的运算法则函数阶导数的计算一般思路就是按照定义，连续利用一阶导数的求导公式及求导法则次即可.除此之外我们再介绍两个计算函数阶导数的计算公式.（1） .（2） 设，则； . 依此类推，我们可由数学归纳法证可得莱布尼茨公式（结果与二项式展开式极为相似）：， （其中，）. 2. 利用法则求函数高阶导数例22 求对数函数的阶导数.解 ；一般地，可得.例23 求幂函数的阶导数.解 ；.例24 求函数（为常数）的阶导数.解 ；.例25 求三角函数与的阶导数.解 ；一般地，类似可得，.上面是常用函数高阶导数计算的例子，下面是运用莱布尼茨公式公式进行高阶导数计算
20、的例子.例26 求函数的5阶导数.解 ； 由莱布尼茨公式得： .上面介绍了基本初等函数的高阶导数，下面介绍一个分段函数的高阶导数的求法.例27 研究函数的高阶导数.解 .二.含参变量函数和隐函数的二阶导数计算 1. 参变量函数的二阶导数我们知道平面曲线C一般的表达形式是参变量方程： （1）这样，对于一般直角坐标下的函数方程求导公式就不再适合.必须给出参数方程相应的求导公式.设对应曲线上的点，如果在点有切线，那么切线的斜率可由割线的斜率取极限而得，为此设在点可导，且.若对应上的点(图3-3)，割线PQ的斜率；图3-3于是曲线C在点P的切线斜率是:；其中为切线与轴正向夹角若，但，同样可得.若在上都
21、存在连续的导函数，且这时称C为光滑曲线.其特点是在曲线C上不仅每一点都有切线，且切线与轴正向的夹角是的连续函数.若具有反函数那么它与构成一个复合函数 这时只要函数可导，（因而当时，也有和），就可由复合函数和反函数的求导法则得到 （2） （3）例28 试求由摆线参量方程所确定的函数的二阶导数.解 由（2）式可得含参量方程求导法则的：；再对参量方程应用（3）式含参量方程求导法,则有：. 2. 隐函数二阶导数对于隐函数的二阶导数，就是对一阶导数再求导，但由于是隐函数，因此计算有一定难度，下面简介它的求法的.例29 已知，求.解 此方程不易显化，故用隐函数求导法.两边同时对x进行求导可得， ,故.3.
22、2.4 相关变化率设及都是可导函数, 而变量与间存在某种关系, 从而变化率与间也存在一定关系. 这两个相互依赖的变化率称为相关变化率. 相关变化率问题就是研究这两个变化率之间的关系, 以便从其中一个变化率求出另一个变化率. 例30一气球从离开观察员500米处离地面铅直上升, 其速度为140米/分. 当气球高度为500米时, 观察员视线的仰角增加率是多少？解 设气球上升(秒)后, 其高度为, 观察员视线的仰角为, 则. 其中及都是时间的函数. 上式两边对求导, 得. 已知(米/秒). 又当=500(米)时,. 代入上式得,所以 (弧度/秒). 即观察员视线的仰角增加率是每秒0. 14弧度. 3.
23、3 一元微分及其应用3.4.1 一元微分定义一. 微分的定义引例 函数增量的计算及增量的构成. 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 其边长由变到, 问此薄片的面积改变了多少？ 设此正方形的边长为, 面积为, 则是的函数: . 金属薄片的面积改变量为 . 几何意义:表示两个长为宽为 的长方形面积; 表示边长为的正方形的面积. 数学意义: 当时, 是比高阶的无穷小, 即; 是的线性函数, 是的主要部分, 可以近似地代替. 定义3.4 设函数在某区间内有定义, 及在这区间内, 如果函数的增量 可表示为 , 其中是不依赖于的常数, 那么称函数在点是可微的, 而叫做函数在点相应于自变量增量的微分, 记
24、作, 即 . 二. 可微与可导的关系函数可微的条件: 函数在点可微的充分必要条件是函数在点可导, 且当函数在点可微时, 其微分一定是 . 证 设函数在点可微, 则按定义有, 上式两边除以, 得 . 于是, 当时, 由上式就得到. 一方面. 另一方面. 当时, 有，. 因此, 如果函数在点可微, 则在点也一定可导, 且. 反之, 如果在点可导, 即存在, 根据极限与无穷小的关系, 上式可写成, 其中a0, 且是常数, . 由此又有 . 因而不依赖于, 故上式相当于 , 所以在点也是可导的. 在的条件下, 以微分近似代替增量时, 其误差为. 因此, 在很小时, 有近似等式.函数在任意点的微分, 称
25、为函数的微分, 记作或, 即 , 例如 . 特别地：当时, , 所以通常把自变量的增量称为自变量的微分, 记作, 即. 于是函数的微分又可记作 . 从而有 . 这就是说, 函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数. 因此, 导数也叫做“微商”.例1 求函数在和处的微分. 解 函数在处的微分为 ，函数在处的微分为 . 例2 求函数当, 时的微分. 解 先求函数在任意点x 的微分 . 再求函数当, 时的微分 . 三. 微分的几何意义函数的图形是一条曲线，图3-2当是曲线上的点的纵坐标的增量时, 就是曲线的切线上点纵坐标的相应增量. 当很小时, 比小得多. 因此在点的邻近, 我们可以用切线段来近
26、似代替曲线段. 3.3.2 一元微分计算方法从函数的微分的表达式 .可以看出, 要计算函数的微分, 只要计算函数的导数, 再乘以自变量的微分. 因此, 可得如下的微分公式和微分运算法则. 一.基本初等函数的微分公式 导数公式: 微分公式: 二. 函数和、差、积、商的微分法则 求导法则: 微分法则: 仅证明乘积的微分法则，其他自证。根据函数微分的表达式, 有.再根据乘积的求导法则, 有. 于是. 由于, 所以. 三. 复合函数的微分法则 设及都可导, 则复合函数的微分为.于是由,所以, 复合函数的微分公式也可以写成或.由此可见, 无论是自变量还是另一个变量的可微函数, 微分形式保持不变. 这一性
27、质称为微分形式不变性. 这性质表示, 当变换自变量时, 微分形式并不改变. 例3 , 求. 解 把看成中间变量, 则 .在求复合函数的导数时, 可以不写出中间变量. 例4 , 求 . 解 . 例5 , 求. 解 应用积的微分法则, 得 . 例6 在括号中填入适当的函数, 使等式成立. (1) , (2) . 解 (1)因为, 所以 , 即. 一般地, 有(为任意常数). (2)因为, 所以 . 因此 (为任意常数). 3.3.3 利用微分进行近似计算一. 函数的近似计算 在工程问题中, 经常会遇到一些复杂的计算公式. 如果直接用这些公式进行计算, 那是很费力的. 利用微分往往可以把一些复杂的计
28、算公式改用简单的近似公式来代替. 如果函数在点处的导数, 且很小时, 我们有, .若令 , 即, 那么又有.特别当时, 有 . 这些都是近似计算公式. 例7 有一批半径为1厘米的球, 为了提高球面的光洁度, 要镀上一层铜, 厚度定为0. 01厘米. 估计一了每只球需用铜多少克(铜的密度是8.9克/立方厘米)?解 已知球体体积为, =1厘米, D=0.01厘米. 镀层的体积为（立方厘米）,于是镀每只球需用的铜约为0.13 8.9=1.16（克). 例8 利用微分计算的近似值. 解 已知3030, , . . 即 . 常用的近似公式（假定是较小的数值）: (1); (2) (用弧度作单位来表达);
29、 (3) (用弧度作单位来表达); (4) ; (5) . 例9 计算的近似值. 解 已知 , 故 . 直接开方的结果是. 二. 误差估计在生产实践中, 经常要测量各种数据. 但是有的数据不易直接测量, 这时我们就通过测量其它有关数据后, 根据某种公式算出所要的数据. 由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法等各种因素的影响, 测得的数据往往带有误差, 而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误差, 我们把它叫做间接测量误差. 下面就讨论怎样用微分来估计间接测量误差. 绝对误差与相对误差: 如果某个量的精确值为, 它的近似值为, 那么叫做的绝对误差, 而绝对误差|与的比值叫做的相对误差. 在
30、实际工作中, 某个量的精确值往往是无法知道的, 于是绝对误差和相对误差也就无法求得. 但是根据测量仪器的精度等因素, 有时能够确定误差在某一个范围内. 如果某个量的精确值是, 测得它的近似值是, 又知道它的误差不超过, 则叫做测量的绝对误差限, 叫做测量A的相对误差限.例10 设测得圆钢截面的直径=60.03毫米, 测量的绝对误差限=0.05. 利用公式计算圆钢的截面积, 估计面积的误差. 解 , |. 已知=60.03, =0. 05, 所以 (平方毫米); . 若已知由函数确定: , 测量的绝对误差是, 那么测量的由, 有 , 所以测量y的绝对误差dy=|y|d x , 测量的相对误差为.28
