1、炎德英才大联考长郡中学 2018 届高考模拟卷（二）数学（理科）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：直接利用集合并集的定义求解即可.详解：因为集合 ， ，所以，由结合并集的定义可得 .点睛：集合的基本运算的关注点：（1）看元素组成集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提；（2）有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决；（3）注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数
2、轴、坐标系和 Venn 图2. 若 ，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D【解析】分析：变形 ，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出的坐标即可得结论.详解：由 ，得 ，复数的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为 ，位于第四象限，故选 D.点睛：本题主要考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，意在考查学生对基础知识掌握的熟练程度，属于简单题.3. 设曲线 是双曲线，则“ 的方程为 ”是“ 的渐近线方程为 ”的（ ）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不
3、必要条件【答案】A【解析】分析：由方程为 的渐近线为 ，且渐近线方程为 的双曲线方程为 ，即可得结果.详解：若 的方程为 ，则 ，渐近线方程为 ，即为 ，充分性成立，若渐近线方程为 ，则双曲线方程为 ，“ 的方程为 ”是“ 的渐近线方程为 ”的充分而不必要条件，故选 A.点睛：本题通过圆锥曲线的方程主要考查充分条件与必要条件，属于中档题.判断充要条件应注意：首先弄清条件 和结论 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试 .对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包
4、含关系来处理.4. 若 ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：由 ，结合指数函数的单调性可得 ，利用“特值法”可判断 ，错误，利用指数函数性质可得 正确.详解：因为 ，所以由指数函数的单调性可得 ，因为 的符号不确定，所以 时可排除选项 ；时，可排除选项 ，由指数函数的性质可判断 正确，故选 D.点睛：用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性.
5、5. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】从三视图中提供的图形信息与数据信息可知：该几何体的底面是圆心角为 的扇形，高是 4 的圆锥体。容易算得底面面积 ，所以其体积 ，应选答案 D。6. 我们可以用随机模拟的方法估计 的值，如图示程序框图表示其基本步骤（函数 RAND 是产生随机数的函数，它能随机产生 内的任何一个实数） 若输出的结果为 ，则由此可估计 的近似值为（ ）A. 3.126 B. 3.144 C. 3.213 D. 3.151【答案】B【解析】分析：该程序的功能是利用随机模拟试验的方法求任取 上的 ，求 发
6、生的概率，代入几何概型概率公式，即可得结果.详解：任意 落在边长为 正方形内，满足 的点在四分之一圆，所以 发生的概率为 ，当输出结果 时， ，发生的概率为 ，即 ，故选 B.点睛：本题主要考查程序框图的应用问题和随机模拟法求圆周率的问题，以及几何概型概率公式，意在考查灵活运用所学知识解决问题的能力，所以中档题.7. 已知函数 （ ， ） ，其图象相邻两条对称轴之间的距离为 ，将函数 的图象向左平移 个单位后，得到的图象关于 轴对称，那么函数 的图象（ ）A. 关于点 对称 B. 关于点 对称C. 关于直线 对称 D. 关于直线 对称【答案】B【解析】分析：利用函数 的图象与性质求出 和 ，写
7、出函数 的解析式，再求的对称轴和对称中心，从而可得结果.详解：因为函数 的图象相邻两条对称轴之间的距离为 ，所以函数的周期为 ， ， ，将函数 的图象向左平移 个单位后，得到函数 图象，图象关于 轴对称，即 ，又 ， ，令 ，解得 ，得 的图象关于点 对称，故选 B.点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题.由 函数 可求得函数的周期为 ；由 可得对称轴方程；由 可得对称中心横坐标.8. 中国诗词大会亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词，在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味因为前四场播出后反响很好，所以节目组决定将进酒 、 山居秋暝 、 望岳 、 送杜少府之任蜀州
8、和另外确定的两首诗词排在后六场，并要求将进酒与望岳相邻，且将进酒排在望岳的前面， 山居秋暝与送杜少府之任蜀州不相邻，且均不排在最后，则后六场开场诗词的排法有（ ）A. 144 种 B. 48 种 C. 36 种 D. 72 种【答案】C【解析】分析：采取“捆绑法” 、 “插空法” ，利用分步计数乘法原理可得结果.详解：将将进酒与望岳捆绑在一起和另外确定的两首诗词进行全排列共有 种排法，再将山居秋暝与送杜少府之任蜀州插排在 个空里（最后一个空不排） ，有种排法，则后六场的排法有 种，故选 C.点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：（1）相邻问题采取“捆绑法” ；（2）不相
9、邻问题采取“插空法” ；（3）有限制元素采取“优先法” ；（4）特殊顺序问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.9. 已知椭圆 ： 的右焦点为 ，短轴的一个端点为 ，直线： 交椭圆 于 ， 两点，若 ，点 与直线的距离不小于 ，则椭圆 的离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：设 为椭圆的左焦点，连接 ，由椭圆的对称性，结合椭圆的定义可得，利用点 与直线的距离不小于 列不等式求解即可.详解：可设 为椭圆的左焦点，连接 ，根据椭圆的对称性可得四边形 是平行四边形，取 ，点 到直线的距离不小于 ，所以， ，解得 ，椭圆 的离心率的取值范围是 ，故选
10、B.点睛：本题主要考查利用椭圆的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴、椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的范围.10. 已知变量 ， 满足条件 则目标函数 的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析： 画出可行域，将目标函数转化为向量 与 的夹角的余弦值，结合可行域可得结果.详解：作出 表示的可行域，如图变形目标函数，其中为向量 与 的夹角，由
11、图可知， 时有最小值 ，在直线 上时，有最大值 ，即 ， ，目标函数 的最大值为 ，故选 C.点睛：本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二找、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移或旋转变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解） ；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.11. 已知球 是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心） 的外接球， ， ，点 在线段 上，且 ，过点 作球 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（ ）A. B. C.
12、 D. 【答案】A【解析】分析：过 作球 的截面中，面积最大的是过球心 的截面，最小的是垂直于 的截面，求出球的半径，以及垂直于 的截面半径，从而可得结果.详解：显然过 作球 的截面中，面积最大的是过球心 的截面，最小的是垂直于 的截面，设三棱锥的外接球半径为 ，解得，截面面积最大为 ，如图， ，垂直于 的截面半径满足 ，即截面最小面积为 ，截面圆面积的取值范围是 ，故选 A.点睛：本题主要考球的性质及圆内接三角形的性质、棱锥的体积公式及球的体积公式，属于难题.球内接多面体问题是将多面体和旋转体相结合的题型，既能考查旋转体的对称形又能考查多面体的各种位置关系，做题过程中主要注意以下两点：多面体
13、每个面都分别在一个圆面上，圆心是多边形外接圆圆心；注意运用性质 .12. 已知函数 的导函数为 ，且对任意的实数 都有 （是自然对数的底数） ，且 ，若关于 的不等式 的解集中恰有两个整数，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：由 ，可得 ， ，利用导数研究函数的单调性，画出函数图像，利用数形结合列不等式可得结果.详解：由题意可知， ，即 ，由 可以知道 ，在 上递减，在 上递增，有极小值 ， ，且 时， ，结合 图象，要使关于 的不等式 的解集中恰有两个整数，则 ，即 ，实数 的取值范围是 ，故选 A.点睛：本题主要考查不等式的整数解、数形结合思想的应用，
14、属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是运用这种方法的关键是正确作出函数图象以及熟练掌握函数图象的几种变换，充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解.二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 的展开式中的常数项是 _【答案】【解析】分析：利用 展开式中的常数项为 ， 项的系数为 ，从而可得结果.详解： 的展开式通项为 ，展开式中的常数项为 ，项的系数为 ，的展开式中的
15、常数项是 ，故答案为 .点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式 ；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数） （2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.14. 已知数列 的首项为 3，等比数列 满足 ，且 ，则 的值为_【答案】3【解析】分析：由已知 ，得到，结合 ，以及等比数列的性质求得结论.详解：因为 ，且 ，所以 ，相乘可得 ，故答案为 .点睛：由数列的递推公式求通项常用的方法有：（1）等差数列、等比数列（先根据
16、条件判定出数列是等差、等比数列） ；（2）累加法，相邻两项的差成等求和的数列可利用累加求通项公式；（3）累乘法，相邻两项的商是能求出积的特殊数列时用累乘法求通项.15. 如图，在平面四边形 中， ， ， ， ，则四边形 的面积为_【答案】【解析】分析：采用分割法对三角形进行分割，利用余弦定理求得 可判断三角形与 的形状，由三角形的面积公式可得结果.详解：连接 ，在 中， ，利用余弦定理得： ，解得 ，则 是直角三角形，过点 作 ，则 ，则 ，故答案为 .点睛：本题主要考查余弦定理及特殊角的三角函数，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1） ；（2） ，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件
17、.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住 等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.16. 如图所示，将一圆的八个等分点分成相间的两组，连接每组的四个点得到两个正方形，去掉两个正方形内部的八条线段后可以形成一个正八角星设正八角星的中心为 ，并且， ，若将点 到正八角星 16 个顶点的向量都写成 ， 、 的形式，则的取值范围为_【答案】【解析】分析：根据平面向量加法的平行四边形法则，分别求出各顶点处 的值，即可求出 的最大值和最小值.详解：以 为原点，以 为 轴建立平面直角坐标系，如图所示，设圆 的半径为 ，则 ，过 作 ，交 轴于 ，则 为等腰三角形，此时 ，同理 ，此时 ，此
18、时 ，此时 ，在顶点 处， ，的最大值为 ，最小值为 ，故答案为 .点睛：向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差） ；（）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和） ；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单） 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知函数 （1）求函数 的最小正周期；（2）求函数 在区间 上的最值及相应的 值【答案】 （1） ；（2）当 时， ；当
19、时，【解析】分析：1）化简 ，所以 的最小正周期是 ；（2）结合 求出 ，进而利用正弦函数的单调性可求出函数 在区间 上的最值及相应的 值.详解：（1） ，所以 的最小正周期是 （2）因为 ，所以 ，所以 ，当 时， ；当 时， 点睛：，对三角函数恒等变形及三角函数性质进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.18. 如图，已知在四棱锥 中， 为 中点，平面 平面 ， ， ， （1）求证：平面 平面 ；（2）求二面角 的余弦值【答案】 （1）见
20、解析；（2）【解析】分析：（1）由勾股定理可得 ，可得 平面 ，于是 ，由正三角形的性质可得 ，可得 底面 ，从而可得结果；（2）以 为 ，过作 的垂线为 建立坐标系，利用向量垂直数量积为零列方程组，求出平面 的一个法向量与平面 的一个法向量，利用空间向量夹角余弦公式可求出二面角 的余弦值.详解：（1）证明： ， ， ， ， ， ， ， ， ， 平面 ， ， ， 为 中点， ， 底面 ，平面 平面 （2）如图建立空间直角坐标系 ，则 ， ， ， ， ， ， ，设平面 的一个法向量为 ，平面 的法向量为 ，则由 可得 取 ，得 ， ，即 ，由 可得 取 ，得 ， ，即 ， 故二面角 的余弦值为
21、点睛：空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19. 1995 年联合国教科文组织宣布每年的 4 月 23 日为世界读书日，主旨宣言为“希望散居在全球各地的人们，都能享受阅读带来的乐趣，都能尊重和感谢为人类文明作出巨大贡献的文学、文化、科学思想的大师们，都能保护知识产权 ”为了解大学生课外阅读情况，现从某高校随机抽取 100 名学生，将他们一年课外阅读量（单位：
22、本）的数据，分成 7 组 ， ，并整理得到如图频率分布直方图：（1）估计其阅读量小于 60 本的人数；（2）一只阅读量在 ， ， 内的学生人数比为 2:3:5为了解学生阅读课外书的情况，现从阅读量在 内的学生中随机选取 3 人进行调查座谈，用 表示所选学生阅读量在 内的人数，求 的分布列和数学期望；（3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计 100 名学生该年课外阅读量的平均数在第几组（只需写出结论） 【答案】 （1）20；（2） （3）第五组【解析】分析：（1）利用 即可得出；（2）由已知条件可知：内的人数为： ，同理可得 内的人数为 2人， 内的人数为 3 人， 内的人数
23、为 5 人 的所有可能取值为 0，1,2，利用超几何分布及其数学期望计算公式可得结果；（3）估计 100 名学生该年课外阅读量的平均数在第五组.详解：（1） （人） （2）由已知条件可知：内的人数为： ，内的人数为 2 人， 内的人数为 3 人， 内的人数为 5 人的所有可能取值为 0，1,2， ， ， 所以 的分布列为0 1 2（3）估计 100 名学生该年课外阅读量的平均数在第五组.点睛：求解一般的随机变量的期望和方差的基本方法是：先根据随机变量的意义，确定随机变量可以取哪些值，然后根据随机变量取这些值的意义求出取这些值的概率，列出分布列，根据数学期望和方差的公式计算注意在求离散型随机变量
24、的分布列时不要忽视概率分布列性质的应用，对实际的含义要正确理解.20. 椭圆 的左右焦点分别为 ， ，与 轴正半轴交于点 ，若 为等腰直角三角形，且直线 被圆 所截得的弦长为 2（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆交于点 、 ，线段 的中点为 ，射线 与椭圆交于点 ，点 为 的重心，探求 的面积 是否为定值，若是求出这个值，若不是，求 的取值范围【答案】 （1） ；（2）【解析】分析：（1）由 为等腰直角三角形可得 ，由直线 ： 被圆所截得的弦长为 2，可得 ， ，从而可得椭圆的方程；（2）设直线的方程为 ，设 ， ，联立 ，利用韦达定理、结合重心坐标公式求出 点坐标，代入椭圆方程可得 ，利用
25、弦长公式、点到直线距离公式以及三角形面积公式可得 的面积为 ，化简可得结果.详解：（1）由 为等腰直角三角形可得 ，直线 ： 被圆 所截得的弦长为 2，所以 ， ，所以椭圆的方程为 （2）若直线的斜率不存在，则 若直线的斜率存在，设直线的方程为 ，设 ， ，即 则 , , ,由题意点 为 重心，设 ，则 ， ，所以 ， ，代入椭圆 ，得，整理得 ，设坐标原点 到直线的距离为 ，则 的面积综上可得 的面积 为定值 点睛：探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种： 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关； 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.21. 设
26、函数 （1）探究函数 的单调性；（2）若 时，恒有 ，试求的取值范围；（3）令 （ ） ，试证明： 【答案】 （1）增函数；（2） ；（3）见解析【解析】分析：（1）由 ，知 是实数集 上的增函数；（2）令，分三种情况讨论的范围，分别根据函数的单调性求出函数最大值，利用最大值不大于零，即可筛选出符合题意的的取值范围；（3）在（2）中，取 ，则 时， ，即 ，取 ，则 详解：（1）函数 的定义域为 由 ，知 是实数集 上的增函数（2）令 ，则 ，令 ，则 （i）当 时， ，从而 是 上的减函数，注意到 ，则 时， ，所以 ，进而 是 上的减函数，注意到 ，则 时， 时，即 （ii）当 时，在 上
27、，总有 ，从而知，当 时， ；（iii）当 时， ，同理可知 ，综上，所求的取值范围是 （3）在（2）中，取 ，则 时， ，即 ，取 ，则 点睛：本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有
28、机结合，设计综合题.22. 在直角坐标系 中，直线的方程是 ，曲线 的参数方程为 （ 为参数） ，以 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（1）求直线和曲线 的极坐标方程；（2）射线 ： （其中 ）与曲线 交于 ， 两点，与直线交于点 ，求 的取值范围【答案】 （1） ， ；（2）【解析】分析：（1）利用 可得直线的极坐标方程，由 消参数得从而可得曲线 的极坐标方程是 ；（2）将 分别代入 ， ，得， ， ，由 得 ，利用正弦函数的单调性可得结果.详解：（1） 直线的极坐标方程是 ，由 消参数得 ，曲线 的极坐标方程是 （2）将 分别代入 ， ，得 ， ， ， ， ， ， 的取值范围是 点
29、睛：参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如 等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式，等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题23. 设函数 （1）设 的解集为 ，求集合 ；（2）已知 为（1）中集合 中的最大整数，且 （其中， ，为正实数） ，求证：【答案】 （1） ；（2）见解析【解析】试题分析：（1）先根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解集，最后求并集， （2）先根据等量关系化 M ，再根据基本不等式证不等式.试题解析：（1） 即当 时，不等式化为 ， ；当 时，不等式化为 ，不等式恒成立；当 时，不等式化为 ， .综上，集合 .（2）由（1）知 ，则 .则 ，同理 ，则，即 .
