1、炎德英才大联考长郡中学 2018 届高三月考试卷（四）数学（理科）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 ， ，故选 B.2. 若复数 满足 （ 为虚数单位） ，则复数 在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】C【解析】因为 ，所以该复数在复平面内对于的点位于第三象限，应选答案 C。3. 已知向量 ，则“ ”是“ 与 夹角为锐角 ”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 充要条件C. 必要不
2、充分条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若 与 夹角为锐角，则 ，且 与 不平行，所以 ，得，且 ， ，所以“ ”是“ ，且 ”的必要不充分条件。故选 C。4. 在 展开式中，二项式系数的最大值为 ，含 项的系数为 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题设可得 ，则 ，应选答案 B。5. 一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中” ；乙说：“我没有作案，是丙偷的” ；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷” ；丁说：“乙说的是事实”.经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一
3、人是罪犯，由此可判断罪犯是（ ）A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁【答案】B【解析】乙、丁两人的观点一致，乙、丁两人的供词应该是同真或同假；若乙、丁两人说的是真话，则甲、丙两人说的是假话，由乙说真话推出丙是罪犯的结论；由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯的结论，矛盾；乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话；由甲、丙的供述内容可以断定乙是罪犯6. 一个三棱锥的三视图如下图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C【解析】由三视图可得到如图所示几何体，该几何体是由正方体切割得到的，利用传统法或空间向量法可求得三棱锥的高为 ，该几何体的体积为 .点睛:三视图
4、问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合(3)由几何体的三视图还原几何体的形状要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图7. 已知 是平面内夹角为 的两个单位向量，若向量 满足 ，则 的最大值为（ ）A. 1 B. C. D. 2【答案】B【解析】试题分析：由
5、已知 ， ， （ 是 与 的夹角） ， ，而 ，因此 的最大值为 考点：向量的数量积，向量的模8. 执行如图所示的程序框图，则输出的 值为（ ）A. 1009 B. -1009 C. -1007 D. 1008【答案】B【解析】由程序框图则 ，由 规律知输出故本题答案选 【易错点睛】本题主要考查程序框图中的循环结构.循环结构中都有一个累计变量和计数变量,累计变量用于输出结果,计算变量用于记录循环次数,累计变量用于输出结果,计数变量和累计变量一般是同步执行的,累加一次计数一次,哪一步终止循环或不能准确地识别表示累计的变量,都会出现错误.计算程序框图的有关的问题要注意判断框中的条件,同时要注意循环
6、结构中的处理框的位置的先后顺序,顺序不一样,输出的结果一般不会相同.9. 已知斜率为 3 的直线 与双曲线 交于 两点，若点 是 的中点，则双曲线 的离心率等于（ ）A. B. C. 2 D. 【答案】A【解析】设 ，则 ，所以 ， ，所以 ，得 ，所以 ，所以 。故选 A。10. 若一个四位数的各位数字相加和为 10，则称该数为“完美四位数” ，如数字“2017”.试问用数字 0,1,2,3,4,5,6,7 组成的无重复数字且大于 2017 的“完美四位数”有（ ）个.A. 53 B. 59 C. 66 D. 71【答案】D【解析】由题设中提供的信息可知：和为 10 四位数字分别是（0,1,
7、2,7） ， （0,1,3,6） ，（0,1,4,5） （0,2,3,5） ， （1,2,3,4）共五组；其中第一组（0,1,2,7）中，7 排首位有种情形，2 排首位，1、7 排在第二位上时，有 种情形，2 排首位，0 排第二位，7 排第三位有 1 种情形，共 种情形符合题设；第二、三组中 3,、6 与 4、5 分别排首位各有 种情形，共有 种情形符合题设；第四、五组中 2、3、5与 2、3、4 分别排首位各有 种情形，共有 种情形符合题设。依据分类计数原理可符合题设条件的完美四位数共有 种，应选答案 D。点睛：分类计数原理与分步计数原理是排列组合中的重要数学思想和方法。求解本题时，充分借助
8、题设中的完美四位数的定义，巧妙运用分类计数原理与分步计数原理进行分析求解，从而使得问题巧妙获解。11. 椭圆 的左焦点为 ，上顶点为 ，右顶点为 ，若 的外接圆圆心在直线 的左下方，则该椭圆离心率的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】设 ，且 的外接圆的方程为 ，将分别代入可得 ，由 可得 ，即，所以 ，即 ，所以 ，应选答案 A。点睛：解答本题的思路是先借助圆的一般式方程，进而求出三角形外接圆的圆心坐标为，然后依据题设建立不等式 ，即 ，然后借助参数之间的关系求出椭圆离心率的取值范围使得问题获解。12. 已知函数 ，若 有两个零点 ，则 的取值范围是（ ）A. B. C
9、. D. 【答案】D【解析】如图，所以 ，令 ，则 ，又 有两个零点，则 有解，则存在解 ，又 ，所以令 ，且 ， ，所以 ，令 ，则 ，所以 在 单调递增，则 ，所以 的范围是 。故选 D。点睛：本题为分段的嵌套函数，则令 ，又原函数的值域性质可知有两个零点，及 有解，则存在解 ，且，由图象可知， ，且 ，所以 ，令 ，通过求导，可知 的范围是。二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知双曲线经过点 ，其一条渐近线方程为 ，则该双曲线的标准方程为_【答案】【解析】由双曲线的渐近线方程设双曲线方程为 ,由点 在双曲线上,有,所以 ,故双曲线方程为 .14. 已知
10、函数 ，若正实数 满足 ，则 的最小值为_【答案】1【解析】解析：因 ，故由题设可得 时，即 ，则，应填答案 1。15. 已知球 是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心） 的外接球， ， ，点 在线段 上，且 ，过点 作圆 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是_【答案】【解析】 令 的中心为 ，球 的半径为 ，连接，易求得 ，则 ，在 中，由勾股定理得 ，解得 ，由 ，知 ，所以，所以 当截面与 垂直时，截面的面积最小，此时截面圆的半径 ，此时截面面积为 当截面过球心时，截面圆的面积最大，此时截面圆的面积为 故本题应填 点睛：解决球与其他几何体的内切，外接问题的关系在于仔细观察
11、，分析几何体的结构特征，搞清相关元素的位置关系和数量关系，选准最佳角度做出截面(要使这个截面尽可能多地包含球和其他几何体的各种元素，尽可能的体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的16. 已知 为坐标原点， 为抛物线 的焦点，若抛物线与直线 在第一、四象限分别交于 两点，则 的值为_ 【答案】【解析】直线 过焦点 ，则 ，所以 ，所以 。点睛：本题中首先要观察得到直线过抛物线焦点，通过作图，结合抛物线的几何意义，得到， ，联立直线与抛物线方程，解出 ， ，代入，求出答案。三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 17. 如图，在 中，
12、， 为边 上的点， 为 上的点，且 ， ，.（1）求 的长；（2）若 ，求 的值.【答案】 （1） ；（2） .试题解析：（1）由题意可得 ，在 中，由余弦定理得，所以 ，整理得 ，解得： 故 的长为 。（2）在 中，由正弦定理得 ，即所以 ，所以 因为点 在边 上，所以 ，而 ，所以 只能为钝角，所以 ，所以18. 现有 4 名学生参加演讲比赛，有 两个题目可供选择，组委会决定让选手通过掷一枚质地均匀的骰子选择演讲的题目，规则如下：选手掷出能被 3 整除的数则选择 题目，掷出其他的数则选择 题目.（1）求这 4 个人中恰好有 1 个人选择 题目的概率；（2）用 分别表示这 4 个人中选择 题
13、目的人数，记 ，求随机变量 的分布列与数学期望 .【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析：（1）本题为二项分布模型，由题可知，选择 题目的概率为 ，选择 题目的概率为 ，则 ，所以这 4 人中恰有一人选择 题目的概率为；（2） 的所有可能取值为 0，3，4， ，写出分布列，并求期望。试题解析：由题意知，这 4 个人中每个人选择 题目的概率为 ，选择 题目的概率为 ，记“这 4 个人中恰有 人选择 题目”为事件 ， ，（1）这 4 人中恰有一人选择 题目的概率为 .（2） 的所有可能取值为 0，3，4，且，. 的分布列是所以 .19. 如图 1，在矩形 中， ， ，点 分别在边 上，且
14、， 交 于点 ， 交 于 .现将 沿 折起，使得平面 平面 ，得到图 2.图 1 图 2（1）在图 2 中，求证： ；（2）在图 2 中，若点 是线段 上的一动点，问点 在什么位置时，二面角 的余弦值为 .【答案】 （1）证明见解析；（2）点 在线段 的四等分点.【解析】试题分析：(1)先证明 ,再证明 ,证明 平面 ,从而可得;(2)建立直角坐标系,设 ,求出平面 、平面 的一个法向量,利用向量的夹角公式,结合二面角 的余弦值为 ,即可得出结论.试题解析：（）在矩形 中， , , ， 即 .在图 2 中， ， . 又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， ，依题意， 且 ，四边形 为平行四边
15、形. , ， 又 ， 平面 ， 又 平面 ， .（）如图 1，在 中， ， ， ， ， .如图，以点 为原点建立平面直角坐标系，则， ， ， ， ， ， ， ， 平面 ， 为平面 的法向量.设 ，则 ，设 为平面 的法向量，则即 ，可取 ，依题意，有 ，整理得 ，即 ， ，当点 在线段 的四等分点且 时，满足题意20. 已知椭圆 的两个焦点分别为 ， ，点 与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.（1）求椭圆 的方程；（2）过点 的直线 与椭圆 相交于 两点，设点 ，记直线 的斜率分别为，求证： 为定值.【答案】 （1） ；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）由题意得到 ， ，所以 ，写出椭
16、圆方程；（2）联立直线方程与椭圆方程，得到韦达定理 ， ，.试题解析：（1）依题意， ， .点 与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直， ， .椭圆 的方程为 .（2）当直线 的斜率不存在时，由 解得 ， .设 ， ，则 为定值.当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为： .将 代入 整理化简，得 .依题意，直线 与椭圆 必相交于两点，设 ， ，则 ， .又 ， ，所以 .综上得 为常数 2.点睛：圆锥曲线大题熟悉解题套路，本题先求出椭圆方程，然后与直线方程联立方程组，求得韦达定理，则 ， ，为定值。21. 已知函数 ， .（1）若函数 存在与直线 垂直的切线，求实数 的取值范围；（2）设 ，若 有
17、极大值点 ，求证： .【答案】 （1） ；（2）证明见解析.试题解析：（1）因为 ， ，因为函数 存在与直线 垂直的切线，所以 在 上有解，即 在 上有解，也即 在 上有解，所以 ，得 ，故所求实数 的取值范围是 .（2）证明：因为 ，因为 ，当 时， 单调递增无极值点，不符合题意，当 或 时，令 ，设 的两根为 和 ，因为 为函数 的极大值点，所以 ，又 ， ，所以 ， ，所以 ，则 ，要证明 ，只需要证明 ，因为 ， .令 ， ，所以 ，记 ， ，则 ，当 时， ，当 时， ，所以 ，所以 .所以 在 上单调递减，所以 ，原题得证 .请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按
18、所做的第一题记分选修 4-4：坐标系与参数方程22. 在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数） ，在以原点 为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆 的方程为 .（1）写出直线 的普通方程和圆 的直角坐标方程；（2）设点 ，直线 与圆 相交于 两点，求 的值.【答案】 （1） ， ；（2） .【解析】试题分析：（1）有直线参数方程写出直线 的普通方程为 . 由 得圆 的直角坐标方程为 ；（2）把直线 的参数方程 （ 为参数） ，代入圆 的直角坐标方程，得 ，得到韦达定理，则 .试题解析：（1）由直线 的参数方程为 （ 为参数） ，得直线 的普通方程为 .又由 得圆 的直角坐标方程为 .（2）把直线 的参数方程 （ 为参数） ，代入圆 的直角坐标方程，得 ，设 是上述方程的两实数根，所以 ， ， ，所以 .选修 4-5：不等式选讲23. 已知函数 .（1）求函数 的值域 ；（2）若 试比较 ， ， 的大小.【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析：（1）分三种情况讨论，分别判断其单调性，然后可得结果；（2）因为，所以 ，所以 ，又 ，再利用做差法可得，综上可得结果.试题解析：（1）根据函数 的单调性可知，当 时， .所以函数 的值域 .（2）因为 ，所以 ，所以 .又 ，所以 ，知 ， ，所以 ，所以 ，所以 .
