1、黄冈市 2017 年高三年级 9 月质量检测理科数学第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集 ，集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ，选 C2. 若命题 ，方程 有解；命题 使直线 与直线平行，则下列命题为真的有（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】命题 ：当 时，方程 无解，所以命题 为假命题；A： 假；B： 假；C： 真；D： 假。选 C3. 已知 是两条不同直线， 是三个不同平面，则下列正确的是（ ）A. 若 ， ，则 B. 若 ， ，则C
2、. 若 ， ，则 D. 若 ， ，则【答案】D【解析】A： 存在相交情况；B： 存在相交情况；C： 存在相交情况；D 正确4. 函数 的大致图像为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 ，是奇函数，所以 B、D 错，又令 ，则 ，则只有 A 满足， 选 A点睛：函数图象的选择问题，一般用排除法、特殊值法，可以从两方面入手：（1）对称性：可以从图象的对称性，即函数的奇偶性，排除错误选项；（2）特殊性：通过一些特殊点进一步确认正确答案。或有时我们会采取求导进行判断单调性进行选择图象。5. 若椭圆 的离心率为 ，则双曲线 的渐近线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ，不
3、妨设 ，则 ，对应双曲线的渐近线方程为： ，选 C6. 函数 与 的图像如图，则下列不等式一定成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由图可知， 单调递增，则 ； 单调递减，则 ，A： 0 不一定成立，如 ；B： 不一定成立，如 ；C： 不成立， 的；D： ，成立。7. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】依题意，这是半个圆柱和一个三棱柱组成的几何体，故体积为.8. 若向量 的夹角为 ，且 ， ，则向量 与向量 的夹角为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：设向
4、量 与 的夹角等于 ,因为向量 的夹角为 ，且，所以 ，, , , 故选 A考点：平面向量数量积的运算9. “今有垣厚一丈二尺半，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日半尺，大鼠日增半尺，小鼠前三日日倍增，后不变，问几日相逢？”意思是“今有土墙厚 12.5 尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多半尺，小鼠前三天每天打洞长度比前一天多一倍，三天之后小鼠每天打洞按第三天长度保持不变，问两鼠几天打通相逢？”两鼠相逢最快需要的天数为（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】C10. 下列说法正确的个数为（ ）函数 的一个对称中心为 ；在 中，
5、， ， 是 的中点，则 ；在 中， 是 的充要条件；定义 ，已知 ，则 的最大值为 .A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】D【解析】 ，所以 是 的一个对称中心，正确； ，则 ，正确；充分性： ，则 ，由正弦定理可知， ，又 ，则 ，即 ，充分性成立，必要性：由 ，可知 ，则 ，必要性成立。正确； 都是周期为 的函数，也是周期为 的函数，当 时，由函数图象易知， 的最大值是 ，正确。选 D11. 已知函数 ，在区间 内任取两个数 ，且 ，不等式恒成立，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ，对任意 恒成立，对任意 恒成立，即 ，时， ，选 C点睛：本题
6、首先考察导数定义：任取 （定义域） ，则 ，之后考察含参数不等式的解法，我们一般采取分参法转化为恒成立问题，比较方便。导数题型一般为函数的综合题型，需要对相关函数方法都能掌握。12. 已知函数 ，若关于 的方程 恰有两个不等实根，且 ，则 的最小值为（ ）A. 2 B. C. D. 【答案】B【解析】 的图象如下：，令 ，则 ，即又 ，可知 ， ，如图， 的零点是 ，又 ，则 ，因为恰有两个不等式跟，则如图：可知，且 ，则令 ，令 ，则 ， 在 单调递减， 单调递增，选 B点睛：本题为函数图象及导数的综合应用题型。针对函数题型，一般能画出图象的我们都可以借助函数图象来帮忙解题，或寻找解题思路。
7、 多重函数题型则采取整体思想。本题根据整体思想，两次利用函数图象解题，最终转化为函数求最值问题，利用导数解决。二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 是定义在 上的函数，且满足 ，当 时， ，则【答案】【解析】试题分析：由于 ，所以函数的周期为 ，所以.考点：函数的周期性.14. 圆心在抛物线 上，并且和该抛物线的准线及 轴都相切的圆的标准方程为【答案】【解析】试题分析： 由题意得圆心到抛物线的准线及 轴距离相等，都等于圆半径，设圆心 ，则由抛物线定义得，因此圆的标准方程为考点：抛物线定义【方法点睛】1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离
8、处理本题中充分运用抛物线定义实施转化，其关键在于求圆心的坐标2若 P（x 0，y 0）为抛物线 y22px（p0）上一点，由定义易得|PF|x 0 ；若过焦点的弦 AB 的端点坐标为 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则弦长为|AB|x 1x 2p，x 1x 2可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到15. 设实数 满足条件 ，若目标函数 的最大值为 6，则 的最小值为【答案】2【解析】可行域如下：所以 ，所以最小值为 2点睛：本题为线性规划与基本不等式结合的题型。线性规划求最优解部分，因为，所以 是斜率为负的直线，因此得
9、到在 取到最优解。基本不等式部分考察的是“1”的妙用。16. 已知数列 中， ， ， ，若对任意的正整数 ，存在 ，使不等式 成立，则实数 的取值范围为【答案】【解析】 ，利用累加法可知，又 对任意的正整数 ，存在 ，使不等式 成立，即 ，存在存在 ，不等式成立，又 单调递减， ，三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知向量 ， .（1）若 ，求 的值；（2）设函数 ，将函数的图像上所有的点的横坐标缩小到原来的 （纵坐标不变） ，再把所得的图像向左平移 个单位，得到函数 的图像，求 的单调增区间.【答案】 （1） ；（2） k Z
10、.【解析】试题分析：（1）先考察向量平行，得到 = = ,然后 利用其次弦化切，得到答案。 （2）考察数量积，三角函数的图象平移变换，求单调区间。试题解析：（1） , = = , cos 2x= = = （2） f(x)= p = + =2 ,由题意可得g (x)= 2 , g (x)= 2 ，由 2x+ , x ,单调递增区间为 k Z.18. 单调递增数列 的前 项和为 ，且满足 .（1）求数列 的通项公式；（2）令 ，求数列 的前 项和 .【答案】 （1）a 2n；（2）4-（ n+2）( )n-1【解析】试题分析：（1）考察 的公式应用；（2）考察错位相减求和。试题解析： (1) ，
11、，当 时， ；当 时， ，即 ，又 单调递增，又 也满足，（2） ，-得：，点睛：本题考察数列的基本方法，为基础题型。 （1）需要掌握 公式的应用，同时学会式子的化简；（2）需要学生对错位相减法非常熟悉，属于错位相减法的基本解题套路。19. 在 中，角 所对的边分别为 ，且满足 .（1）求角 的大小；（2）若边长 ，求 的面积的最大值.【答案】 （1）A= ；（2） .【解析】试题分析：（1）考察正弦定理和三角函数的和差公式转化；（2）本题可以用余弦定理结合基本不等式解决面积的最值问题。试题解析：（1） ，得 ，即，得 ，（2） ，即 ， ，即 （当 时等号成立） ，点睛：解三角形是高考中的基
12、本题型，学生需完全掌握，不失分。第一小题考察正余弦定理的基本应用，中间还考察了三角形中的三角函数转换 ；第二小题考察最值问题，本题采用余弦定理结合基本不等式来解决问题，也可采用正弦定理结合三角函数性质来解决最值问题。20. 某厂家举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为 万元时，销售量 万件满足（其中 ， 为正常数） ，现假定生产量与销售量相等，已知生产该产品万件还需投入成本 万元（不含促销费用） ，产品的销售价格定为 万元/万件.（1）将该产品的利润 万元表示为促销费用 万元的函数；（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大.【答案】 （1） y=25（ +x） ， （0 x a， a
13、 为正常数） （2）见解析【解析】试题分析：（1）考察函数的实际应用，理解题意，列出方程；（2）考察对勾函数的最值问题。试题解析：（1）由题意知，利润 y=t(5+ ）)(10+2t）x=3t+10x由销售量 t 万件满足 t=5 （其中 0 x a， a 为正常数） 代入化简可得： y=25（ +x） ， （0 x a， a 为正常数）（2）由（1）知 y =28（ +x+3） ，当且仅当 = x +3，即 x =3 时，上式取等号当 a3 时，促销费用投入 3 万元时，厂家的利润最大； 当 0 a3 时， y 在 0 x a 上单调递增，x = a，函数有最大值促销费用投入 x = a 万
14、元时，厂家的利润最大 综上述，当 a3 时，促销费用投入 3 万元时，厂家的利润最大；当 0 a3 时，促销费用投入 x = a 万元时，厂家的利润最大21. 已知函数 .（1）若 在区间 上单调递增，求实数 的取值范围；（2）若 对 恒成立，求实数 的取值范围.【答案】(1) ;(2) a .【解析】试题分析：（1）绝对值函数进行分段，再根据在 上单调递增，则满足分别递增和整体递增两方面；（2）恒成立问题采取分参法，本题再进行分段函数处理。试题解析：解：（1） f(x)= ,又 f(x)在区间 上单调递增，当 2 时， f(x)单调递增，则 ，即 a当-1 时， f(x)单调递增，则 .即
15、a -2，且 4+2a2 a4恒成立，故 a 的取值范围为 （2）若 f(x) 对 x 恒成立，即 对 x 恒成立，当 x=2 时，成立，当 时 恒成立。令 g(x)= =显然 g(x) ，故此时 a ,综合得 a 的取值范围为 a22. 已知函数 ， .（1）当 时，求 的单调递增区间；（2）设 ，且 有两个极值 ，其中 ，求 的最小值.【答案】(1) ，当 时 F(x)的单增区间为（0，+ ）;当 a 1 时， F(x)的单增区间为(0, )，( );(2) .【解析】试题分析：（1）求导得到 ，再设 为目标函数进行分类讨论；（2）对 求导得到 是 的两根，所以根据韦达定理可以将双元问题转
16、化为单元问题，从而设新函数求导即可解决问题。试题解析：(1)由题意得 F(x)= x 2 alnx. x 0, = ,令 m（x）=x 2ax+1，当 时 F(x)在（0，+ 单调递增；当 a 1 时，令 ，得 x1= , x2=x (0, ) ( ) ( )+ + F(x)的单增区间为(0, )，( )综上所述，当 时 F(x)的单增区间为（0，+ ）当 a 1 时， F(x)的单增区间为(0, )，( ) （2） h(x)= x 2alnx, h/(x)= ,(x0),由题意知 x1,x2是 x2+2ax+1=0 的两根，x 1x2=1, x1+x2=2a,x 2= ,2a= , = =2( )令 H(x)=2( ), H/(x)=2( )lnx=当 时， H/(x)0, H(x)在 上单调递减， H(x)的最小值为 H( )= ,即 的最小值为 .
