1、1第三章 三角函数1三角函数的概念重点掌握以下两方面内容：理解任意角的概念和弧度的意义，能正确迅速进行弧度与角度的换算掌握任意的角 的正弦、余弦和正切的定义，能正确快速利用三角函数值在各个象限的符号解题，能求三角函数的定义域和一些简单三角函数的值域2同角三角函数的基本关系式能用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值和三角恒等式的证明；能逆用公式sin2 cos 2 1 巧妙解题3诱导公式2能用公式一至公式四将任意角的三角函数化为锐角三角函数，利用“奇变偶不变，符号看象限”牢记所有诱导公式善于将同角三角函数的基本关系式和诱导公式结合起来使用，通过这些公式进行化简、求值，达到培养推理运算能力和逻辑
2、思维能力提高的目的4三角函数的图象与性质函数 ysin x ycos x ytan x图象定义域 R R Error!，Error!( kZ)值域 1,1 1,1 (，)最值x2 k (kZ) 2时， ymax1；x2 k (kZ) 2时， ymin1x2 k( kZ)时，ymax1； x2 k( kZ)时，ymin1无最大、最小值周期性周期 T2 k2 (kZ)周期T2 k2( kZ)周期T k( kZ)奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数单调性在2k ，2 k 2 2(kZ)上都是增函数；在2k ，2 k 2(kZ)上都是减32函数在2 k，2 k(kZ)上都是增函数；在2 k，2 k(kZ)上
3、都是减函数在每个区间(k ， k ) 2 2(kZ)上都是增函数3对称性轴对称图形，对称轴方程是x k ， kZ； 2中心对称图形，对称中心( k，0) kZ轴对称图形，对称轴方程是x k， kZ；中心对称图形，对称中心kZ(k 2， 0)中心对称图形，对称中心 (kZ)(k2， 0)5.三角函数的图象与性质的应用(1)重点掌握“五点法” ，会进行三角函数图象的变换，能从图象中获取尽可能多的信息，如周期、半个周期、四分之一个周期等，如轴对称、中心对称等，如最高点、最低点与对称中心之间位置关系等能从三角函数的图象归纳出函数的性质(2)牢固掌握三角函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性和对称性
4、在运用三角函数性质解题时，要善于运用数形结合思想、分类讨论思想、化归转化思想将综合性较强的试题完整准确地进行解答.题型一 任意角的三角函数的定义及三角函数线掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数的定义求三角函数值，利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域例 1 求函数 y 的定义域sinxcosx 12解 由题意知Error!即Error!如图，结合三角函数线知：Error!解得 2k x2 k (kZ)， 3函数的定义域为 .x|2k x 2k 3， k Z跟踪演练 1 设 f(x) .1 2sinx4(1)求 f(x)的定义域；(2)求
5、f(x)的值域及取最大值时 x 的值解 (1)由 12sin x0，根据正弦函数图象知：定义域为 x|2k x2 k ， kZ56 136(2)1sin x1，112sin x3，12sin x0，012sin x3， f(x)的值域为0， ，3当 x2 k ， kZ 时， f(x)取得最大值32题型二 同角三角函数的关系式及诱导公式(1)牢记两个基本关系式 sin2 cos 2 1 及 tan ，并能应用两个关系式进行三sincos角函数的求值、化简、证明在应用中，要注意掌握解题的技巧，同时要体会数学思想方法如数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想及函数与方程思想的应用(2)诱导公式可概
6、括为 k (k Z)的各三角函数值的化简公式记忆规律是：奇变偶 2不变，符号看象限其中的奇、偶是指 的奇数倍或偶数倍，变与不变是指函数名称的变 2化若是奇数倍，则函数名称变为相应的异名函数(即正余互变)；若是偶数倍，则函数名称不变符号看象限是指把 看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号例 2 已知 4，求(sin 3cos )(cos sin )的值2 tan 1 tan 2 解 方法一 由已知 4，2 tan1 tan2tan 4(1tan )，解得 tan 2.(sin 3cos )(cos sin)4sin cos sin 2 3cos 24sin cos sin2 3cos2sin2
7、cos2 .4tan tan2 3tan2 1 8 4 34 1 15方法二 由已知 4，解得 tan 2.2 tan1 tan即 2，sin 2cos .sincos(sin 3cos )(cos sin )(2cos 3cos )(cos 2cos )cos 2 5 .cos2sin2 cos2 1tan2 1 15跟踪演练 2 已知 是三角形的内角，且 sin cos .15(1)求 tan 的值；(2)把 用 tan 表示出来，并求其值1cos2 sin2解 (1)方法一 联立方程Error!由得 cos sin ，将其代入，15整理得 25sin2 5sin 120. 是三角形内角，
8、sin 0，Error!tan .43方法二 sin cos ，(sin cos )2 2，15 (15)即 12sin cos ，2sin cos ，125 2425(sin cos )212sin cos 1 .2425 4925sin cos 0 且 0 ，1225sin 0，cos 0，sin cos 0，sin cos ，75由Error!得Error!tan .43(2) 1cos2 sin2 sin2 cos2cos2 sin2 ，sin2 cos2cos2cos2 sin2cos2 tan2 11 tan2tan ，43 .1cos2 sin2 tan2 11 tan2( 43
9、)2 11 ( 43)2 2576题型三 三角函数的图象及变换三角函数的图象是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现在平时的考查中，主要体现在三角函数图象的变换和解析式的确定，以及通过对图象的描绘、观察来讨论函数的有关性质具体要求：(1)用“五点法”作 y Asin (x )的图象时，确定五个关键点的方法是分别令x 0， ， ，2. 2 32(2)对于 y Asin (x ) b 的图象变换，应注意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区别(3)由已知函数图象求函数 y Asin (x )(A0， 0)的解析式时，常用的解题方法是待定系数法，由图中的最大值或最小值确定 A，由
10、周期确定 ，由适合解析式的点的坐标来确定 ，但由图象求得的 y Asin (x )(A0， 0)的解析式一般不是唯一的，只有限定 的取值范围，才能得出唯一的解，否则 的值不确定，解析式也就不唯一例 3 函数 f(x) Asin 1( A0， 0)的最大值为 3，其图象相邻两条对称轴之( x 6)间的距离为 . 2(1)求函数 f(x)的解析式；(2)设 ， f 2，求 的值(0， 2) ( 2)解 (1)函数 f(x)的最大值为 3， A13，即 A2，函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为 ， 2最小正周期 T， 2，故函数 f(x)的解析式为 y2sin 1.(2x 6)(2)f 2sin
11、12，即 sin ，( 2) ( 6) ( 6) 120f(cos )证明 f(x2) f(x)， y f(x)的周期为 2. f(x)在1,0与3，2上的单调性相同 f(x)在1,0上单调递减 f(x)是偶函数， f(x)在0,1上的单调性与1,0上的单调性相反 f(x)在0,1上单调递增 ， 是锐角三角形的两个内角， ， 2 ，且 ， . 2 (0， 2) 2 (0， 2)又 ysin x 在 上单调递增，(0， 2)sin sin cos ，( 2 )即 sin cos .由，得 f(sin )f(cos )跟踪演练 4 已知 a0，函数 f(x)2 asin 2 a b，当 x 时，(
12、2x 6) 0， 285 f(x)1.(1)求常数 a， b 的值；(2)设 g(x) f 且 lgg(x)0，求 g(x)的单调区间(x 2)解 (1) x ，2 x .0， 2 6 6， 76sin ，(2x 6) 12， 12 asin 2 a， a(2x 6) f(x) b,3a b，又5 f(x)1， b5,3 a b1，因此 a2， b5.(2)由(1)得 a2， b5， f(x)4sin 1，(2x 6)g(x) f 4sin 1(x 2) (2x 76)4sin 1，(2x 6)又由 lgg(x)0 得 g(x)1，4sin 11，sin ，(2x 6) (2x 6) 122
13、k 2 x 2 k ， kZ， 6 6 56其中当 2k 2 x 2 k ， kZ 时， g(x)单调递增，即 6 6 2k x k ， kZ， 6 g(x)的单调增区间为 ， kZ.(k ， k 6)又当 2k 2 x 2 k ， kZ 时， 2 6 56g(x)单调递减，即 k x k ， kZ. 6 3 g(x)的单调减区间为 ， kZ.(k 6， k 3)9三角函数的性质是本章复习的重点，在复习时，要充分利用数形结合思想把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得到函数的性质，或由单位圆中三角函数线表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也能利用函数的性质来描述函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练运用数形结合的思想方法
