1、13.4.2 函数 y Asin(x )的图象与性质(二)学习目标 1.会用“五点法”画函数 y Asin(x )的图象.2.能根据y Asin(x )的部分图象，确定其解析式.3.了解 y Asin(x )的图象的物理意义，能指出简谐运动中的振幅、周期、相位、初相知识链接1由函数 ysin x的图象经过怎样的变换得到函数 ysin( x )( 0)的图象？答 ysin x的图象变换成 ysin( x )( 0)的图象一般有两个途径：途径一：先相位变换，再周期变换先将 ysin x的图象向左( 0)或向右( 0)或向右( 0， 0)， x0，)的图象，其中 A0， 0.描述简谐运动的物理量有振
2、幅、周期、频率、相位和初相等，你知道这些物理量分别是指哪些数据以及各自的含义吗？答 A是振幅，它是指物体离开平衡位置的最大距离； T 是周期，它是指物体往复运2动一次所需要的时间；f 是频率，它是指物体在单位时间内往复运动的次数； x 称为相位； 称为1T 2初相，即 x0 时的相位预习导引1简谐振动简谐振动 y Asin(x )(A0， 0)中， A叫做振幅，周期 T ，频率 f ，相2 2位是 x ，初相是 .2函数 y Asin(x ) (A0， 0)的性质如下：2定义域 R值域 A， A周期性 T 2奇偶性 k ( kZ)时是奇函数； k ( kZ)时是偶函数；当2 (kZ)时是非奇非
3、偶函数k2单调性 单调增区间可由 2k x 2 k (kZ)得到，单调减区间可由2 22k x 2 k (kZ)得到2 32要点一 “五点法”作 y Asin(x )的简图例 1 用“五点法”作出函数 y2sin 的简图，并指出该函数的单调区间(2x3)解 (1)列表如下：2x302322x 6 12 3 712 56y 0 2 0 2 0(2)描点、连线，如图由图象知，在一个周期内，函数在 上单调递减，函数在 上单调递12， 712 512 ， 12增又因为函数的周期为 ，所以函数的单调递减区间为 (kZ)；单调递增区间为12 k ， 712 k (kZ)512 k ， 12 k 3规律方法
4、 用“五点法”画函数 y Asin (x )(xR)的简图，先作变量代换，令X x ，再用方程思想由 X取 0， ， ，2 来确定对应的 x值，最后根据2 32x， y的值描点、连线画出函数的图象跟踪演练 1 作出函数 y sin 在长度为一个周期的闭区间上的图象32 (13x 3)解 列表：X x13 302322x 52 4 112 7y sin32 (13x 3)0320 320描点画图(如图所示)：要点二 求函数 y Asin(x )的解析式例 2 函数 y Asin(x )(A0， 0，| |0， 0，| |0)的最小正周期为 ，则该函数的图象( )( x3)A关于点 对称 B关于直
5、线 x 对称(3， 0) 4C关于点 对称 D关于直线 x 对称(4， 0) 3答案 A3.若函数 ysin( x )( 0)的部分图象如图，则 等于 ( )6A5 B4C3 D2答案 B解析 根据图象确定函数的最小正周期，再利用 T 求 .2设函数的最小正周期为 T，由函数图象可知 x0 ，T2 (x0 4) 4所以 T .2又因为 T ，可解得 4.24作出 y3sin 一个周期上的图象(12x 4)解 (1)列表：x12 402 322x2325272923sin(12x 4)0 3 0 3 0描点、连线，如图所示：1.由函数 y Asin(x )的部分图象确定解析式关键在于确定参数 A
6、， ， 的值(1)一般可由图象上的最大值、最小值来确定| A|.(2)因为 T ，所以往往通过求周期 T来确定 ，可通过已知曲线与 x轴的交点从而确2| |定 T，即相邻的最高点与最低点之间的距离为 ；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离T2为 T.(3)从寻找“五点法”中的第一零点 (也叫初始点)作为突破口以( ， 0)y Asin(x )(A0， 0)为例，位于单调递增区间上离 y轴最近的那个零点最适合作7为“五点”中的第一个点2在研究 y Asin(x )(A0， 0)的性质时，注意采用整体代换的思想例如，它在 x 2 k (kZ)时取得最大值，在 x 2 k (kZ)时取得最小2 3
7、2值一、基础达标1已知简谐运动 f(x)2sin (| |2，且最小值为正数，A 符合，当| a|1时 T0， 0)上的一个最高点的坐标为 ，此点到相(8， 2)邻最低点间的曲线与 x轴交于点 ，若 .(38 ， 0) ( 2， 2)(1)试求这条曲线的函数表达式；(2)用“五点法”画出(1)中函数在0，上的图象解 (1)由题意知 A ， T4 ，2 (38 8) 2， y sin(2x )2T 2又sin 1， 2 k ， kZ，(82 ) 4 2 2 k ， kZ，4又 ， ， y sin .(2， 2) 4 2 (2x 4)(2)列出 x、 y的对应值表：x 8 83858782x402
8、 322y 0 2 0 2 0描点、连线，如图所示：10二、能力提升8如图是函数 y Asin(x )(xR)在区间 ， 上的图6 56象为了得到这个函数的图象，只要将 ysin x(xR)的图象上所有的点( )A向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变3 12B向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2倍，纵坐标不变3C向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变6 12D向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2倍，纵坐标不变6答案 A解析 由图象可知 A1， T ( )，56 6 2.2T图象过点(
9、，0)，3sin( )0， 2 k， kZ，23 23 2 k， kZ.3 ysin(2 x 2 k)sin(2 x )3 3故将函数 ysin x先向左平移 个单位长度后，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍，3 12纵坐标不变，可得原函数的图象9.函数 f(x)2sin( x )，( 0， )的部分图象如图2 2所示，则 ， 的值分别是( )A2， B2，3 6C4， D4，6 3答案 A解析 T ，34 512 ( 3) 3411 T，由此可得 T ，解得 2，2得函数表达式为 f(x)2sin(2 x )又因为当 x 时取得最大值 2，512所以 2sin 2，可得 2 k( kZ)(
10、2512 ) 56 2因为 ，所以取 k0，得 ，故选 A.2 2 310关于 f(x)4sin (xR)，有下列命题：(2x3)由 f(x1) f(x2)0 可得 x1 x2是 的整数倍； y f(x)的表达式可改写成 y4cos ；(2x6) y f(x)图象关于 对称；(6， 0) y f(x)图象关于 x 对称6其中正确命题的序号为_答案 解析 对于，由 f(x)0，可得 2x k ( kZ)3 x ， x1 x2是 的整数倍，错；k2 6 2对于， f(x)4sin 利用公式得：(2x3)f(x)4cos 4cos .2 (2x 3) (2x 6)对；对于， f(x)4sin 的对称
11、中心满足 2x k， kZ， x ， kZ.(2x3) 3 k2 6 是函数 y f(x)的一个对称中心，对；(6， 0)对于，函数 y f(x)的对称轴满足2x k， kZ. x ， kZ，错3 2 12 k211函数 y Asin(x )(A0， 0，| |0， 0)的图象过点 P( ，0)，图象与 P点最近的12一个最高点坐标为( ，5)3(1)求函数解析式；(2)指出函数的增区间；(3)求使 y0 的 x的取值范围解 (1)图象最高点坐标为( ，5)， A5.3 ， T.T4 3 12 4 2. y5sin(2 x )代入点( ，5)，2T 3得 sin( )1. 2 k ， kZ.2
12、3 23 2令 k0，则 ， y5sin(2 x )6 6(2)函数的增区间满足 2k 2 x 2 k (kZ)，2 k 2 x2 k2 6 2 3(kZ)23 k x k (kZ)6 3增区间为 k ， k (kZ)6 313(3)5sin(2 x )0，62 k2 x 2 k( kZ)，6 k x k (kZ)512 12三、探究与创新13已知函数 f(x)sin( x ) ( 0,0 )是 R上的偶函数，其图象关于点 M对称，且在区间 上是单调函数，求 和 的值(34， 0) 0， 2解 f(x)在 R上是偶函数，当 x0 时， f(x)取得最大值或最小值即 sin 1，得 k ， kZ，2又 0 ， .2由图象关于 M 对称可知，(34， 0)sin 0，解得 k ， kZ.(34 2) 43 23又 f(x)在 上是单调函数，所以 T，即 ，0，2 2 2，又 0， k2，由于 kZ， k1 或 2.12当 k1 时， ；当 k2 时， 2.23
