1、171 正切函数的定义72 正切函数的图像与性质学习目标 1.能借助单位圆中的正切线画出函数 ytan x 的图像.2.掌握正切函数的图像、定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质(重点).3.注重数形结合思想的应用以及正切函数与正、余弦函数的综合应用(难点)知识点 1 正切函数的定义(1)任意角的正切函数：如果角 满足 R， k( kZ)，那么，角 的终边与单位圆交于点 P(a， b)， 2唯一确定比值 ，我们把它叫作角 的正切函数，记作 ytan ，其中ba R， k， kZ. 2(2)正切函数与正弦、余弦函数的关系：根据定义知 tan ( R， k ， kZ)sin cos 2(3)正
2、切值在各象限的符号：根据定义知，当角在第一和第三象限时，其正切函数值为正；当角在第二和第四象限时，其正切函数值为负(4)正切线：在单位圆中令 A(1,0)，过 A 作 x 轴的垂线，与角 的终边或终边的延长线相交于 T，称线段 AT 为角 的正切线【预习评价】1若角 的终边上有一点 P(2x1,3)，且 tan ，则 x 的值为( )15A7 B8C15 D.45解析 由正切函数的定义 tan ，解之得 x8.32x 1 15答案 B22函数 ytan 2 x 的定义域为_解析 由正切函数的定义知，若使 ytan 2 x 有意义，则 2x k (kZ) 2解得 x (kZ)k2 4答案 Err
3、or!知识点 2 正切函数的图像及特征(1)ytan x， xR 且 x k， kZ 的图像(正切曲线)： 2(2)正切曲线的特征：正切曲线是由被相互平行的直线 x k (kZ)隔开的无穷多支曲线组成的这些直线 2叫作正切曲线各支的渐近线【预习评价】正切函数是奇函数，图像关于原点对称，那么正切函数的对称中心只有一个吗？提示 正切函数的对称中心除了原点外，诸如(，0)等都是对称中心，正切函数有无数个对称中心知识点 3 正切函数的性质函数 ytan x定义域 x|x R， x 2 k ， k Z值域 R周期性 周期为 k( kZ， k0)，最小正周期为 奇偶性 奇函数单调性 在 (kZ)上是增加的
4、( 2 k ， 2 k )【预习评价】 (正确的打“” ，错误的打“”)(1)正切函数为定义域上的增函数()(2)正切函数存在闭区间 a， b，使 ytan x 是增加的()(3)若 x 是第一象限的角，则 ytan x 是增函数()3(4)正切函数 ytan x 的对称中心为( k，0) kZ.()题型一 正切函数的定义【例 1】 已知角 的终边经过点 P(4 a,3a)(a0)，求 sin ，cos 、tan 的值解 r 5| a|， 4a 2 3a 2若 a0，则 r5 a，角 在第二象限，sin ，yr 3a5a 35cos .tan ；xr 4a5a 45 yx 3a 4a 34若
5、a0，则 r5 a，角 在第四象限，sin ，35cos ，tan .45 34规律方法 已知角 终边上任一点的坐标( m， n)利用定义求 tan 时，其值与该点的位置无关且 tan .但要注意判断角 所在象限利用定义可求下列特殊角的正切：nm 0 6 4 3 23 34 56tan 0331 3 31 33【训练 1】 若 tan ，利用三角函数的定义，求 sin 和 cos .12解 tan 0，角 是第一或第三象限角12若角 是第一象限角，则由 tan ，角 的终边上必有一点 P(2,1)，12 r| OP| .22 12 5sin ，cos .yr 15 55 xr 25 255若角
6、 是第三象限角，则由 tan 知，角 的终边上必有一点 P(2，1)，12 r| OP| . 2 2 1 2 5sin ，cos .yr 15 55 xr 25 255题型二 正切函数的图像及应用【例 2】 利用正切函数的图像作出 y|tan x|的图像并写出使 y 的 x 的集合34解 当 x 时， ytan x0，(k 2， k 当 x 时， ytan x0，(k ， k 2) y|tan x|如图所示使 y 的 x 的集合为Error!.3规律方法 1.作正切函数的图像时，先画一个周期的图像，再把这一图像向左、右平移从而得到正切函数的图像，通过图像的特点，可用“三点两线法” ，这三点是，
7、(0,0)， ，两线是直线 x 为渐近线( 4， 1) ( 4， 1) 22如果由 y f(x)的图像得到 y f(|x|)及 y| f(x)|的图像，可利用图像中的对称变换法完成；即只需作出 y f(x)(x0)的图像，令其关于 y 轴对称便可以得到 y f(|x|)(x0)的图像；同理只要作出 y f(x)的图像，令图像“上不动，下翻上”便可得到y| f(x)|的图像【训练 2】 (1)函数 y 的定义域为_11 tan x解析 要使该函数有意义，则有Error!即 x k 且 x k . 4 2答案 Error!(2)根据正切函数的图像，写出 tan x1 的解集解 作出 ytan x
8、及 y1 的图像，如下图满足此不等式的 x 的集合为Error!.5方向 1 比较大小【例 31】 比较 tan 1、tan 2、tan 3 的大小解 tan 2tan(2)，tan 3tan(3)，又 0)的图像的相邻两支曲线截直线 y 所得线段长为 ，则 f 4 4的值是( )( 4)A0 B1C1 D. 4解析 由题意，得 T ， 4. 4 f(x)tan 4 x， f tan 0.( 4)答案 A10已知函数 ytan x 在( ， )是减函数，则 的取值范围是_ 2 2解析 ytan x 在( ， )内是减函数， 2 2 0 且 T .| | |1，即1 0.答案 1,0)11求函数
9、 ytan 2x4tan x1， x 的值域为_ 4， 4解析 x ， 4 41tan x1.11令 tan x t，则 t1,1 y t24 t1( t2) 25.当 t1，即 x 时， ymin4， 4当 t1，即 x 时， ymax4. 4故所求函数的值域为4,4答案 4,412若函数 f(x)tan 2x atan x 的最小值为6.求实数 a 的值(|x| 4)解 设 ttan x，因为| x| ， 4所以 t1,1则原函数化为： y t2 at 2 ，(ta2) a24对称轴 t .a2若1 1，则当 t 时，a2 a2ymin 6，所以 a224(舍去)；a24若 1，即 a2
10、时，a2二次函数在1,1上递增，ymin 2 1 a6，( 1a2) a24所以 a7；若 1，即 a2 时，二次函数在1,1上递减a2ymin 2 1 a6，所以 a7.(1a2) a24综上所述， a7 或 a7.13(选做题)已知函数 f(x) .sin x|cos x|(1)求函数定义域；(2)用定义判断 f(x)的奇偶性；(3)在，上作出 f(x)的图像；(4)写出 f(x)的最小正周期及单调性12解 (1)由 cos x0 得 x k (kZ)， 2函数的定义域是Error!.(2)由(1)知函数的定义域关于原点对称又 f( x) f(x)，sin x|cos x | sin x|cos x| f(x)是奇函数(3)f(x)Error!f(x)(x，)的图像如图所示(4)f(x)的最小正周期为 2，递增区间是 (kZ)，递减区间是( 2 2k ， 2 2k )(kZ)( 2 2k ， 32 2k )
