1、151 正弦函数的图像学习目标 1.能用“五点法”画正弦函数在0,2上的图像(重点).2.理解正弦曲线的意义(难点)知识点 1 正弦线如图所示，设任意角 的顶点在原点 O，始边与 x轴的非负半轴重合，终边与单位圆 O相交于点 P(x， y)，过 P点作 x轴的垂线，垂足为 M.我们称 MP为角 的正弦线， P叫正弦线的终点【预习评价】 (正确的打“” ，错误的打“”)(1)在正弦线的定义中 MP也可以写成 PM的形式()(2)正弦线是一条有方向的有向线段()知识点 2 正弦函数图像的画法(1)几何法利用几何法作正弦函数 ysin x， x0,2的图像的过程如下：作直角坐标系，并在直角坐标系 y
2、轴的左侧画单位圆，如图所示把单位圆分成 12等份(等份越多，画出的图像越精确)过单位圆上的各分点作 x轴的垂线，可以得到对应于 0， ， ， ，2 等角的正弦线632找横坐标：把 x轴上从 0到 2(26.28)这一段分成 12等份平移：把角 x的正弦线向右平移，使它的起点与 x轴上的点 x重合连线：用光滑的曲线将这些正弦线的终点依次从左到右连接起来，即得 ysin x， x0,2的图像2(2)“五点法”在函数 ysin x， x0,2的图像上，起关键作用的点有以下五个：(0,0)，( ，1)，2(，0)，( ，1)，(2，0)事实上，找出这五个点后，函数 ysin x， x0,2的32图像形
3、状就基本上确定了因此，在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线顺次将它们连接起来，就可以得到函数的简图这种方法称为“五点法” 【预习评价】1函数 ysin x在0,2上的单调减区间为_，最大值为_答案 ， 12 322利用五点法作函数 y Asin x(A0)的图像时，选取的五个关键点是什么？提示 依次是(0,0)，( ， A)，(，0)，( ， A)，(2，0)2 32题型一 “五点法”作函数的图像【例 1】 利用“五点法”作出 y1sin x (x0,2)的简图解 按五个关键点列表：x 0 2 32 2sin x 0 1 0 1 01sin x 1 0 1 2 1描
4、点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图所示)规律方法 “五点法”作图的实质是选取函数的一个周期，将其四等分，分别找出图像的最高点、最低点及图像与 x轴的交点等五个关键点，由这五个点大致确定图像的位置和形状【训练 1】 (1)作出函数 y2sin x(0 x2)的图像(2)用“五点法”画出函数 ysin 2 x(0 x)的图像3解 (1)列表：x 0 2 32 2sin x 0 1 0 1 02sin x 0 2 0 2 0描点作图：(2)列表：x 0 4 2 34 2x 0 2 32 2sin 2x 0 1 0 1 0描点得 ysin 2 x(0 x)的简图，如图：方向 1 解不等式【例 21】
5、 利用 ysin x的图像，在0,2内求满足 sinx 的 x的范围12解 列表：x 0 2 32 2sin x 0 1 0 1 0描点，连线如图，同时作出直线 y 的图像12由图像可得 sin x 的范围 .12 0， 76 116， 2 方向 2 判断方程解的个数4【例 22】 (1)方程|sin x| 的根中，在0,2内的有( )12A1 个 B2 个C3 个 D4 个解析 如图所示，在区间0，内|sin x| 的两个根为 和 ，又因为 2 ，所以12 6 56 56在区间0,2内|sin x| 只有一个根 .12 6答案 A(2)求方程 lg xsin x的实数解的个数解 作出 ylg
6、 x， ysin x在同一坐标系内的图像，则方程根的个数即为两函数图像交点的个数，由图像知方程有三个实根方向 3 求参数的取值范围【例 23】 函数 f(x)sin x2|sin x|， x0,2的图像与直线 y k有且仅有两个不同的交点，求实数 k的取值范围解 yError!作出图像分析(右图)， f(x)图像与直线 y k有且仅有两个不同交点1 k3.故实数 k的取值范围是(1,3)规律方法 1.三角函数的图像是研究函数的重要工具，通过图像可较简便地解决问题，这正是数形结合思想方法的应用2一般地，函数 y| f(x)|的图像可将函数 y f(x)的图像作如下变换得到：在 x轴下方的图像以
7、x轴为对称轴翻折到 x轴上方， x轴上方的部分保持不变.5课堂达标1函数 ysin x (xR)图像的一条对称轴是( )A x轴 B y轴C直线 y x D直线 x2答案 D2用五点法画 ysin x， x0,2的图像时，下列哪个点不是关键点( )A( ， ) B( ，1)6 12 2C(，0) D(2，0)解析 易知( ， )不是关键点6 12答案 A3在0,2上，满足 sin x 的 x的取值范围为_22解析 画出 ysin x的图像（图像略）可得答案 ， 4 344函数 ysin x， x0,2的图像与直线 y 的交点为 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则12x1 x2_.解析
8、 如图所示，x1 x22 3.32答案 35在0,2内，用五点法作出函数 y2sin x1 的图像解 (1)列表：x 0 2 32 2sin x 0 1 0 1 02sin x1 1 1 1 3 16(2)描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，1)，( ，1)，(，1)，( ，3)，(2，1)2 32(3)连线：用光滑曲线将描出的五个点连接起来，得函数 y2sin x1， x0,2的简图，如图所示课堂小结1 “五点法”是我们画 ysin x图像的基本方法，在区间0,2上，其横坐标分别为 0， ，2 的五个点分别是最高点、最低点以及与 x轴的交点，这五个点在确定函2 32数的图像形状时起
9、到关键作用，在精确度要求不太高时，我们常常先描出这五个点，然后用光滑的曲线将它们连接起来，再将曲线向左、向右平行移动(每次移动 2 个单位长度)，就得到正弦函数的简图2作图像时，函数自变量要用弧度制，这样自变量与函数值均为实数.基础过关1函数 ysin x， x 的简图是( )2， 32答案 D2在同一平面直角坐标系内，函数 ysin x， x0,2与 ysin x， x2，4的图像( )A重合 B形状相同，位置不同C关于 y轴对称 D形状不同，位置不同解析 根据正弦曲线的作法可知函数 ysin x， x0,2与 ysin x， x2，47的图像只是位置不同，形状相同答案 B3 y1sin x
10、， x0,2的图像与直线 y2 的交点的个数是( )A0 B1C2 D3解析 由 1sin x2，得 sin x1， x0,2，只有当 x 时，sin x1.2答案 B4函数 ysin x， x 的图像与函数 y x的图像交点个数是_2， 2解析 在同一坐标系内画出图像答案 15用五点法画 ysin x， x0,2的简图时，所描的五个点的横坐标的和是_解析 所描五个点为(0,0)，( ，1)，(，0)， ，(2，0)，横坐标和为2 (32， 1)0 25.2 32答案 56用五点法作函数 y2 sin x， x0,2 的图像12解 列表如下：x 0 2 32 2sin x 0 1 0 1 02
11、 sin x122522322描点作图，如图所示：87求函数 f(x)lg sin x 的定义域16 x2解 由题意， x满足不等式组Error!即Error! 作出 ysin x的图像，如图所示结合图像可得： x4，)(0，)能力提升8方程 sin x 的根的个数是( )x10A7 B8C9 D10解析 在同一坐标系内画出 y 和 ysin x的图像如图所示：x10根据图像可知方程有 7个根答案 A9已知函数 y2sin x 的图像与直线 y2 围成一个封闭的平面图形，(2 x 52)那么此封闭图形的面积为( )A4 B8C4 D2解析 数形结合，如图所示y2sin x， x 的图像与直线
12、y2 围成的封闭平面图形面积相当于由2， 52x ， x ， y0， y2 围成的矩形面积，即 S 24.2 52 (52 2)答案 C10函数 y 的定义域是_log12sin x9解析 由 log sin x0 知 0sin x1，由正弦函数图像知 2k x2k， kZ.12答案 (2 k，2 k)， kZ11如果直线 y a与函数 ysin x， x 的图像有且只有一个交点，则 a的取值0，32 范围是_答案 1,0)112函数 f(x)2sin x|sin x|， x0,2的图像与直线 y m1 有且仅有两个交点，求 m的范围解 f(x)2sin x|sin x|Error!作出图像分析，由有且仅有两个交点，可得0 m13 或1 m10，即1 m2 或2 m1，即 m的范围为 m|2 m2 且 m113(选做题)判断方程 x2sin x0 的根的个数解 设 f(x) x2， g(x)sin x，在同一直角坐标系中画出它们的图像，如图所示由图知 f(x)和 g(x)的图像有两个交点，即方程 x2sin x0 有两个根.
