1、統計學 上實習十一統計估計-點估計繳交日期：2007/12/18 林惠玲老師答題請附解釋或計算過程，否則不予計分一、(5 points) X1,X2,Xn為一組母體平均數為 ，母體變異數為 2 之 iid 隨機變數，假設 nXii11)(22SiinXinin122)(a) 試證 為 的不偏估計式nX(b) 試證 為 的一致性估計式(c) 試證 為 2 的不偏估計式nS(d) 試證 為 2 的偏誤估計式。請問偏誤為多少？(e) 試證 為 2 的漸近不偏估計式。n二、(3 points) X1,X2,Xniid 點二項分配，E(X i)=p。令nXpii1(a) 是否為 p 的不偏估計式？(b)
2、 是否為 pq 的不偏估計式？q(c) 續上小題，若非，試求 pq 之不偏估計式。三、(6 points) 設 Xiiid N(,1)，i=1,2,3 ，令 ， ，312X322X3213(a) 試分別計算 ， ， 之均方差(MSE)123(b) 試計算 相對 以及 相對 之相對有效性，並指出 ， ， 中33123何者最具有效性？四、(5 points)假設 是由定義在區間 的均等分配(uniform distribution)nX,1 ,0所抽出的隨機樣本.，定義樣本平均數為 .nXi1(1) 樣本平均數是否為 的不偏估計式(unbiased estimator)?(2) 樣本平均數是否為
3、的一致性估計式(consistent estimator)?(3) 試求 的不偏估計式(4) 比較由(3)找出之不偏估計式與 之相對有效性。X(5) 何者較佳，為什麼?五、(4 points) 工廠的生產線，其每天的產量X與每天所產瑕疵品的比例p為獨立的隨機變數，有如下的機率分配：， 。fpp()103201203405.,.,.,.,.， 。fxX)2x55,每天的瑕疵品數 ，亦為一隨機變數。若已知上個月每天的平均產量與YP平均瑕疵品產量分別為1,000單位與30單位，且每天的瑕疵品平均比率為0.03，則：(a) X是否為上個月平均產量的不偏估計式？(b) p 是否為上個月平均瑕疵品比率的不
4、偏估計式？(c) Y是否為上個月平均瑕疵品數的不偏估計式？(d) Y 的變異數是多少？統計學 上實習十一統計估計-點估計繳交日期：2007/12/18 林惠玲老師一、(a) nXEnii1)()(b) 不偏n0 as n nXViin 221)()(故 為一致性估計式(c) 請參考課本 p.446(d) nnXEii 1)1()( 222 偏誤: (e) 222lim)(li nnn二、(a) ，不偏pnE)(b) pqnpqn npqnppqnXEXiiiniiii 1)1( )()( 2222211，非 pq 之不偏估計式(c) pqnqpnE1)1(之 不 偏 估 計 式為三、(a) 由於三者皆為不偏，故均方差即為其變異數 5)(4)(3111 XVVMSE9)(222 31)()(2133 S(b) 513ME最具有效性923S3四、(1) 非不偏估計式2)()()11nXEnXEniiii(2) 非漸近不偏，故非一致性估計式)(lim)(li1iinn(3) ，故 ， 為一不偏估計式2XE2XX(4) 14312)(222 nnVEMSX 若 n=1，則兩者同樣有效若 n1，則 相對較有效(5) 較佳X2若 n=1，則兩者同樣有效，且 不偏，故 較佳X22若 n1，則 相對較有效，且 不偏，故 較佳五、
