1、 专题 立体几何中的平行类（线面平行、面面平行）证明类型一、直线与平面平行的判定（判定一条直线和一个平面平行，一般利用线面平行的判定定理，或者转化为经过这条直线的平面和这个平面平行.）1、判定定理：符号语言 ： 利用判定定理：关键是找平面内与已知直线平行的直线。可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线。2、利用面面平行的性质定理：当两平面平行时，其中一个平面内的任一直线平行于另一平面。类型二、平面与平面平行的判定1、面面平行的定义：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行2、平行平面的判定定理： 如果一个平面内
2、有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行3、符号语言：4、判定平面与平面平行的常用方法：利用判定定理：转化为判定一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面。客观题中，也可直接利用一个平面内的两条相交线分别平行于另一个平面的两条相交线来证明两平面平行；利用面面平行的传递性： /.例 1、如图所示，已知 P、 Q 是单位正方体 ABCD-A1B1C1D1 的面 A1B1BA 和面 ABCD 的中心。证明：PQ/平面 BCC1B1【证明】方法一：如图，取 B1B 中点 E,BC 中点 F，连接 PE、QF、EF，因为在三角形 A1B1B 中，P、E 分别是 A1B 和 B1B 的
3、中点，所以 PE A1B1，1/2同理，QF AB，又因为 A1B1 AB,所以 PE QF/所以四边形 PEFQ 是平行四边形，所以 PQ/EF.又 PQ 平面 BCC1B1，EF 平面 BCC1B1，所以 PQ/平面 BCC1B1.方法二：如图，取 AB 的中点 E,连接 PE,QE,因为 P 是 A1B 的中点，所以 PE/A1A,有 A1A/BB1,所以 PE/BB1又 PE 平面 BCC1B1,BB1 平面 BCC1B1，同理 QE/平面BCC1B1，有 PE、QE 平面 PQE,PE QE=E,所以平面 PQE/平面 BBC1B1，又 PQ 平面 PQE,所以 PQ/平面 BCC1
4、B1.例 2 如图所示，在底面是平行四边形的四棱锥 PABCD 中，点 E 在 PD 上，且PEED21，在棱 PC 上是否存在一点 F，使 BF平面 AEC？并证明你的结论解 当 F 是棱 PC 的中点时，BF平面 AEC，证明如下：取 PE 的中点 M，连接 FM，则 FMCE，由 EM PEED，知 E 是 MD 的中点，设 BDAC O ，则 O 为 BD 的中点，12连接 OE，则 BMOE，由可知，平面 BFM平面 AEC，又 BF平面 BFM，BF平面 AE例 3.如图，已知正方形 ABCD的边长是 13，平面 ABCD外一点 P到正方形各顶点的距离都为 13， ,MN分别是 ,
5、P上的点，且:5:8PA，（1）求证： /平面 ；（2）求线段 的长。解：连 AN 并延长和 BC 交于 E 点，则 EN：NA=BN：ND （1）证明： /,NPMA而 N平面 PBC，/PE平面 BC/平面（2）解：由余弦定理可得： 22 91cos60,8EBE例 4.如图，矩形 ABCD 和梯形 BEFC 有公共边 BC，BE/CF，BCF=90 0，求证：AE/平面DCF【解析】过点 E 作 EGCF 交 CF 于 G，连接 DG，可得四边形 BCGE 为矩形。又 ABCD 为矩形，所以 AD EG，从而四边形 ADGF 为平行四边形，故 AE/DG。因为 AE/平面 DCF，DG
6、平面 DCF，所以 AE/平面 DCF【点评】作 EGCF 于 G AD EG AE/DG AE/平面 DCF/例 5、如下图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M、O 分别是 A1B、AC 的中点求证：OM平面 BB1C1C.【证明】 方法 1：连接 AB1，B 1C，如右图因为 M 是 AB1的中点，O 是 AC 的中点，所以 MOB1C.又 MO平面 BB1C1C，B 1C平面 BB1C1C，所以 OM平面 BB1C1C.方法 2：取 AB 的中点 N，连接 MN、ON，如图，则 MNBB1.又 MN平面 BB1C1C，BB 1平面 BB1C1C，所以 MN平面 BB1C1C.同理
7、可得 ON平面 BB1C1C.又 MNONN ，所以平面 MON平面 BB1C1C.而 OM平面 MON，所以 OM平面 BB1C1C.例 6.正方形 ABCD 与正方形 ABEF 所在平面相交于 AB，在 AE、BD 上各有一点 P、Q，且AP=DQ.求证：PQ平面 BCE.【证明】方法一 如图所示，作 PMAB 交 BE 于 M，作 QNAB交 BC 于 N，连接 MN.正方形 ABCD 和正方形 ABEF 有公共边 AB，AE=BD.又AP=DQ，PE=QB，又PMABQN， ， ， ，PM QN，AEPBMBDQCNCNAPM四边形 PMNQ 为平行四边形，PQMN.又 MN 平面 B
8、CE，PQ 平面 BCE，PQ平面 BCE.方法二 如图所示，连接 AQ，并延长交 BC 于 K，连接 EK，AE=BD，AP=DQ，PE=BQ， = PEABQD又ADBK， = KAQ由得 = ，PQEK.PEA又 PQ 平面 BCE，EK 平面 BCE，PQ平面 BCE.方法三 如图所示，在平面 ABEF 内，过点 P 作 PMBE，交 AB 于点 M，连接 QM.PMBE，PM 平面 BCE，即 PM平面 BCE， = PEAMB又AP=DQ，PE=BQ， = QD由得 = ，MQAD，MBAMQBC，又MQ 平面 BCE，MQ平面 BCE.又PMMQ=M，平面 PMQ平面 BCE，P
9、Q 平面 PMQ，PQ平面 BCE.例 7、已知四棱锥 PABCD 的三视图如下(1)求四棱锥 PABCD 的体积；(2)若 E 是侧棱 PC 的中点，求证：PA 平面 BDE；(3)若 E 是侧棱 PC 上的动点，不论点 E 在何位置，是否都有 BDAE？证明你的结论【解析】 (1)由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥 PABCD 的底面是边长为 1 的正方形，侧棱 PC底面 ABCD，且 PC2，V PABCD SABCDPC13 23(2)连结 AC 交 BD 于 F，则 F 为 AC 的中点，E 为 PC 的中点，PAEF，又 PA 平面 BDE 内，PA平面 BDE(3)不论点 E 在何
10、位置，都有 BDAE证明：连结 AC，ABCD 是正方形，BDACPC底面 ABCD 且 BD平面 ABCD，BD PC又 ACPCC，BD平面 PAC，不论点 E 在何位置，都有 AE平面 PAC不论点 E 在何位置，都有 BDAE例 8、已知直三棱柱 的所有棱长都相等，且 分别为 的中点. 1CBAFED, 1,ABC(I) 求证：平面 平面 ；/1FED（II）求证： 平面 . BCA【证明】 （）由已知可得 ， ，1/B1FE四边形 是平行四边形，EF1， /A平面 ， 平面 ，CB11FCB1平面 ； /EF又 分别是 的中点，D,1,DFEBAC1A1， CBDE1/平面 ， 平面
11、 ，F1FCB1平面 ； /1平面 ， 平面 ， ,AEDEADEAD平面 平面 . FCB1() 三棱柱 是直三棱柱，1面 ，又 面 ，1ADABC. C又 直三棱柱 的所有棱长都相等， 是 边中点，1BDBC是正三角形， ， ACA而 ， 面 ， 面 ，1C11B1面 ， D1B故 . A四边形 是菱形， ， 1CCB1而 ，故 , BE/1E由 面 ， 面 ，DAA， DEA得 面 . 1C例 9、正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M 、N、E 、F 分别是棱A1B1、A1D1、B1C1 、C1D1 中点(1) 求证：平面 AMN平面 EFDB；(2) 求异面直线 AM、BD 所成角
12、的余弦值【解析】(1) 易证 EFB1D1 MNB1D1 EFMNANBE 又 MNANN EFBEE面 AMN面 EFDB(2) 易证 MNBD AMN 为 AM 与 BD 所成角易求得 cosAMN 10【点评】本题直接利用一个平面内的两条相交线分别平行于另一个平面的两条相交线来证明两平面平行。例 10.如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，O 为底面 ABCD 的中心，P 是 DD1的中点，设Q 是 CC1上的点，问：当点 Q 在什么位置时，平面 D1BQ平 面PAO？【解析】当 Q 为 CC1的中点时，平面 D1BQ平面 PAO.Q 为 CC1的中点，P 为 DD1的中点，Q
13、BPA.P、O 为 DD1、DB 的中点，D 1BPO.又 POPA=P，D 1BQB=B，D1B平面 PAO，QB平面 PAO，平面 D1BQ平面 PAO.例 11、如图所示，正方体 1ACD中， EF、 分别是 ABC、 的中点， G为 1D上一点，且 1:2G， BO，求证：平面 GO/平面 1EF证明：设 EFBD H ，在DD 1H 中，132DGO，GO/D 1H，又 GO平面 D1EF，D 1H平面 D1EF，GO/平面 D1EF，在BAO 中，BEEF ， BHHO， EH/AOAO平面 D1EF，EH 平面 D1EF， AO/平面 D1EF，AOGOO，平面 AGO/平面 D1EF.
