1、4.3 角1角观察下面的图形，你发现有什么共同的特点吗？这些图形都给了我们角的形象角是最简单的平面图形之一，正确理解和认识角，对学好今后的平面几何知识具有非常重要的意义(1)角的概念具有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角，公共端点叫做角的顶点，两条射线叫做角的边“角也可以看成是一条射线绕着端点，从一个位置旋转到另一个位置所成的图形” ，这是从运动观点来定义角，它不仅包括前面所定义的角，而且角的大小不受任何限制，更能揭示角的概念的本质(2)角的表示方法用三个大写英文字母表示：用角的两边上的两个大写字母和顶点的字母表示角，如图(1)中的角，可记为 AOB，注意顶点的字母写在中间，各条边上的点 A
2、， B 写在两旁；用一个大写英文字母表示：在角的顶点处只有一个角时，也可以只用顶点的字母表示角，如图(1)中的 AOB 也可以记作 O，一个顶点处有两个以上的角时，不能只用顶点的一个字母来表示，如图(2)中以 O 为顶点的角有 AOB， BOC， AOC，就不能用 O 来表示；用一个阿拉伯数字表示：在角的顶点处加上弧线注上数字，就可以用这个数字来表示角，如图(2)中 AOB 可记为1；用一个小写希腊字母来表示：在角的顶点处加上弧线注上小写希腊字母，就可以用这个小写希腊字母来表示角，如图(2)中 BOC 可记为 .注意：以上四种表示方法的前面还必须加上角的符号“” (3)角的度量和换算度量的单位
3、是“度” 、 “分” 、 “秒” ，把周角分成 360等份，每 1 份叫做 1 度的角记作 1的角度、分、秒是六十进制，计算时要防止与十进制混淆，换算关系如下：160，160，1 ，1 .(160) (160)角度单位的换算法则：a把度换算成度、分、秒，从左往右依次进行整数度保持不变，先把不满 1 度的小数度化为分；再把不满 1 分的小数分化为秒，最后度、分、秒和写在一起b把度、分、秒换算成度，从右往左进行先把秒化为分(此时用除法)，再把分化为度，最后把原来的度与由分和秒化来的度相加(4)角的分类(按角的大小划分)周角：射线 OA 绕点 O 旋转，当终止位置与起始位置重合时所成的角叫周角，如图
4、(1)中 AOB 就是一个周角；1 周角360；平角：射线 OA 绕点 O 旋转，当终止位置 OB 与起始位置 OA 成一条直线时，所成的角叫平角，如图(2)中， AOB 就是一个平角；1 平角180；直角：度数等于 90的角是直角，如图(3)中， AOC 与 BOC 就是一个直角；锐角：度数大于 0，且小于 90的角是锐角；钝角：度数大于 90，且小于 180的角是钝角图(1) 图(2)图(3)(5)方向角如图中的射线 OA，OB，OC，OD 分别称为：北偏东 40、北偏西 65、南偏西 45、南偏东 20.这里要注意 OD 不要说成是东偏南 70，同样，OC 也不要说成是西偏南 45.对于
5、偏向 45的方位角，有时也可以说成东南(北)方向或西南(北)方向如图中的 OC，除了说成南偏西 45外，还可以说是西南方向，但不要说成南西方向【例 11】 图中有几个角？是哪几个角？分析：先以射线 OA 为角的一边，因为在射线 OA 的左侧有 3 条射线 OB， OC， OD，所以可数出 3 个角 AOB， AOC， AOD；再以射线 OB 为角的一边，因为在射线 OB 的左侧有两条射线 OC， OD，所以可数出两个角 BOC、 BOD；再以射线 OC 为角的一边，因为在射线OC 的左侧只有一条射线 OD，所以只可数出一个角 COD.因此，图中有 3216 个角解：图中有 6 个角；它们分别是
6、 AOB， AOC， AOD， BOC， BOD， COD.析规律 角的计数公式 有公共端点的 m 条射线组成的角(小于平角的角)的个数为m(m1)个12【例 12】 计算 16524_；47.28_.解析：要把 16524化成单位为“度”的数，只要逐步把“秒”化成“分” ，再把 “分”化成“度” ；反之，要把 47.28化成几度几分几秒，只要先把 0.28化成“分” ，再把其中的小数化成“秒” 具体解答如下：16524165 16(2460)5.416 16.09；47.28470.28470. 286047(5.460)16.847160.860471648471648.答案：16.09
7、47 16 48解技巧 角度单位的换算方法 角的换算单位是 60 进制，几分几秒化成度，要从秒开始，除以进率 60；度化成几分几秒，要从分开始，乘以进率 60.2.角的比较和运算(1)角的大小的比较方法类比线段的大小比较，我们可以得到角的大小比较的三种方法：估测法：用此方法比较角的大小较为直观，但不够准确，适用于角度差别明显不同或者对角度要求不高时的角的大小比较；度量法：此方法主要是指用量角器分别量出每个角的度数，再根据度数比较大小其具体做法是：a.对中(顶点对中心)；b.重合(一边与量角器上的零线重合)；c.读数(读出另一边所在线的度数)度量法主要用于较为精细的角的大小比较；叠合法：此方法的
8、具体做法是把两个角的顶点及一边分别重合，另一边都在重合边的同一侧，通过另一边所在的位置进行判断叠合法具有较强的实践操作性，是比较角的大小的基本方法，上面所说的度量法其本质也是叠合，即把量角器上的相应角度与被测角进行叠合比较谈重点 角的大小关系的表示 角的大小关系有三种：小于、等于、大于，可用符号“” “” “”连接角的大小与边的长短、粗细无关(2)角的画法用三角板画我们所用的一副三角尺中，其中一个三角尺各角的度数为 30，60，90；另一个三角尺各角的度数为 45，45，90.用这样的三角尺可以测量这些特殊的角，也可以画出这些特殊的角。同时，我们利用一副三角尺也可以画出除以上角之外的特殊角比如
9、：a画 15的角画法一：(如图 1)利用三角尺画 AOB45，在 AOB 内部画 COB30，则 AOC453015.画法二：(如图 2)利用三角尺画 COD60，在 COD 内部画 EOD45，则 COE604515.b画 75的角画法：(如图 3)利用三角尺画 EOF45，在 EOF 外画 HOE30，则 HOF453075.c画 135的角画法一：(如图 4)画 MON90，在 MON 外部画 POM45，则 PON135.画法二：(图略)用一个平角减去一个 45角画法三：(图略)用 30角加上 60角再加上 45角那么，利用一副三角尺还能画出其他(大于 0小于 180)角吗？让我们来试
10、一试1056045；105303045，1206060；1209030；1203030601509060；15018030165904530；165606045我们把这些特殊角按从小到大的顺序排列为 15，30，45，60，75，90，105，120，135，150，165.不难看出，从 15开始，后面的每一个角都比前面的角大 15，共有 11 个角由以上规律，我们就能很快利用一副三角尺画出所有的特殊角了用量角器画此方法一般用来画非特殊的角，如 11的角、37的角等等，也可画一个角等于已知角，具体做法是先用量角器量出已知角的度数，再画一个等于这个度数的角此外，用量角器还可以画两个角的和、差或一
11、个角的几倍、几分之一例如画一个角等于 72.画法：a.画一条射线 OA，b.用量角器画 AOB72(如图)说明：使用量角器画角的步骤是：对中、重合、读数如本例中使量角器的中心对准射线 OA 的端点 O(即对中)，让量角器 0的边与射线 OA 重合(即重合)，然后找出所画角的度数 72(即读数)，画点 B，画出射线 OB.用圆规和直尺画用尺规作图的方法作出一个角等于已知角时要严格按教材中指明的步骤进行谈重点 尺规作图的注意事项 用圆规和直尺作一个角等于已知角时，一定要保留作图痕迹(3)角平分线角平分线是角中的一个重要概念，它是一条射线，我们可以类比线段的中点来认识它在学习角平分线时要注意文字语言
12、与符号语言的相互转化如图，文字语言： OC 是 AOB 的平分线或 OC 平分 AOB.符号语言： AOC BOC； AOC AOB 或 BOC AOB；12 12 AOB2 AOC 或 AOB2 BOC.(4)角的运算角的加减运算要把握以下几点原则：a.度与度相加减，分与分相加减，秒与秒相加减；b.相加时，加完以后如果出现了秒或分超过 60 的，要从右往左依次向上进位，换算成标准的度、分、秒形式；c.相减时，如果出现了分或秒不够减的情况，要从左往右依次向上一级借位图中的角也可用和差表示如图， AOC AOB BOC； AOB AOD BOD，或 AOB AOC BOC.这说明两个角相加或相减
13、，所得的和或差仍是角【例 2】 已知一条射线 OA，若从点 O 再引两条射线 OB， OC，使 AOB60， BOC20，求 AOC 的度数分析：根据题目中的条件，我们很容易画出 AOB，但在画 BOC 时，边 OC 是在 AOB的内部，还是在 AOB 的外部呢？题目没有给出它的位置，因而解答时就要考虑两种情况解：分两种情况讨论(1)OC 在 AOB 的内部时，如图(1)所示，得 AOC AOB BOC40；(2)OC 在 AOB 的外部时，如图(2)所示，得 AOC AOB BOC80.解技巧 解决几何问题要画图 对于有些几何题，特别是没有附图题，我们在解题过程中，一定要认真进行分析，正确进
14、行分类，配上合适的图形，这样才能正确求解这种思想就是数学中非常重要的分类讨论思想，以后学习中会经常遇到，请同学们要引起足够的重视3角的特殊关系(1)互为余角、互为补角的概念互为余角的定义：如果两个角的和等于 90(直角)，称这两个角互为余角互为补角的定义：如果两个角的和等于 180(平角)，称这两个角互为补角互为余角与余角、互为补角与补角的区别它们都是不同的概念，互为余角或互为补角是指两角之间的特定的数量关系，余角与补角是一个角相对于另一个角而言的同一个角的余角与补角的关系1 的余角表示为 901，1 的补角表示为 1801，由此可见，同一个角的补角比它的余角大 90.(2)互余、互补的性质同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等【例 3】已知1 与2 互余，且135，则2 的补角的度数为_解析：因为1 与2 互余，所以1290.又因为135，所以2903555.所以 180218055125，即2 的补角的度数为 125.答案：125
