1、嘉兴市 20172018 学年第一学期期末检测高三数学试题卷 第卷一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分 ）1. 已知集合 ， ，则A. B. C. D. 【答案】D【解析】 ,选 D.2. 若复数 ，为虚数单位，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】 ,选 B.,3. 点 到直线 的距离是A. B. C. 1 D. 【答案】A【解析】点 到直线 的距离是 ,选 A.4. 已知 是非零实数，则“ ”是“ ”的A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】D点睛：充分、必要条件的三种判断方法1定义法：直接判断“若 则
2、 ”、 “若 则 ”的真假并注意和图示相结合，例如“ ”为真，则 是 的充分条件2等价法：利用 与非 非 ， 与非 非 ， 与非 非 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法3集合法：若 ，则 是 的充分条件或 是 的必要条件；若 ，则 是 的充要条件5. 实数 满足 ，若 的最小值为 1，则正实数A. 2 B. 1 C. D. 【答案】C【解析】由 ,舍; 由 作可行域,则直线过点 A 取最小值 1,满足题意,所以 ,选 C点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的
3、斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.6. 某几何体的三视图如图所示(单位： )，则该几何体的表面积(单位： )是A. B. C. D. 【答案】B【解析】几何体为一个正方体与一个正四棱台的组合体,所以表面积为,选 B点睛:空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用7. 函数 的图象与直线 相切，则实数A. B. 1 C. 2 D. 4【答案】C【解
4、析】 选 C8. 若 在 内有两个不同的零点，则 和A. 都大于 1 B. 都小于 1C. 至少有一个大于 1 D. 至少有一个小于 1【答案】D【解析】 + = ，因为 在 内有两个不同的零点，所以 + ,即 和 至少有一个小于 1，选 D9. 设点 是双曲线 与圆 在第一象限的交点， 是双曲线的两个焦点，且 ，则双曲线的离心率为A. B. C. 13 D. 【答案】A【解析】因为 , ,所以 ,因为 ，选 A.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 的方程或不等式，再根据 的关系消掉 得到 的关系式，而建立关于 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质
5、、点的坐标的范围等.10. 如图，正方体 的棱长为 1， 分别是棱 的中点，过 的平面与棱 分别交于点 .设 ， 四边形 一定是菱形； 平面 ；四边形 的面积 在区间 上具有单调性；四棱锥 的体积为定值.以上结论正确的个数是A. 4 B. 3 C. 2 D. 1【答案】B【解析】因为对面互相平行，所以 四边形 一定是平行四边形；因为 EF垂直平面 BDD1B1,所以 EF 垂直 GH，所以四边形 一定是菱形；因为 AC/EF，所以 平面 ；四边形 的面积 在区间 上先减后增；四棱锥 的体积为 ,所以正确的是 1,2,4，选 B点睛：求体积的两种方法：割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补
6、法转化成已知体积公式的几何体进行解决等积法：等积法包括等面积法和等体积法等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到第卷二、填空题（本大题共 7 小题，多空题 6 分，单空题 4 分，共 36 分）11. 各项均为实数的等比数列 ，若 ， ，则 _，公比 _【答案】 (1). 3 (2). 【解析】 12. 已知 ，则 项的二项式系数是_；_.【答案】 (1). 15 (2). 64【解析】 项的二项式系数是 ,点睛：赋值法研究二项式的系数和问题“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如 的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法， 只需令 即可；对形如的式
7、子求其展开式各项系数之和，只需令 即可.13. 已知函数 ，则 的单调递增区间是_ ； _【答案】 (1). (2). 3【解析】因为 为单调递增函数，所以由 得 的单调递增区间是 ； 14. 直角 中， ， 为 边上的点，且 ，则 _；若，则 _【答案】 (1). 4 (2). 【解析】建立直角坐标系，设 ，所以 ，由 得 15. 在锐角 中，内角 所对的边分别是 ，若 ，则 的取值范围是_【答案】因为锐角 ，所以 16. 有编号分别为 1，2，3，4 的 4 个红球和 4 个黑球，从中取出 3 个，则取出的编号互不相同的概率是_【答案】【解析】8 个球，从中取出 3 个，共有 种基本事件其
8、中取出的编号互不相同的有 种基本事件，所以概率为 17. 已知实数 满足 ,则 的取值范围是 _【答案】【解析】设 因此 因为 ，所以 ，即取值范围是点睛：利用三角函数的性质求范围，先通过变换把函数化为 的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征三、解答题（本大题共 5 小题，共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18. 已知函数 的部分图象如图所示.（）求 的解析式；（）设函数 ，求 的值域【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1）先根据最高点得振幅,再根据四分之一个周期求 ,最后代入最值点求 （2）先根据二倍角公式以及配角公式将函数化为基本
9、三角函数,再根据正弦函数性质求值域试题解析：（）由图象得 周期 ，所以 ；又由 ，得 ；所以 .（），因为 ， ， ，所以 的值域为 19. 已知函数 ， （为自然对数的底数） （）若 是 的极值点，求实数的值；（）求 的单调递增区间【答案】(1) (2)见解析【解析】试题分析：（1）先求导数,再根据 ，得实数的值；（2）先求导函数零点,再根据两零点大小分类讨论,根据对应导函数符号确定单调增区间试题解析：（） 由 ，得 ，此时 是 的极小值点.（）由 ，得 或 .当 时， ， 的单调递增区间是 ；当 时， ， 的单调递增区间是 ；当 时， ， 的单调递增区间是 .20. 如图，在矩形 中，点
10、在线段 上， ， ，沿直线 将 翻折成 ，使点 在平面 上的射影 落在直线 上.（）求证：直线 平面 ；（）求二面角 的平面角的余弦值.【答案】(1)见解析(2) 【解析】试题分析：（1）根据射影定义得 ,再根据线面垂直得 ,最后根据线面垂直判定定理得结论（2）连接 交 于点 .则根据二面角定义得 是二面角的平面角的平面角.再通过解三角形得二面角 的平面角的余弦值.试题解析：（）证明：在线段 上取点 ，使 ，连接 交 于点 .正方形 中， ， 翻折后， ， ，又 ， 平面 ，又 平面 ， 平面 平面又 平面 平面 ，点 在平面 上的射影 落在直线 上，又 点 在平面 上的射影 落在直线 上，点
11、 为直线 与 的交点，平面 即平面 ， 直线 平面 ；（）由（）得 是二面角 的平面角的平面角.，在矩形 中，可求得 ， .在 中， ，二面角 的平面角的余弦值为 .点睛:立体几何中折叠问题,要注重折叠前后垂直关系的变化,不变的垂直关系是解决问题的关键条件.线面角的寻找，主要找射影，即需从线面垂直出发确定射影，进而确定线面角.21. 如图， 为半圆 的直径，点 是半圆弧上的两点， ，曲线 经过点 ，且曲线 上任意点 满足： 为定值. （）求曲线 的方程；（）设过点 的直线与曲线 交于不同的两点 ，求 面积最大时的直线的方程【答案】(1) (2) 或【解析】试题分析：（1）先求 P 点坐标,再根
12、据两点间距离公式求 ,最后根据椭圆定义确定 a,c,b（2）先设 ，与椭圆方程联立，结合韦达定理以及弦长公式求 EF，根据点到直线距离公式求高，再根据三角形面积公式得 面积关于 k 的函数关系式，最后根据基本不等式求最值，根据等号成立条件确定直线的方程试题解析：（）根据椭圆的定义，曲线 是以 为焦点的椭圆，其中 ，.， ，曲线 的方程为 ；（）设过点 的直线的斜率为 ，则 .由 得 ，又 点 到直线的距离 ， 的面积 .令 ，则 .当且仅当 ，即 时， 面积取最大值 .此时直线的方程为 或 22. 已知数列 满足 ， （）求数列 的通项公式；（）求证：对任意的 ，都有 ； （ ） 【答案】(1) (2)见解析【解析】试题分析：（1）对递推关系式进行变形，转化为一个常数列 ，即得数列 的通项公式；（2）先对通项进行放缩： ，再根据裂项相消法求和，即证得结论先倒序相加法求和，再利用基本不等式进行放缩求和，最后证明和值与结果大小试题解析：（） 当 时， ，当 时， 又 ， ， （）证明：当 时， 成立；当 时， 设 ，则 ，当 时， ， ，当且仅当 时等号成立当 时， ，即 点睛:证明数列不等式， ，常用方法为方缩法，经过放缩，将数列化为可求和，最后再比较和值与结果大小即可
