1、数学思想在一次函数中的应用数学思想方法是数学知识的精髓，是我们解决数学问题的一把金钥匙，是学好数学的关键，在复习阶段若能进一步挖掘和运用数学思想方法，对复习效果往往能事半功倍，以一次函数问题中蕴含的数学思想方法为例，说明如下1函数思想函数方法就是应用运动、变化的观点来分析问题中的数量关系，抽象升华为函数的模型，进而解决有关问题的方法，函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数方法可以解决许多数学问题 函数思想是指用运动变化观点来研究两个变量之间的相互对应关系，灵活运用函数思想会给解决问题代来许多方便例 1 小明在暑期社会实践活动中，以每千克 0.8 元的价格从批发市场购进若干千克西瓜
2、到市场上去销售，在销售了 40 千克西瓜之后，余下的每千克降价 0.4 元，全部售完销售金额与售出西瓜的千克数之间的关系如图所示请你根据图象提供的信息完成以下问题：(1)求降价前销售金额 y(元)与售出西瓜 x(千克)之间的函数关系式(2)小明从批发市场共购进多少千克西瓜?(3)小明这次卖瓜赚了多少钱? 【分析】这类函数又称分段函数，其特点是在自变量不同的范围内，函数的关系式不同，图象也不同应注意两函数的转折点的坐标，它起到承上启下的功能解:（1）设函数关系未 y=kx， 则 k= 641.,0 所以 y=1.6x（2）由（1）知，降价前西瓜售价每千克 1.6 元，所以降价 04 元西瓜每千克
3、售价 1.2元，所以降价后销售的西瓜为（7664）1.2=10（千克），所以小明从批发市场共购进50 千克西瓜（3）76（500.8）=36（元）， 即小明这次卖瓜赚了 36 元【评注】从图象中获取信息，将实际问题与图象结合起来，是近年来的中考热点问题，也是新课标的要求 2数形结合数形结合法是指将数与形结合起来进行分析、研究、解决问题的一种思想方法数形结合法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用例 2 如图， 1l表示神风摩托车厂一天的销售收入与摩托车销售量的关系； 2l表示摩托车厂一天的销售成本与销售量的关系(1)写出销售收入与销售量之间的函数关系式；(2)写出销售成本与销售量之间的
4、函数关系式；(3)当一天的销售量为多少辆时，销售收入等于销售成本；(4)当一天的销售超过多少辆时，工厂才能获利？（利润=收入-成本）【解析】1）设 ykx，因为直线过(4，4)，则 4=6k， k=1，所以 y=x;（2）设 b，因为直线过（0，2）、（4，4）两点，所以ykx又 k，所以 12k，所以 2yx（3）由图象知，当 x时，销售收入等于销售成本或 1 4x（4）由图象知：当 4时，工厂才能获利【评注】 数形结合是解答本题的思想基础，利用待定系数法求解析式是解决问题的前提，由两解析式组成方程组的交点是解决问题的关键由图象观察信息时应注意：比较两图象的高低；明确两图象的交点，图象的上下
5、位置的含义3分类讨论法分类讨论法是在对数学对象进行分类的过程中寻求答案的一种思想方法分类讨论法既是一种重要的数学思想，又是一种重要的教学方法分类的关键是根据分类的目的，找出分类的对象，分类既不能重复，也不能遗漏，最后要全面总结例 3 东风商场文具部的某种毛笔每支售价 25 元，书法练习本每本售价 5 元该商场为了促销制定了两种优惠方案供顾客选择甲：买一支毛笔赠送一本书法练习本乙：按购买金额打九折付款某校欲为校书法兴趣组购买这种毛笔 10 支，书法练习本 x（ x10）本如何选择方案购买呢？【分析】本题具有一定的开放性根据题目提供的条件，可确定出两种优惠方案，实际所花费金额 y 元与书法练习本
6、x 之间的关系式，结合函数的关系式，自变量的取值范围，利用函数图象，可直观予以解决解：分别根据题意写出甲、乙两种方案的实际金额 y 元与书法练习本 x 本之间的关系式：y 甲 =（ x-10）5+2510=5 x+200y 乙 =（1025+5 x）0.9=4.5 x+225在同一直角坐标系中画出两个函数图象：解方程组 520,4.yx 得 50,4.xy所以两直线交于点（50，450）由图象很容易看到：当 1050 时 y 甲 y 乙 所以我建议：如果购买书法练习本少于 50 本时选择方案甲；如果购买书法练习本等于50 本时选择哪种方案无区别；如果购买书法练习本多于 50 本时则要选择方案乙
7、这样的购买方法最省钱【评注】 利用图象来分析问题、解决问题形象直观，在同一坐标系内，两图象的交点表示对同一 x 值，两函数值相等;图象在上面的函数值大，下面的函数值小认识这些有助于解决两函数图象有交点的问题构建一次函数模型解实际应用性问题是近几年中考的热点，对于决策性问题要注意分类讨论的思想方法的运用4方程方法方程方法是指对所求数学问题通过列方程（组）使问题得解的方法在函数及其图象中，方程方法的应用主要体现在运用待定系数法确定函数关系式中例 4 某企业有甲、乙两个长方体的蓄水池，将甲池中的水以每小时 6 立方米的速度注入乙池，甲、乙两个蓄水池中水的深度 y(米)与注水时间 x(时)之间的函数图
8、象如图所示，结合图象回答下列问题：(1)分别求出甲、乙两个蓄水池中水的深度 y 与注水时间 x 之间的函数关系式；(2)求注水多长时间甲、乙两个蓄水池水的深度相同；(3)求注水多长时间甲、乙两个蓄水池的蓄水量相同分析：由图象观察信息时应注意：比较两图象的高低；明确两图象的交点，图象的上下位置的含义解：(1)设 y 甲 =k1x+b1把(，2)和(3，0)代人，解得 kl=- ， bl=2， y 甲 =- x+223 23设 y 乙 =k2x+b2 把(0，1)和(3，4)代入，解得 k2=1， b2=1， y 乙 =x+1；(2)根据题意，得 123xy；解得 x= 所以注水 小时甲、乙两个蓄水池中水的深度相同35 35(3)设甲蓄水池的底面积为 S1，乙蓄水池的底面积为 S2， t 小时甲、乙两个蓄水池的蓄水量相同根据题意，得2Sl=36， Sl=9；(4-1) S2=36， S2=6；S1（- t+2）= S2（ t+1）解得 t=123 注水 1 小时甲、乙两个蓄水池的蓄水量相同【评注】 数形结合是解答本题的思想基础，利用待定系数法求解析式是解决问题的前提，由两解析式组成方程组的交点是解决问题的关键由图象观察信息时应注意：比较两图象的高低；明确两图象的交点，图象的上下位置的含义
