1、雙後方交會法應用於雙點定位之求解黄培毓1黄勢芳2颜木生3未知點位之求解，可利用一已知控制點及一已知後視方位角，再配合舆未知點間之夾角及距離觀測即可求得，但在不易擺設測站或無法直接觀測距離的情形下，則必須實施角度交會法。角度交會法包括有：前方交會法、側方交會法、後方交會法及雙點定位法。傳統求解後方交會法包括有：一、柯林氏(Collin)圖解法亦稱白塞爾法(Bessels Method)、二、博克哈得(Burckhardt)對數法、三、博克哈得(Burckhardt)真數法、四、喀西尼(Cassini)真數計算法。其中，柯林氏（白塞爾法）係利用兩次前方交會方法計算未知點為坐標。傳統求解雙點定位法包
2、括有：一、德蘭布雷(Delambre)對數法、二、德蘭布雷(Delambre)真數法（其中後包括座標轉移法及利用前方交會法求解未知點）。本文則利用後方交會法舆雙點定位的同質性（差異在雙點定位為兩個未知點），結合柯林氏（白塞爾法）觀念，以兩次後方交會計算模式推導雙點定位計算，並針對危險圓進行討論，使雙點定位更易實施。關鍵詞：後方交會法；雙點定位法1交通部鐵路改建工程局2交通部鐵路改建工程局2交通部鐵路改建工程局APPLICATION OF DOUBLE-BACKWARD INTERSECTION FOR TWO-POINT PROBLEMPei-Yu HuangShih-Fang HuangYe
3、n-MU Shen第九届测量攀街输史研衬畲徐文集中萃民国100年2月26日中国测量工程学龠数值法蟛前方交龠法(Forward Intersection)或耩鸦方向交黠法已知：A(NA，EA)、B(NB，EB)觐测：么PAB-ZA、么ABP=么B求解：P(Np，Ep)竖：1由A(NA，EA)、B(NB，EB)计算得AB=P；tgAe、9eA。2么尸=1800一么A一B P3以正弦定律求解AP=b舆BP=ap a b一=一=一sin么P sin么A sin么B4眵彳P=舳一么彳：9Bp=O鲋+么艿 盒ls垒前p方交舍法B5以A(NA，EA)及妒4P、b求解P(Np，Ep)。以B(NB，EB)及妒卯
4、、a求解P(Np，Ep)。6桧核雨组成果，若有差吴(公分内)则可取均值，若愈公分则需重新榆核计算。以上先就厂前方交舍法J数值计算模式作一简略就明，以提供後文敫逮有嗣厂後方交合法J引用之。後方交合法(Backward Intersection)或耩三黠明题(Three-Point Problem)数值法一堡前方变令法【柯林氏(Collin)圈解法亦耩白塞再(Bessels)法1巴知：AtNA，EA)、M(NM，EM)、BINB，EB)靓测：么APM=么口、么MPB=么求解：P(Np，Ep)A解：1遇A、B、P作一圆。拳三黠共圆作圈法：(1)连臻AB、AP、BP，分作三缘之中垂缘，三中重缘魔交於同
5、一此黠岛孩圆之圆心。(2)连接圆心至A、B、P任一黠(等距乌半径中重缘上任一黠至雨端黠等距】)，以该距雄药半径耋圆，三黠共圆。R7BP圈2柯林氏(白塞萌)後方交畲法第九届测量翠街袷交研讨t擒史集中摹民圈100年2月26日中圈测量工程晕畲2连接PM舆圆交於Q：逮接AB、AQ、BQ，设夹角LABQ=么l、LQAB=L2。3么仅=么1、13l=么2(同弧封同圆周角)4以A(NA，EA)、B(NB，EB)、么l(=么a)、Z2(=Zp)行前方交畲法计算Q(NQ，EO)。5由A(NA，EA)、B(NB，EB)、Q(NQ，EO、M(NM，EM)计算(PAQ、9召Q、妒朋Q。幸在以前方交畲法计算Q(NQ，E
6、o)畸魔已求出qL4Q、缈肋，在此可再作一次计算桧核o6投夹角LBQM=ZBQP=么3、ZMQA=XPQA=Z4。7Z32(PMQ-(PBQ、L4=OAQ-妒朋rD8L 7=3、么6=Z4(同弧封同圆周角)9以AmA，EA)、B(NB，EB)、么丫(=么3)、么6(=么4)行前方交合法计算P(Np，Ep)，即焉所求。衬输以柯林氏(白塞萌)法求解r後方交畲法j岛使用雨次广前方交龠J求解：其中么口=么1、=Z2求解Q(NQ，EQ)岛厂前方交舍J第一次使用；么y=3、么万=z4求解P(NP，EP)，即乌广前方交畲j第二次使用，故可以另稽焉厂二次前方交合法J。圃3後方交畲法以前方交合法求解有明後方交t
7、危除圆之讨谕1以袁缮珐觌黠来看後方交畲危除圆畸，可以造麽觐察，假如将M黠沿PM移勤至圆上，则恰好舆Q黠重合此畴妒垤鸯不可解所以此後方交畲位於危除圆所以熏解o2假如M逼近Q御不重合畴，雎规有解，但是由於QM桎鸯接近，由么口、么卢所得之靓测误差畲使得Q黠座棵燮得桎岛重要，因舄Q黠的小偏差龠造成9肋的大偏差，致使P黠焘生桎大的误差，造獯虚生大误差或熏法泱定黠位之四黠共圆(A、P、B、Q)所成之圆稃鸯危除圆。所以，即使P黠不位於危除圆上，即鸯接近危除圆畸，其成果仍然是不可靠(如固所示，A黠畲被偏移至A黠，若维持A黠不勤，则P黠自畲偏移)。AP固4耆P接近危除圆虚生之大偏差B第九届测量翠街洽史研讨舍袷史
8、集中莘民图100年2月26日中圜测量工程学龠筻黠定位或耩雨黠周题(TwoPoint Problem)数值法一蔓後方交合法巳知：A(NAEA)、B(NBEB) 圈5堡黠定位之堡後方交舍解觐测：APIP2=Z 1、P2PlB-2么BP2PI=么3、么PlP2A=么4求解：PI(NpI，EpI)、P2(Np2，Ev2)解：1遏A、Pl、B作一圆、遏A、P2、B另作一圆，雨圆交於A、B。圆I(APIB)舆PIP2速练交於Q2、圆2(av2B)舆PIP2逮缘交於Ql。2遵缘AQl、BQl、AQ2、BQz。3由固觌察得知，如果以Pl岛待定黠，则A、B、P2恰乌後方交舍之三侗已知黠，如果以P2鸦待定黠，则A
9、、B、P1恰鹃後方交畲之三倜已知黠。所以，此解法可耩鸯堡後方交龠法。4以圆l言，么l=么5、2=6，以A(NA，EA)、B(NB，EB)、么1、么2行前方交畲法解Q2(NQ2，EQ2)。同法，以圆2言，么3=么7、么4=么8，以A(NA，EA)、B(NB，EB)、3、么4行前方交龠法解Ql州Q1，E01)。5以圆I言，Q2已解求自可利用後方交合法求得PI；以圆2言，Ql已解求自可利用後方交畲法求得P2 o封谕以广笺後方交舍法J求解r堡黠定位J舄使用雨次厂後方交舍J求解：其中将Pl视焉未知黠而将A、B舆P2视鸯已知黠(即使P2仍是未知黠)求解之Q2亦同如l後方交舍J是岛厂後方交命J第一次使用，且
10、此I後方交舍J亦可使用雨次I前方交畲J求解；同法，将P2视尚未知黠而将A、B舆Pl视裔已知黠(即使PI仍是未知黠)求解之Ql亦同如後方交合J是舄I後方交舍J第二次使用，且此I後方交畲J亦可使用丙次l前方交龠J求解，故可以稽鸯I蔓後方交龠法j求解。蔓黠定位J。固6堡黠定位以後方交合法求解89P2第九届测量攀街洽文研讨令洽文集中摹民困100年2月26日中圈测量工程学龠有朋蔓黠定位危除圆之封输1以数值法规黠来看堡黠定位危险圆畴，可以造麽靓察，耆雨圆重合畸，P1只lJ恰好舆Ql黠重合，P2则恰好舆Q2重合，此畸l口2扁不可解，所以此後方交畲位於危除圆所以焦解。2假如P2接近圆1畸，但不重合畴，那麽圆1
11、舆PiP2黠的交黠Q2即舆圆2上的P2黠接近重合，同晴，圆2舆PIP2黠的交黠Ql即舆圆1上的Pl黠接近，由於P1舆Ql桎药接近，所X由么1、么2所得之靓测误差畲使得Q2黠座棵燮得桎南重要，同理，由么3、L4所得之靓测误差畲使得Ql黠座棵熊得桎舄重要，因此Ql舆Q2黠的小偏差舍造成缈口192的大偏差，致使Pl舆P2黠虚生桎大的误差。所以即使Pl舆P2黠不同位於危除圆上，但桎鸯接近危险圆畸，其成果仍然是不可靠。角度交畲法之解算嗣像固圈7角度交畲法求解朋像结揄利用堡後方交合法求解蔓黠定位，一如以柯林氏(白塞甬)法求解後方交畲像以堡前方交舍解後方交畲，亦即在笺黠定位的求解方面必须使用到四次I前方交舍
12、j。若能将前方交畲舆程式化，则可以由一佃f_前方交畲J程式药罩元，透遇中闰遇程辅撰即可撰寓厂後方交舍j程式；再透遏厂後方交畲j程式鸯单元，透遏中盟遇程藕撰即可撰寓堡黠定位J程式。透遏迄檬的解析遏程，封於交龠之求解模式就不必陷入傅统之数理舆三角计算款涩解法之中，蓝方便後绩鼋膦化程式计算模式罩元化之需求魔用。参考文觖史惠顺，民国80年9月，平面测量晕，圈立成功大翠工学院航空测量研究所，第249281页。 雙後方交會法應用於雙點定位之求解作者： 黄培毓， 黄勢芳， 颜木生作者单位： 黄培毓,颜木生(交通部鐵路改建工程局)， 黄勢芳(交通部鐵路改建工程局测量工程總隊)引用本文格式：黄培毓.黄勢芳.颜木生 雙後方交會法應用於雙點定位之求解会议论文 2011
