1、随机过程的微分和积分随机过程的微分和积分在高等数学中，数列的收敛与极限是微积分的基础。在随机过程中，随机序列的收敛与极限随机序列的收敛与极限的概念的概念则是随机过程微积分随机过程微积分 的基础基础 。举例：设一电压控制电路对外来的噪声电压信号进行控制，使其稳定在某一水平。我们考察这一渐进过程。设该试验共有三个结果 =( 1,2, 3)，在 t=1,2, ,n,上采样 , 随时间变化得一串随机变量 X1,X2,Xn 称随机变量序列随机变量序列X(n)。对某次试验结果 而言，在样本函数 上采样得到的 是一个普通数列称 “样本序列 ”。11 1 1 122 2 2 2 12333 3 3 3(1),
2、 (2), , ( )(1), (2), , ( )(1), (2), , ( )nnnxx xn xx xxxxxXxx xn xLLL：，,)：i ()ix n()ixt1 随机序列的收敛随机序列的收敛“数列收敛 ”的概念：若有数列 S1,S2,Sn,对任意小的正实数 0，总能找到一个正整数 N，使得当 nN时，存在 Sn-a N ，则称数列 S1,S2,Sn,收敛于常数 a 用 表示。或用 S1,S2,Sn 即称：数列数列Sn的极限为的极限为a.aSnn=liman 一、随机序列收敛的几种定义1、随机变量序列、随机变量序列“处处收敛处处收敛”若随机序列样本空间 =1, 2, 3中的 “所
3、有 ” 的样本序列 (普通数列 )均收敛，即：()every where则称：随机序列 X(n) “处处收敛 ”于随机变量 X。记作：简写：lim ( )ii inxn x = ，lim ( )()nX nXeX nX= 在上述 “处处收敛 ”的定义中， 中只要有 “一个 ”i对应的样本序列 不收敛，则随机序列 X(n)就不是 “处处收敛 ”的。这个条这个条件一般的随机序列都不容易满足件一般的随机序列都不容易满足 。下面介绍几种常用的 “宽松的宽松的 ” 收敛定义。 ()ixn2、以概率以概率1收敛（收敛（“几乎处处收敛几乎处处收敛”）almost .every.where若随机序列 X(n)
4、相对试验 E的所有可能结果 满足：则称：随机序列 X(n) “以概率 1收敛 ”于随机变量 X。简记：lim ( ) 1.()nPXnXaeXn X= = lim ( ) 0()nPXn XPXn X= 103、依概率收敛、依概率收敛(Probability) 若随机序列 X(n) 对于任意给定小正数 ，有：则称：随机序列 X(n)“依概率收敛 ”于随机变量 X。记：04、依分布收敛、依分布收敛(distribution)若存在：则称：随机变量序列 X(n)“依分布收敛 ”于 X。记：设： Fn(x)， n=1,2,是随机序列 X(n)的分布函数， F(x)是随机变量 X的分布函数。lim (
5、 ) ( )()nnF xFxdXn X= ()()()niFxFxFxMMMx5、均方收敛（平均意义下的收敛）均方收敛（平均意义下的收敛）Mean.square设随机序列 X(n)对所有 的 n=1,2,二阶矩存在，随机变量 X的二阶矩也存在。若 X(n)、 X满足：则称：随机序列 X(n) “均方收敛 ”于随机变量 X。记作： 或：2lim () 0() ()nMSnEXn XlimXn X Xn X= = ，(2) 均方收敛的充要条件（柯西准则）柯西准则）若随机序列 X(n)和随机变量 X的二阶矩均存在，则 X(n)均方收敛于 X的充要条件是：2() ()EXn Xm2lim () (
6、) 0nmEXn Xm =只需要对随机序列 X(n)的一个方差一个方差进行检验进行检验 ，比较方便方便 。因此，在随机过程中运用的是均方收敛。在随机过程中运用的是均方收敛。四种收敛模式之间的关系：eSM P deaeaSM P de)()(0lim00tttt =+0t一、随机过程处处连续一、随机过程处处连续对于随机过程 X(t)而言，若它的每一个样本函数在 上都续：=+),()(lim0ttttt则称：该过程 X(t)在 上处处连续。t随机过程的连续性随机过程的连续性一般确定函数的连续性：则称：函数 (t)在 上连续 .设函数 (t)在 的某个邻域内有定义，当自变量的增量 t 0 时，函数的
7、增量也趋于 0，即0t在微积分中，一个函数要可微，该函数首先必须要连续。0t0)()(lim20=+tXttXEtTttt =21二、均方连续二、均方连续1、定义若二阶矩过程在 t T上满足则称 X(t) 在 t T上， “在均方意义下 ”连续。或称该二阶矩过程X(t)具有 “均方连续性 ”。常表示为或者简称过程 m.s连续。)()(0tXttXmilt=+Tt2、均方连续的准则（过程 X(t) 在 t T上均方连续的 “充要条件充要条件”）),(21ttRX 若若X(t) 的自相关函数的自相关函数在在tT (t1=t2=t)上连续，上连续，则则X(t)便在便在tT上均方连续上均方连续 。12
8、0 tTTt)()()()()()()()()()(),(),(2212121tXttXtXEttXtXttXEtXtXEttXttXEttRttttRXX+=+=+),(21ttRX2/1222121)()()()()()( ttXEtXttXEttXtXttXE +2/12222)()()()()()( tXttXEtXEtXttXtXE +利用许瓦兹不等式若若X(t) 在在tT上均方连续，则上均方连续，则在在t1=t2=t上上一般连续一般连续 。证明：对不等式两端取极限：210202210101lim)2(limlim)1(lim tttt及随机过程随机过程的微分一. 随机过程的微分（导
9、数）1. 均方导数的定义均方导数的定义设 均方连续 过程 X(t), t T 和随机过程 X (t) ， t T,若在整个 T内当 时， 均方收敛于 X (t) 即满足或者0tttXttX+ )()(0)()()(lim20=+tXttXttXEt)()()(0=+tXttXttXmilt则称过程 X(t)在 t T上均方 ( m.s )可导（可微）。而 便称为过程 X(t)在 t T上的均方导数。dttdXtX)()( =2. 均方可微的条件均方可微的条件在检验过程 X(t)是否均方可微时，我们遇到了一个问题，在上式中， X (t) 是待求的。在在X (t) 尚未求出时，检验尚未求出时，检验
10、X(t)是否均方可微是否均方可微 ，我们可以运用一个能避开 X (t) 的准则Cauchy准则准则 。即，如果 X(t)满足：0)()()()(lim222110,21=+ttXttXttXttXEtt则称 X(t) 在均方意义下可微。由此可见，随机过程随机过程X(t)在在tT上，上，均方均方可微的充要条件是在可微的充要条件是在一切一切(t,t),tT上上存在存在 。212122221221212),(,),(,),(ttttRtttRtttRXXXtttXttttR=2121212),(如果偏导数 存在，则上式写成0),(2),(),()()()()(lim21212122221211212
11、222110,21=+=+tttttttRttttRttttRttXttXttXttXEXXXtt二. 随机过程导数随机过程导数的数学期望与相关函数的数学期望与相关函数)(tXdttXdEttXEttXEttXttXEttXttXmilEdttdXEtYEttt)()()(lim)()(lim)()()()(000=+=+=+=1、Y(t)的数学期望的数学期望dttXdEdttdXE)()( =设 Y(t)为可微过程 X(t)的导数ttXttXmildttdXtYt+=)()()()(0即导数的期望 期望的导数 “求极限 ”与 “求期望 ” 交换次序随机过程的导数运算与其随机过程的导数运算与其
12、数学期望的运算可以交换次序。数学期望的运算可以交换次序。),(21ttRX但是，对应不同的 ，积分值 也是不同的，故对所有的试验结果， Y是一个随机变量。bttttttniii 110 +it其中 是在 a,b上有限分割 的任意子区间 长度， 是子区间 中任意处。)(1 iitt +则称过程 X(t)是 “处处可积处处可积 ”的。y因此，我们定义均方意义上的积分。1. 均方积分均方积分 的定义若二阶矩过程 X(t)满足：0)(lim210,0=YttXEniiinti=baniiintdttXttXmilYi)()(10,0一般的随机过程，并不是所有的样本函数的积分都存在的。并不是所有的样本函
13、数的积分都存在的。则称过程 X(t) 是均方可积的。而随机变量为过程 X(t) 在确定区间 a,b上的 “均方积分 ”。2) 、均方可积的条件babaXdtdtttR2121),(1. 积分的期望积分的期望=baYXbaniiintniiintbamdttmdttXEttXEttXmilEdttXEYEii)()()(lim)()(10,010,0随机过程积分的期望和自相关函数随机过程积分的期望和自相关函数可见：均方可积的过程，求积分与求期望可以交换次序。均方可积的过程，求积分与求期望可以交换次序。2、积分的均方值、积分的均方值21212121212122112),()()()()()()(d
14、tdtttRdtdttXtXEdtdttXtXEdttXdttXEYEbabaXbabababababa=babadttXEdttXE )()(积分求期望 期望求积分4、积分的自相关函数、积分的自相关函数3、积分的方差积分的方差21212121212211212122),()()(),()()(),(dtdtttCdtdttXEtXEttRdttXEdttXEdtdtttRYEYEYDbabaXbabaXbabababaX=的自相关函数：则过程的积分为随机过程，：因为过程的变上限积分)()()(0tYtYtdX =1020102010202121),()()()()()()(),(ttddRttddXXEttdXdXEtYtYEttRXYTtt ),(21
