1、5-3 解平衡問題的步驟 研究力學中的平衡問題 ， 應具有推理及循序而有系統化演算能力 ， 因而對任何平衡問題的分析與求解 ， 皆可迎刃而解。 靜力學的基本原理及推論 1. 力的平行四邊形定律 作用於同一點的兩個力 ， 其合力仍作用 於該點 ， 合力的大小與方向以這兩個力為鄰邊所做成的平行四邊形之對角線來表示。 (1) 此定律表明力是向量 ， 它是力系簡化理論基礎 ， 即力系的合成與分解的基礎 。 (2) 此定律對 剛體或變形體 都適用。 2. 力的可移性原理 作用於剛體上的力 ， 其作用點可以沿作用線移動而不改變對剛體的效應。 (1) 此原理只 適用於單一剛體的運動 (包括平衡 ) 時才成立
2、 ， 對於由多個剛體組成的剛體系統或變形體不適用。 3. 力的獨立作用定律 (或重疊原理 ) 一力系作用於一剛體上所產生的外效應 ，等於個力單獨作用所產生的外效應的向量疊加。 (1) 此定律只適用於力系外效應的疊加 ， 不盟能隨便推廣於其他狀況。 4. 作用力與反作用力定律 兩物體間相互作用的力總是等值、反向、共線且分別作用在兩個物體上。 (1) 此定律是研究由若干個物體所組成的物體平衡問題的基礎 ， 也是分析 物體系統中各個物體受力時所必須遵循的原理或力量的傳遞之依據。 (2) 此定律適用於剛體及變形體。他適用於平衡、運動或變形狀態下。 5. 剛化原理 已知非剛體 (變形體 )在力系作用下處
3、於平衡。如果把這物體剛化 (想像它變成或換成 )剛體 ， 則平衡不受影響。 (1) 此原理是把研究範圍由剛體平衡問題 ， 況大盜變形體的平衡問題 ， 為從剛體力學向變形體力學過渡而創造出來的條件。因此一般而言 ， 剛體的平衡 條件是非剛體 (可變形體 )平衡的必要條件 ， 但不是充分條件 ， 解決變形體平衡問題 ， 還需要滿足由變形體的物理性質所決定的其他附加條件 (如繩索兩端受力 ， 其力必須為拉力 ， 不可為壓力 )， 以及幾何變形條件才可。 (推論一 ) 加減平衡力系定理 ： 在已知力系上 加上或減去任意一個平衡力系 ， 並不改變力系對體之效應。 (1) 此定理是力系等效變換和簡化的基本
4、方法 。 (2) 此定理只適用於 單一剛體的運動 (包括平衡 )，對剛體系統和變形體不適用 。 (推論二 ) 二力平衡定理 (條件 )： 一剛體在兩力作用下處於平衡的充要條件 ， 是該兩力大小相等、方向相反 ， 作用線相同。 (1) 此定理只適用於 單一剛體 ， 對剛體系統和變形體 只是必要條件 ， 而非充分條件 ， 因二力明蘅條件滿足，但他未必能處於平衡。如軟繩之變形體受等值反方向壓力作用下就不能平衡了。 (2) 此定理是 靜力學最基本的平衡條件 ，他可作為判斷某些拘束反力方向的方法。 (3) 特別 注意不要把此定理和作用力 與反作用力定律兩者弄混淆了 。 (推論三 ) 三力平衡定理 (條件
5、 )： 一剛體在三個互不平行力作用下處於平衡時 ， 該三力的作用線必共面且相交於一點。 (1) 此定理 是 單一剛體 平衡的 必要條件 ， 而非充分條件 ， 因一剛體受三個作用線共面且相交於一點的力作用時，它未必 能處於平衡。 (2) 可用來確定未知拘束反力作用線方向。 5-3-1 解平衡用 623 法則 一、 取 ： 依據提議選取 剛體系統之整體或部分或單一剛體為研究對象 (即自由體 )， 了解何者為已知量 ， 何者為未知量。 二、 畫 ： 對所取的研究對象進行受力分析 ， 畫出自由體圖。 三、 選 ： 選擇適當的座標軸、力矩中心及平 衡方程式的型式。 四、 列 ： 根據研究對象的受力情況列
6、出平衡方程式 ， 此時必須注意下列事項 ： (1) 判斷是什麼力系。 (2) 有幾個平衡方程式。 (3) 有幾個未知數。 (4) 是否有解。 五、 解 ： 解平衡方程式求出未知數。 六、 校 ： 校核所得的結果是否正確或合理。 從數學的角度可知 ， 力與力矩平衡方程式是代數方程式 ， 而每一項皆為實數 ， 故每一項包括正負號 (或加減 )及實數 ， 將所有項總和在一起為零。因此根據 力及力矩定義 ， 純量式平衡方程式 ， 可得下列結果 ： 1. 力平衡方程式 ， 每一項包括二要素 ： (1) 正負號 (或加減 ) ： 每一力或合力方向與指定方向相同為正 ， 反之為負。 (2) 力的大小 ： 集
7、中力及本身大小 ， 而分佈負載大小是分佈負載圖形的面積。 2. 力矩平衡方程式 ， 每一項包括三要素；除集中力矩（或力偶）只有二要素（正負號和力矩大小） ： (1) 正負號 (或加減 ) ： 對力矩中心的每一個力矩旋轉方向與指定旋轉方向相同為正 ， 反之為負。 (2) 力的大小： 集中力及本身大小 ， 而分佈負載大小是分佈負載圖形的面積。 (3) 力 臂： 力 或 合 力 的 作用 線 （ 對 分佈 負 載 而言 ， 其 合力 作用 線 經 過 分 佈 負 載 圖 形 的 形心 ） 至 力 矩 中 心 的 垂 直 距離。 觀念 討 論 1. 解 題 時 要 充分 利用 題 設 條 件 所 提
8、供 的 訊息 以及 根據 所 要求 的 未知 量 去思考 ， 由已知量 去 推敲 未知 量（ 反 之 也 可 以 ） ， 使 它們 有 聯繫 關 係存 在； 在 制定 解 題 方 案。 2. 解 剛 體 系統 平 衡 問 題 ， 其關鍵 根據 未知 量 選 擇合適 的 研究 對 象 ， 可 選 擇 剛 體 系統整體 或 部分或單一剛 體 ， 盡量 避 開 那 些不要 求 的 未 知 量 或未 知 量 過 多 之 剛 體 ， 迅速 而 簡 捷 地 球 出 所 要求的 未知 量 ， 同 時 注意 剛 體 系 統 之 各 個 剛 體 的 自由 體 圖 受 力 要相協調不能前後矛盾 。 3. 避開 那
9、 些 不 必要 求 的 未知 量 方 法 (1) 通 過 取 系統整理 或 部分或單一剛 體 為 研究對 象 ， 使那些 不 必 要 求 剛 體 間 的 互 相 拘束力 不 出現。 (2) 選 擇 合適 平 衡 方 程式 之 型式 、 力矩 中心 及投 影 點。 4. 若 自 由 體 圖 上未知 量 數目 多於獨立之 平衡方程式 ， 通 常 這 自由 體 圖 上 未知 量 無 法 全 部 解 出 ，可 再 另 取 一 自 由 體 圖 ， 此 自由 體 圖 上 之 部分未知量 ， 須 與 前 面自由體圖 上 之 部分 未知 量相同。直 到 未知 量 數 目 與 獨 立 平衡 方 程式 數 目 相
10、 等 ，才 能 解 出 全 部 未知 量。 5. 注意 剛 體 系 統 是 否 有 二 力構 件 及三力 構 件 ， 充分 利用 它 們 平 衡 時 的 特 性 來 簡化 計算 ， 且 多 了解 靜 力 學 中 的 原 理 及 推 論 的 意義 、 功 用 及限制 ，以免 誤 用 導致 不 正 確 的 結 果 。 (5) 解 平 衡 問 題 ， 在 畫 好 了 自 由 體 圖 後 ， 自 己心 裡 就 要 想 到 下 列 幾 件 事 項 ， （ ） 是什麼力系 ；（） 有幾個平衡方程式 和幾個未知數 ；（ ） 列 平衡 方程式 （ 選 擇適當 座標 軸及 方程式 型 式 ） ；（ ） 是 否 有 解；（ ） 如何 去 解 未知 數。 這 些 事項 及 順 序 不 可 顛 倒 ， 最 好 養 成 習慣 ， 尤其對 初 學 者 而 言 更 需要 如 此 。 另 一 個 非 常 重 要 的 觀念 ， 從 數學 的 角度 來 看 ， 此 處 平 衡 方 程式 是代數方 程式 ， 要 解 欲求 未知 數 是 由 已 知 變 數著手 求解 ，亦即 由 已 知 外 力 作 用 的 剛 體 優 先 考 慮 取 為 自 由體 圖。
