1、数学竟赛培训资料(理工)第六讲 曲线积分（一）内容要点及重要方法提示1.第一型(对弧长)曲线积分. 弧微分 .lzyxsdd22注意无方向问题,一般计算程序: 画出积分路径的图形;将路径用参数式表示; 表 dl 为参变量的微分式后化成定积分计算.(1)化成参变量的定积分计算.例 6.1.设 c0 为常数,L: 的弧长.),(.tan02 zyxALxycz上 从 原 点 到 点求解. L 的参数方程是: 因此所求弧长,d,si,os 42szczccz 弧 微 分.）（ czzs320001d例 6.2.计算均匀密度的球面 在第一卦限部分的边界曲线的重心坐标.)0(22azyx解.边界曲线的三
2、段弧分别有参数方程:x=acos , y=asin , z=0,0 2; x=acos , y=0, z=asin ,0 2;x=0, y= acos , z=asin ,0 2 .曲线周长 s=3a 2,及 .,dcosdcos 340022 azyxaaxs 于 是 重 心 坐 标(2)第一型曲线积分的对称性用法.例 6.3.计算积分 I= a0 .),()(:,d222yxyLlyL 其 中解.用极坐标, L: . 根据对称性得积分cossinco24 rraI=4 .)1(4)(sin204ar 例 6.4.设 L 是顺时针方向椭圆 = .(2001 天津赛)Lx syxly d)4(
3、, 22则周 长 为解. 根据对称性得积分=4l .,1224yx2.第二型(对坐标)曲线积分. CClFzRyQxPdd注意有方向问题,一般计算方法有: 化成参变量的定积分计算 ;应用格林公式或斯托克斯公式;利用与路径无关条件计算.(1)化成参变量的定积分计算.例 6.5.设 L 为正向圆周 = . Lxyyx d2,22 则 曲 线 积 分在 第 一 象 限 中 的 部 分解. L: 于是有积分 =3 2 . .0:,sin,cos2x例 6.6.设 C 是从球面 上任一点的任一光222 bzyxazyx 上 任 一 点 到 球 面滑曲线(a0, b0), 计算积分 I= ,其中 .Lzy
4、xr)d(3 22zyxr解. rdr=xdx+ y dy+ zdz , I= .551abba(2)格林公式的应用(注意条件 ) . 当 L 不闭合时,应添加光滑曲线使其闭合后再用格林公式.例 6.7.设 L 是分段光滑的简单闭曲线, (2,0)、( 2,0)两点不在 L 上 .试就 L 的不同情形分别计算如下曲线积分的值: (1991 上海竞赛)dd 2222 )()()()( yxI xyxyLyx 解.令 A(2,0) ,B(2,0) , L 包围的平面区域内部为 D,记.2121)2()2(1)2()2(1 , QPQPDG yxyxyxyx 则 .,22121 )()( QQyxy
5、P (1) A、 B 均为 G 的外点,根据格林公式有 I=0 .(2) A 为 G 的内点, B 为 G 的外点,则以 A 为中心作半径 r 充分小的闭圆盘 E 含于 D 内,记 E 的正向边界为 C ,有I= CCCEDyPxQL yQxPyxyx dddd)( 21= 且 C :x=2+rcos, y=rsin ,0 0 上的向量 A(x, y)=2xy j 为某)()(24224yxiy二元函数 u(x, y)的梯度,并求 u(x, y) . (1998 研)解.令 P(x, y)=2xy 解得 = 1 .然后有yPxQQ由,)(24224 u(x, y)= .arctnd),(),(
6、 2),01( Cy(5)曲线积分的证明题.例 6.11.设 P(x, y), Q(x, y)具有连续的偏导数,且对以任意点 为圆心,以任意正数 r 为半径0x的上半圆 L: .0d),(),(),0( sin,cos00 LyQyPrr 恒 有证明: (2004 天津竞赛).,),(),(xyQxP证.记上半圆直径为 AB, 取 AB+L 为逆时针方向,其包围的区域为 D,由格林公式与积分中值定理MD ,且)(d)( 2ryxyPxQDPxQLABLAB 于是,2,d),( 0000 rryxyrx 的任意性),(.0),()(lim:2)( 000 yxyxyPxMyPxQ 由得令 知 P
7、(x, y)0,且 . ,),(0QyxQx例 6.12.设函数 (y)具有连续导数 ,在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线 L 上,曲线积分的值恒为同一常数.Lyx42d)(1)证明:对右半平面 x0 内的任意分段光滑简单闭曲线 C,有 ;042d)(yx(2)求函数 (y)的表达式. (2005 研)解. (1)设 C 是半平面 x0 内的任意分段光滑简单闭曲线,在 C 上任取两点 M、N, 围绕原点作闭曲线(如图 )进行积分即得证明.(2)由(1) ,在半平面 x0 内积分与路径无关,得 .)(,0)(,2)(4)(2( 2253 yyyyyyPxQ 例 6.13.设在上半平面 D=(x,
8、 y)|y0内, 函数 f(x, y)具有连续偏导数,且对任意的 t0 都有f(tx, ty)= 证明: 对 D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线 L ,都有).,(2xft(2006 研).0dLy证. 又.0),(),(),(2,(),(0 12 yxffyxfyxfyxfxyf(tx, ty)= 对 t 求导后,令 t=1,即可得结果 .),22tt3.曲线积分的应用题.例 6.14.若悬链线 上每一点的密度与该点的纵坐标成反比,且在点(0,a) 的密度等于 b.试xych求曲线在横坐标 0 到 a 的点之间弧段 C 的质量 m .解.由条件知曲线上点(x, y)处的密度为 ab y,于
9、是m= . dsh1d)(1d02ch02 abxbxysaybCab x例 6.15.质点 P 在力 F 作用下从点 A(1,2)沿着直径 AB 的半圆周 (见图)运动到 B(3,4) , F 的大小等于点 P(x, y)与原点间的距离,方向垂直于线段 OP 且与 y 轴正向夹角为锐角.求变力 F 所作的功W .解. F=yi+xj,令 L 是所述 AB 弧: 于是.:,sin23,cos243xW= . 1)-(ddLylF4.两类曲线积分的联系. ,d)coscos(RQPzRyQxPLL 其中 cos,cos,cos 为有向曲线 L 的正向切线的方向余弦.（二）习题6.1.填空题:设当
10、 x0 时, 为同阶无穷naCxyn yxI 与为 有 向 圆 周其 中 )( 222 12)(d 小, 则 n= . (2002 北京竞赛)6.2.设曲线 是平面 x+y+z=1 与球面 .d)(,1222 syxz试 求 积 分的 交 线6.3.设 L 是平面区域 D:0x,0y,的正向边界.证明:(1) .ed)( .dede 2sinsinsinsinsinsin LxyLxyyx6.4.计算曲线积分 I= 其中 L 是以点(1 ,0)为中心, 为半径的圆周(R1),取逆时针方向.,24yx6.5.求 I= 其中 a,b 为正的常数, L 为从点 A(2a,0)cose()(sine(
11、L xx yb沿曲线 到点 O(0,0)的弧. (1999 研)2ay6.6.设二元函数 u(x, y)在有界闭区域 D 上可微,在 D 的边界曲线上 u(x, y)=0,并满足= u(x, y),求 u(x, y)的表达式. (2005 天津竞赛)yx6.7.设二元函数 f(x,y)具有一阶连续偏导数,且 求 f(x, y) . (2005dcos),(2),(02 tyxft 津)6.8.设 f(x)连续可导, f(1)=1,G 为不包含原点的单连通域,任取 M, NG, 在 G 内曲线积分与路径无关,)d)(21yNMyf(1)求 f(x); (2)求 ,取正向 . (2004 江苏竞赛
12、) 32322,)d()1 ayxyxyfx 为其 中6.9.计算 I= 其中 L 是绕原点两周的正向闭路.,2d)()(Lyx（三）习题解答或提示6.1.应填: 2 . 6.2.解.利用对称性,因 于是积分为,dd,d222 szxsyzsyx. )1()()( 9643332231 的 长 度zyx6.3.证. (1)左端= ,)eee0sinsi0sin0sin xxyx右端= (2)由(1) 及 推出 )d(d0sinsisi0sin xy 2esinsixx6.4.解. C 取逆时针方向,于是 ，：作 充 分 小 椭 圆 sico),( 2)4(2 yxyxyP .d,0204d4d
13、4d 1222 CyxLyxCLyx6.5.解.令 l 是有向直线段 OA, D 为 L+l 围成的半圆域,由格林公式得I= . 2)(4)()( 22220 baabaabbaDllL 6.6.解.显然 u(x, y)0 满足条件 ,下面用反证法证明只有 u(x, y)0 满足条件.否则,不妨设 D 内有一点(a,b) 使 u(a,b)0,于是 D 内还有一点(,)使 u(,)=M0 是 u(x, y)在 D 上的最大值,于是得出矛盾.对 u(a,b)0 的情形同理可证 .),(),(yxu6.7.解.因积分与路径无关,有 =cosy, f(x, y)=siny+g(x) ,代入原式得f对 t 求导后解出 g(t) ,得 f(x, y)=siny+2x,dcos)(2002ytxgt .cossin22x6.8.解. (1)因 )(1)(;)()(, 2)( yffCyff yfxQyP (2) 为星形线正向,用充分小的正向椭圆 l: 代替 积分:2x.d20sincocoisin22 l6.9.解.因 以原点为中心作充分小半径 r 的正向圆周 C ,则,xQyP .4220 cos)incos(sin)icos(2 rrCL
